高三数学一轮复习导数导学案

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1、课题：导数、导数的计算及其应用2 课时一、考点梳理：原函数导函数f(x)= c(c为常数)fx)= 0f(x)=xn(nC Q*)f x)=f(x)= sin xf x)=f(x) = cos xf x)=f(x)=axf x)=f(x)= exf x)=f(x)= log axf x)=f (x) = ln xf x)=AyIjm。7Ax-0Zx,称其为函数y=f(x)在1.导数、导数的计算(1) .导数的概念：一般地，函数 y=f(x)在x=xo处的瞬时变化率是x=x0处的导数，记作 f x0)或y |x=x0 .(2) .导函数：记为f x)或y.(3) .导数的几何意义： 函数y=f(

2、x)在x=xo处的导数f&0)的几 何意义是曲线y=f(x)在x= x0处的切线的斜率.相应地，切 线方程为.(4) .基本初等函数的导数公式(5) .导数的运算法则(1)f(x) 土 g(x) =; (2)f(x) g(x) =; (3)公 g x=(g(x)W0).(6) .复合函数的导数：2 .导数与函数的单调性及极值、最值(1)导数和函数单调性的关系:(1)对于函数y=f(x),如果在某区间上f (x)0,那么f(x)为该区间上的 ；如果在某区间上f (x)0? f(x)在(a, b)上为 函数，若在(a, b)上，f (x)w。,? f(x)在(a, b)上为 函数.(2)函数的极值

3、与导数(1)判断f(xo)是极值的方法：一般地，当函数f(x)在点xo处连续时，如果在xo附近的左侧 ,右侧,那么f(xo)是极大值；如果在xo附近的左侧 ,右侧,那么f(xo)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤 ： ;；.(3)求函数y=f(x)在a, b上的最大值与最小值的步骤：(1)求函数y = f(x)在(a, b)上的;(2)将函数y=f(x)的各极值与 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.二、基础自测：1 ,若函数f(x)= 2x2-1的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+ Ax,1+ Ay),则乎等于().L2xA. 4 B.4xC.4+2Zx D. 4+2 Ax

4、22,曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为().A. ( 1,1)B . (-1, - 1)C. (1,1)或(一1, 1)D. (1 , - 1) 、一一，23 . (2012陕西图考)设函数f(x)=-+ln x,则().xA. x=2为f(x)的极大值点B. x =；为f(x)的极小值点 C. x=2为f(x)的极大值点 D. x= 2为f(x)的极小值点4 .若函数y=a(x3x)的递减区间为一坐,坐,则a的取值范围是().A . a 0 B. 1vav0C. a 1 D . 0vav15,若曲线y=x4的一条切线l与直线x+ 4y8=0垂直，则l的方程为.6 .已知f

5、(x)=x3 ax在1 , +)上是单调增函数，则 a的最大值是 .三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数 f x -3【例1-1】已知f (2)2, f(2) = 3,则则二+1的值为( )A. 1 B. 2 C. 3 D. 4“2 x 21【例1 2】用导数的定义求函数 y=f(x) = 在x= 1处的导数. x【变式】：求函数 y= Jx2+ 1在Xo到xo+Ax之间的平均变化率，并求出其导函数.考点二、利用求导公式、法则求导例2求下列函数的导数：(1) y=(2x3)2； (2)y= tan x; (3)y=xex; (4)y= ln.(5) y=ln(2x+ 5).x【变式

6、】求下列函数的导数：(1)y=x2sinx; (2)y=3xex 2x+ e； (2)y=、3 x;考点三、导数的几何意义【例3】已知曲线y=1x3+4.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程； 33(3)求斜率为1的曲线的切线方程.【变式】：求曲线 f(x) =x3 3x2+2x过原点的切线方程.考点四、利用导数研究函数的单调性与极值、最值【例4】已知aCR,函数f(x) = (X2+ ax)ex(xCR, e为自然对数的底数).(1)当a= 2时，求函数f(x)的单调 递增区间；(2)若函数f(x)在(一1,1)上单调递增，求a的取值范围；【变式】

7、(2009浙江)已知函数f(x)=x3+(1 a)x2a(a+2)x+b(a, bC R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是一3,求a, b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.【例5】若函数f(x)= ax3 bx+4当x=2时，函数f(x)有极彳1- 4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x) 3=k有三个零点，求实数 k的取值范围.【变式】设x= 1与x= 2是函数f(x)= alnx+bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)试判断x= 1, x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理

