高等几何模拟试题教育试题

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1、高等几何试题（A）一、 填空题（每题3分共15分）1、 是仿射不变量， 是射影不变量2、 直线上的无穷远点坐标为 3、 过点（1,i,0）的实直线方程为 4、 二重元素参数为2与3的对合方程为 5、 二次曲线过点的切线方程 二、 判断题（每题2分共10分）1、两全等三角形经仿射对应后得两全等三角形 （ ）2、射影对应保持交比不变，也保持单比不变 （ ）3、一个角的内外角平分线调和分离角的两边 （ ）4、欧氏几何是射影几何的子几何，所以对应内容是射影几何对应内容的子集 （ ） 5、共线点的极线必共点，共点线的极点必共线 （ ）三、(7分)求一仿射变换，它使直线上的每个点都不变，且使点（1,-1）

2、变为（-1，2）四、（8分）求证:点三点共线，并求使 五、(10分)设一直线上的点的射影变换是证明变换有两个自对应点，且这两自对应点与任一对对应点的交比为常数。六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。七、（10分）（1）求点（5，1，7）关于二阶曲线的极线（2）已知二阶曲线外一点求作其极线。（写出作法，并画图）八、（10分）叙述并证明德萨格定理的逆定理九、（10分）求通过两直线交点且属于二级曲线 的直线十、（10分）已知是共线不同点，如果 高等几何试题（B）一、 填空题（每题3分共15分）1、 仿射变换的不变点为 2、 两点决定一条直线的对偶命题为 3、 直线i ,2,1-i 上的

3、实点为 4、 若交比 则 5、 二次曲线中的配极原则 二、判断题（每题2分共10分）1、不变直线上的点都是不变点 （ ）2、在一复直线上有唯一一个实点 （ ）3、两点列的底只要相交构成的射影对应就是透视对应 （ ） 4、射影群仿射群正交群 （ ） 5、二阶曲线上任一点向曲线上四定点作直线，四直线的交比为常数 （ ） 三、(7分)经过的直线与直线相交于，求 四、（8分）试证：欧氏平面上的所有平移变换的集合构成一个变换群五、（10分）已知直线的方程分别为：求证四直线共点，并求六、(10分) 利用德萨格定理证明：任意四边形各对对边中点的连线与二对角线中点的连线相交于一点七、（10分）求（1）二阶曲线

4、的切线方程 （2）二级曲线在直线L1，4，1 上的切点方程八、（10分）叙述并证明德萨格定理定理（可用代数法）九、（10分）已知二阶曲线（C）：（1） 求点关于曲线的极线（2） 求直线关于曲线的极点十、（10分）试证：圆上任一点与圆内接正方形各顶点连线构成一个调和线束高等几何试题（C）一、填空题（每题3分共15分）6、 直线在仿射变换下的像直线 7、 轴轴上的无穷远点坐标分别为 8、 过点（1,-i ,2）的实直线方程为 9、 射影变换自对应元素的参数为 10、 二级曲线在直线上1,4,1的切点方程 三、 判断题（每题2分共10分）1、仿射变换保持平行性不变 （ ）2、射影对应保持交比不变，也

5、保持单比不变 （ ）3、线段中点与无穷远点调和分离两端点 （ ）4、 如果点的极线过点，则点的极线也过点 （ ）5、不共线五点可以确定一条二阶曲线 （ ）三、(7分)已知轴上的射影变换，求坐标原点，无穷远点的对应点 四、（8分）已知直线的方程分别为 且求直线的方程。五、（10 分）已知同一直线上的三点求一射影变换使此三点顺次变为并判断变换的类型，六、（10分）求证：两直线所成角度是相似群的不变量。七、（10分）求射影变换的不变点坐标八、（10分）叙述并证明帕斯卡定理九、（10分）求通过两直线交点且属于二级曲线 的直线十、（10分）试证:双曲型对合的任何一对对应元素 ,与其两个二重元素E,F调和

6、共轭即()=-1 高等几何标准答案（A）一、 填空题：（每空3分共15分） 1、单比，交比 2、（1,-3,0） 3、 4、 5、二、判断题（每题2分共10分） 1、错，2、错，3、对，4、错，5、对三、解：在直线上任取两点 2分 由设仿射变换为 将点的坐标代入可解得 7分四、证明：因为 所以三点共线 4分 由： 解得 所以 8分五、证明：令 解得 即有两个 自对应点 4分 设k与 对应，有为常数 10分 注：结果 有也对，不过顺序有别。六、证明：设两直线为： 相似变换为： 将变换代入直线a的方程得： 5分 即 即两直线的夹角是相似群的不变量 10分七、解：（1）设（5，1，7）为P点坐标，

7、二阶曲线矩阵为 A= 所以点P的极线为SP=0即 得 x2=0 （2）略八（在后边）九、解：通过直线的交点的直线的线坐标为 若此直线属于二阶曲线则有 即 解得 10分十、解：设所以 10分八、德萨格定理的逆定理：如果两个三点形的对应边的交点共线，则对应顶点的连线共点。 4分 证明; 如图三点形ABC与A1B1C1的三对应边交点L,M,N共线，证明对应顶点连线共点,考虑三点形BLB1与CMC1则有对应顶点连线共点N ，故对应边的交点A,A1,0共线OABCLMNB1A1C1高等几何标准答案（B）一、 填空题：（每题3分共15分） 1、, 2、两条直线确定一个交点，3、(2,-1,2) 4、 5、

