一个不等式链的应用

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1、一个不等式链的应用人教版高中数学第二册（上）习题6.2第3题：已知a，b为正数，求证：，当且仅当ab时等号成立。此不等式链含有6个不等式： 这些不等式就是同学们熟悉的均值不等式及其变化，但在解题中常常被忽视，若能灵活运用，则会给解题带来很多方便，现举例说明。例1. 某商品计划提价两次，有甲、乙、丙三种方案：甲方案第一次提价p%，第二次提价q%；乙方案第一次提价q%，第二次提价p%；丙方案第一次提价，第二次再提价，其中。则经过两次提价后，哪种方案的提价幅度最大？为什么？解：设该商品原价为a，两次提价后的价格按甲、乙、丙三种方案的次序依次为，则：，由不等式得：故丙方案提价的幅度最大。例2. 已知a

2、，b，c均为正数，求证：。证明：由不等式，得：，。上述不等式相加得，。例3. 甲、乙两同学同时从寝室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步；乙一半时间步行，一半时间跑步。如果两人步行速度、跑步速度均相同，则（）A. 甲先到教室 B. 乙先到教室C. 两人同时到教室 D. 不确定解：设从寝室到教室的路程是s，甲（乙）跑步和步行的速度分别为a，b，甲、乙两人所用时间分别为，则：，由不等式，得（ab），所以，故选B。例4. （人教版高中数学第二册（上）习题6.2第7题1）求证：在直径为d的圆内接矩形中，面积最大的是正方形，这个正方形的面积等于。证明：设矩形的长为x，宽为y，面积为S，则由不等式，得。当且仅当时等号成立，故。练一练设，求证：。证明过程提示：因为，且，所以同理三式相加，得：