8、由.2 一例6已知函数f(x) = x3+ax2 + bx+ c,曲线y=f(x)在点x= 1处的切线为l：3x y+1 =0,右x=时，y= f(x)3有极彳t. (1)求a, b, c的值；(2)求y=f(x)在 3,1上的最大值和最小值.【变式】已知函数f(x)= ax3+x2+bx(其中常数 a, b R), g(x)=f(x) + f (x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值.四、课题巩固:、选择题f 1 f 1 2x ，设f(x)为可导函数，且满足lim=1,则曲线y=f(x)在点(1, f(1)处的切线斜率为

9、().x0 2XA. 2 B. 1 C. 1 D. 21 一2 . (2012辽宁局考)函数y=2x2ln x的单倜递减区间为().A. (-1,1 B. (0,1C . 1, +8) D. (0, +8)3 .如图所示的曲线是函数 f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象，则x2+x2等于()8 10 16 54 .已知f (x)是f(x)的导函数，在区间0, +8)上F (x)0,且偶函数f(x)满足f(2x1)2,则函数f(x) = ；x3-ax2+1在区间(0,2)上有 个零点.3三、解答题9 .已知函数f(x)= xlnx.(1)求f(x)的极小值；(2)讨论关于x的方程f(x)-

10、 m= 0 (mC R)的解的个数.ex4 ,10 .设f(x)=，其中a为正实数当a= 3时，求f(x)的极值点；(2)若f(x)为R上的单倜函数，求a的取值范围.11 .已知函数f(x)=x3+mx2+nx2的图象过点(1, 6),且函数g(x)=f (x) + 6x的图象关于y轴对称.(1)求m, n的值及函数y=f(x)的单调区间；(2)若a1,求函数y=f(x)在区间(a1, a+ 1)内的极值.课题：导数、导数的计算及其应用2 课时参考答案二、基础自测：1,若函数f(x)=2x21的图象上一点(1,1)及邻近一点(1+Ax,1+Ay),则会等于().A. 4 B.4xC.4+2Zx

11、D. 4+2Ax1 【例 1 2 解：Ay = f(1 + Ax) f(1) = q 12,曲线y=x3在点P处的切线的斜率为3,则点P的坐标为().A. ( 1,1)B . (-1, - 1)C. (1,1)或(一1, - 1)D. (1 , - 1)23. (2012陕西图考)设函数f(x)=2+ln x,则().xA. x=1为f(x)的极大值点B. x = 1为f(x)的极小值点 C. x=2为f(x)的极大值点 D. x= 2为f(x)的极小值点4,若函数y=a(x3x)的递减区间为当,当，则a的取值范围是().A . a 0 B. 1vav0C. a 1 D . 0vav15,若曲

12、线y=x4的一条切线l与直线x+ 4y8=0垂直，则l的方程为 .6. 已知f(x)=x3 ax在1 , +8)上是单调增函数，则 a的最大值是 .参考答案：1. C 解析：Ay=f(1+Ax)f(1) = 2(1+Ax)211 = 4 &+2(x)2,. .=4 + 2攸.zax7. C 解析：y = 3x2, 1- 3x2= 3. 1. x= 1.当 x= 1 时，y= 1,当 x=-1 时，y=1.8. D 解析：由 f x) = *1 = 11 2 =0 可得 x=2.当 0vxv2 时，fx)v0, f(x)单调递减；当 x2 时，f x) x x x x0, f(x)单调递增.故x

13、= 2为f(x)的极小值点.9. A 解析：.yJ a(3x21)=3a x+乎 x乎，.当专3V xv当时，x +当 x 乎 0.5. 4x-y-3=0解析：设切点为(xo,y0),y = 4x3,4xo3=4,xo=1.yo=1；. l的方程为4x y3=0.6. 3 解析：: f (x) =x3ax 在1 , 十)上是单调增函数，fz (x) = 3x2- a0 在1 , +)上恒成立，即 aw3x2 在1 , +8)上恒成立，而当 xC 1 , +8)时，(3x2)min=3X 12=3.，aw 3,故 amax= 3.三、考点突破：考点一、根据导数的定义求函数的导数【例 1-1】已知

14、 f (2)2, f(2)=3,则 limfx 3 + 1 的值为().X-2 x-2A. 1 B. 2 C. 3 D. 4【例1 2】用导数的定义求函数 y= f(x) = 1=在x= 1处的导数.【例1-11团1 = 2+ 1 = 3.1 -V1 + Axi + Ax0,即(x2+2)ex0, .ex0, x2+20,解得一/ v x vji函数 f(x)的单调递增区间是(一木,必).(2) .函数 f(x)在(一1,1)上单调递增，.f, (x)0对 xC(1,1)都成立. f, (x)=-x2+(a-2)x+aex,-x2+(a-2)x+aex0 对 xC (1,1)都成立./ ex0