8、如果点的极线过点则点的极线也过点。二、 判断题：（每题2分共10分） 1、错，2，对， 3、错， 4、对 ， 5、对三、解：过的直线方程为： 2分 直线与的交点为 4分 所以 7分四、 证明：设平移变换的表达式为 T: 设任意两个平移变换为： 仍为一个平移变换 4分 又对任意变换T: 也是一个平移变换 所以平移变换的集合关于变换的乘法构成群。 8分五、 解：方程转化为齐次坐标形式： 2分 所以四直线共点。 6分 因为： 所以： 10分六、 证明：如图ABCDPHEGRM考虑三点形与则平行，也平行所以与相交于无穷远处。同理与与相交于无穷远处。故共线。有的萨格定理，三点形对应顶点连线共点。即相交于

9、一点。 10分七、（1）因为点在二阶曲线上，所以切线方程为： SP= 5分 （2） 因为直线1，4，1 在二级曲线上所以切点方程为 TL=(1,4,1) 10分八、证明：（1）如果两个三点形对应顶点的连线交于一点，则对应线的交点在一条线上。 3分 OABCLMNB1A1C1（2）如图 因为共线，所以 同理 故有 即 同理 三式相加得 所以三点共线。 10分九、解： (1)点的极线为：SP=(1,2,1)9x1+2x2+4x3=0 5分 （2）设直线的极点为则有 解方程组可得极点 10分十、证明：如图ABCDPE 为圆内接正方形，为圆上任意点。因为所以为角的平分线。 同理可证明是角平分线。即是角

10、的内外角平分线。 所以直线构成调和线束。 10分 高等几何标准答案（C）一、 填空题：(每题3分共15分) 1、 2、（1，0，0），（0，1，0） 3、 4、-1，3 5、二、判断题：（每题2分共10分）1、 对 ， 2、错， 3、对， 4、对， 5、错三、解：变换化为齐次坐标形式： 3分 将坐标原点（0，1），无穷远点（1，0）代入得对应点分别为： （-1，3）和（2，1） 7分四、解：由题意得 设 则 3分 而 所以 整理得： 8分五、解：在直线上建立适当坐标系使的坐标分别为 3分 则有 设变换为 将坐标代入可求得 7分 非齐次形式为： 因方程 无实数解 所以变换是椭圆形。 10分六、证

11、明：设两直线为： 相似变换为： 将变换代入直线a的方程得： 5分 即 即两直线的夹角是相似群的不变量 10分七、解：由特征方程： 4分 将 得 ,故上的点都是不变点时不变点列。 10分八、对任意一个内接于非退化二阶曲线的简单六点形，它的三对对边的交点在一条直线上。 证明： 如图A1A2A3A4A5A6LMNEF对应边交点分别为，以为射心 与成射影对应，而与点列成透视对应 与点列成透视对应 所以点列与成射影对应。而位自对应点，所以两点列成透视对应。 故对应点连线共点。 即共点， 交点在上。 10分九解：通过直线的交点的直线的线坐标为 若此直线属于二阶曲线则有 即 解得 所求直线的坐标 1,2,2

12、和-1,-14,10 10分十、证明：为自对应元素，与对应则有 而 所以 得 因为不重合故 10分高等几何试题一、填空题（每题3分，共27分）1、 两个三角形面积之比是（ ）。2、 相交于影消线的二直线必射影成（ ）。3、 如果两个三点形的对应顶点连线共点，则这个点叫做（ ）。4、一点在一直线上的充要条件是（ ）。5、 已知,则=（ ），=（ ）。6、 如果四直线满足，则称线偶和 （ ）。7、两个点列间的一一对应是射线对应的充要条件是（ ）。8、 不在二阶曲线上的两个点P，Q关于二阶曲线成共轭点的充要条件是（ ）。9、 仿射变换成为相似变换的充要条件是（ ）。二、计算题（每题8分，共56分）1

13、、 计算椭圆的面积（椭圆方程： ）2、 求共点四线，的交比。3、 求射影变换的不变元素。4、 求二阶曲线经过点的切线方程。5、 求双曲线的渐近线方程。6、 求抛物线的主轴和顶点。7、 求使三点，顺次变到点， 的仿射变换。三、已知，验证它们共线并求的值。（8分）四、 求证：两个不同中心的射影对应线束对应直线的交点构成一条二阶曲线。（9分）答案:一、1、仿射不变量 2、平行直线 3、透视中心4、 5、3 2 6、调和分离7、任何四个对应点的交比相等 8、9、这个变换使圆点保持不变二、1、解：设在笛氏直角坐标系下椭圆的方程为经过仿射变换 其对应图形为圆。在仿射变换之下，所以对应，其中，根据定理3.6

14、推论2，有 所以 因此所给椭圆的面积为。2、解：化为齐次方程： 取为基线，则有 由定理1.11的推论，得 3、解：由方程 得所以， （重根）将代入（3.4.3）得于是得为不变点列（即轴），这条直线上的点都是不变点，因此这条直线是不变直线。4、解：将点的坐标代入二阶曲线方程中得 所以点在二阶曲线上，故切线方程为 即 亦即 为所求切线方程。5、解：设渐近线的方程为根据（2.9）有 解之，得，所以渐近线方程为和化简，得所求为和。6、解：因为代入（4.11），得主轴为 即 解方程 得顶点之坐标为。7、解：设所求仿射变换为于是有 解此方程组，得，故所求的仿射变换为三、解：因为 且所以共线。设由得同理可得所以四、证明：射影平面上建立了射影坐标后，设两个线束的方程分别为： （1） （2）由于它们是射影对应，所以满足： （3）从（1），（2），（3）中消去得即 （1.3）这里都是关于的一次齐次式，所以（1.3）式表示一条二阶曲线。由于的交点坐标和的交点坐标都满足（1.3）。所以形成二阶曲线的两个线束的中心也在这条二阶曲线上。20借鉴试题