15、 ,-x2+(a-2)x+a 0 对 xC (1,1)都成立，即 x2-h 1 w 03(a- 2)x- a.【变式】(2009浙江)已知函数f(x)=x3+(1 a)x2a(a+2)x+b(a, bC R). (1)若函数f(x)的图象过原点，且在原点处的切线斜率是一3,求a, b的值；(2)若函数f(x)在区间(1,1)上不单调，求a的取值范围.f 0 = b = 0解(1)由题意得 f (x)=3x2+2(1-a)x-a(a+ 2),又，解得 b=0, a=3 或 a=1.f 0=-aa+2=-3(2)由 f (x)=0,得 x1 = a, x2= %2 .又 f(x)在(一1,1)上不

16、单调，即31a1,a+ 2一二-1-af1,3或a+21a1, 5a1 ,11解得 1 或 1 所以a的取值范围为(5, )U(2, 1).aw2aw2.【例5】若函数f(x)= ax3bx+4,当x=2时，函数f(x)有极彳t- 4.(1)求函数f(x)的解析式；(2)若关于x的方程f(x) 31a= 31,解得故函数为f(x) = x3-4x+ 4.b= 4=k有三个零点，求实数 k的取值范围.f 2 = 12a-b=0解(1)由题意可知f (x) = 3ax2b.于是4f 2 =8a-2b+4=-3(2)由(1)可知 f (x)=x24 = (x 2)(x+ 2).令 f(刈=0得 x=

17、 2或乂= 2,x(OO , 2)2(-2,2)2(2, 十00)f (x)十0一0十f(x)单调递增极大值单调递减极小值单调递增当x变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表所示：因此，当x= 2时，f(x)有极大值今 当x= 2时，f(x)有极小值33(2)试判断x=1,2_, 一x=w时，y= f(x)3(x)0的解集为，4嘲f所以函数的大致图象如右图，故实数 k的取值范围为(一m，T8).33【变式】设x= 1与x= 2是函数f(x)=aln x+ bx2+x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;x=2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.f 1 =a+2b+1=0

18、解 f (x)=a+ 2bx+ 1, .a.解得 a= 2, b= 1.xf 2 =2+ 4b+1 = 036(2)f (x)=-；2+(-x)+1 = - x 2 .函数定义域为(0, +8),列表3x 33xx(0,1)1(1,2)2(2, 十 叼f (x)一0十0一f(x)单调递减极小值单调递增极大值单调递减x= 1是f(x)的极小值点，x= 2是f(x)的极大值点.【例6】已知函数f(x) = x3+ax2 + bx+ c,曲线y=f(x)在点x= 1处的切线为l： 3x y+1 = 0,若有极值.(1)求a, b, c的值；(2)求y=f(x)在 3,1上的最大值和最小值.解：(1)

19、由 f(x)= x3+ ax2+ bx+ c,得 f (x)=3x2+2ax+ b,当x= 1时，切线l的斜率为3,可得2a+b=0;当x=3时，y=f(x)有极值，则f 3 =0,可得4a+3b + 4=0.由解得 a=2, b= 4,又切点的横坐标为x= 1, -(1) = 4.1+a+b+c=4. c= 5.2.(2)由(1),得 f(x)=x3+2x24x+ 5, ：.f (x)=3x2+4x4.令 f (x) = 0,得 x=2 或 x = 3, ：.f2, 2 ,即为f(x)的减区间. 3, 2)、 2, 1是函数的增区间.又 f(-3)=8, f(-2)= 13 3395=4,

20、.-.y = f(x)在3,1上的最大值为13,最小值为27.变式迁移3 已知函数f(x)= ax3+x2+bx(其中常数a, bCR), g(x)=f(x) + f (x)是奇函数.(1)求f(x)的表达式；(2)讨论g(x)的单调性，并求g(x)在区间1,2上的最大值和最小值.解 (1)由题意得 f (x) = 3ax2 + 2x+ b.因此 g(x) =f(x) +f (x)= ax3+(3a+1)x2+(b+2)x+b.因为函数 g(x)是奇函数，所以 g(-x) = -g(x),即对任意实数 x,有 a( x)3+(3a+1)(x)2+(b + 2)( x)+b=ax3+(3a+1)

21、x2 +(b+2)x+ b,从而 3a+1=0, b=0,解得 a=-1, b= 0,因此 f(x)的表达式为 f(x) = - 1x3 + x2.331 。一C一. 一(2)由(1)知 g(x)=铲3 + 2*,所以 g (x)=-x2+2,令 g (x)=0,解得 xi = -V2,x2= V2,则当xq2时，g(x)0,从而g(x)在区间(一 一y2), (72, +叼上是减函数;当2xo,从而g(x)在区间(一寸2,42)上是增函数.由前面讨论知，g(x)在区间1,2上的最大值与最小值只能在x= 1,取,2时取得，而g(1)=-5, g(V2) = 4g,33g(2)=4.因此g(x)

22、在区间1,2上的最大值为g(m) = 4乎，最小值为g(2) = 4.333四、课题巩固:、选择题：f 1 f 1 2x1一设f(x)为可导函数，且满足lim=- 1,则曲线y=f(x)在点(1,X 一 0 2xf(1)处的切线斜率为().2.3.A. 2 B. - 1 C. 1 D. 21 c(2012辽宁局考)函数y= 2x2 ln x的单倜递减区间为().A. (-1,1 B. (0,1C. 1, +8) D. (0, +8)如图所示的曲线是函数f(x)=x3+bx2+cx+d的大致图象，则 x2+x2等于(8 10 16 5A.9B.铲丁.44.已知f (x)是f(x)的导函数，在区间

23、0,+8)上F(x)0 ,且偶函数f(x)满足f(2x 1)0),令 xx2 1 0,(0,1.故选 B.1c 因此函数y= 2x2- ln x的单调递减区间为2b c的极值点，故 X1, X2 是 f (x)=0,即 3x2+2bx+c=0的根，.x1+x2= w，X1X2=-X2 + X2= (xi+ X2)2 2X1X2 =2c 163=.4 . A -.X 0, +8), f，(x)0,，f(X)在0, +8)上单调递增，又因f(X)是偶函数，f(2X-1)f 13? f(|2x-1Df ； ? |2x1|，2x1g.即,x2,则函数f(x) = 3x3-ax2+1在区间(0,2)上有

24、 个零点.参考答案：1. (0,1) 2.-373. 学 兀 4.1 个解析：f (x)=x2-2ax=x(x- 2a)=0?X1 = 0, X2= 2a4,易知f(x)在(0,2)上为减函数，且f(0) = 10, f(2) = -4a0,由零点判定定理知，在函数f(x) = 1x3-ax2+ 1在区33间(0,2)上恰好有1个零点.三、解答题9.已知函数f(x)=xln x.(1)求f(x)的极小值；(2)讨论关于x的方程f(x) - m= 0 (mC R)的解的个数.解(1)f(x)的定义域为(0, +8), / (x)=ln x+1,令 f (x)=0,得 x=1,e当xC (0, +

25、8)时,f，(x), f(x)的变化的情况如下:X10,一 e1 e1-1-00ef (x)一0十f(x)极小值/所以，f(x)在(0 , + 8)上的极小值是f 1 =- 1. e e(2)当xC 0, 1 , f(x)单调递减且f(x)的取值范围是 一二0 ;当xC 1, +8时，f(x)单调递增且f(x)的取值范围 eeeI 1 ，1 ,是一e，+ 00 .令y=f(x), y=m,两函数图象交点的横坐标是 f(x)m=0的解，由(1)知当m0时，原方程有唯一解；当一 1Vm对 f(x)求导得 f x)=ex( + a 2)2 .当 a = 3 时，若，x)=0,则 4x28x+ 3=0

26、,解得 xi = 0,知 ax2-2ax+10 在 R 上恒成立，因此 A= 4a2-4a= 4a(a-1)0,知 0vawi.11.已知函数f(x)=x3+mx2+nx2的图象过点(1, 6),且函数g(x)=f (x) + 6x的图象关于y轴对称.(1)求m, n的值及函数y = f(x)的单调区间；(2)若a1,求函数y=f(x)在区间(a - 1, a+1)内的极值.解：(1)由函数 f(x)图象过点(一1, 6),得 m n=3.由 f(x)=x3+mx2+nx2,得 f (x) = 3x2+2mx+ n,则 g(x)2m+6=f (x)+6x= 3x2+(2m+6)x+n.而g(x

27、)的图象关于y轴对称，所以一。= 0.所以m= 3,代入，得n= 2x30.于是 f (x)=3x2-6x= 3x(x-2).由 f (x)0,得 x2 或 x0,故 f(x)的单调递增区间是(一8, 0)U (2,+ o)；由f (x)0,得0Vx2,故f(x)的单调递减区间是(0,2).(2)由(1)得f (x)=3x(x 2),令f (x)=0,得x=0或x= 2.当x变化时，f (x)、f(x)的变化情况如下表：x(8, 0)0(0,2)2(2, 十叼f (x)十0一0十f(x)极大值极小值/由此可得:当1a3时，f(x)在(a- 1, a+1)内无极值.综上得：当1a3时，f(x)无极值.3. C 由图象知 f(x)= x(x+ 1)(x-2) = x3-x2-2x= x3+bx2+cx+ d, ，b=1, c= 2, d= 0M xi, x2是函数 f(x)