附录Ⅰ平面图形的几何性质

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1、附录平面图形的几何性质第一节静矩和形心第一节静矩和形心定义定义: :图形对图形对z轴和轴和y轴的静矩（或面积矩，或一次矩）轴的静矩（或面积矩，或一次矩）: : AyAzzdAS,ydAS平面图形的静矩不仅与图形的大小和形状有关，还与坐标轴的平面图形的静矩不仅与图形的大小和形状有关，还与坐标轴的位置有关。同一平面图形对于不同的坐标轴，其静矩不同。位置有关。同一平面图形对于不同的坐标轴，其静矩不同。静矩的静矩的数值数值: :正，负，零正，负，零。静矩的静矩的量纲量纲: L: L3 3均质等厚薄板的重心坐标均质等厚薄板的重心坐标,也就是平面图形也就是平面图形形心坐标形心坐标公式公式AzdAz,Ayd

2、AyAcAc若若Sz=0和和Sy=0，则，则yC=0和和zC=0。可见，若图形对某轴的。可见，若图形对某轴的静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；反之，若某静矩等于零，则该轴必通过图形的形心；反之，若某轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。轴通过图形的形心，则图形对该轴的静矩必等于零。ASz,ASyyczcAzS,AyScycz若已知图形的面积若已知图形的面积A及其对及其对z轴和轴和y轴的静矩时，即可轴的静矩时，即可确定此图形的形心坐标确定此图形的形心坐标(yC、zC)。若已知图形面积若已知图形面积A及其形心坐标及其形心坐标(yC、zC)时，即可计算时，即可计算此图形对此图形对z轴和轴和

3、y轴的静矩。轴的静矩。当一个平面图形是由若干个简单图形（例如矩形、圆当一个平面图形是由若干个简单图形（例如矩形、圆形、三角形等）组成时，根据静矩的定义，形、三角形等）组成时，根据静矩的定义，组合图形组合图形对某轴的静矩应等于其各组成部分对该轴静矩之和，对某轴的静矩应等于其各组成部分对该轴静矩之和，niiniiciycniiniiciccAzAASz,AyAASy1111式中，式中，Ai、yiC、ziC分别表示各个简单图形的面积和形分别表示各个简单图形的面积和形心坐标，心坐标，n为简单图形个数为简单图形个数例例-1试求图示三角形对试求图示三角形对z轴和轴和y轴的静矩，并确轴的静矩，并确定图形形心

4、定图形形心C的位置。的位置。niniicizizniniiciyiyyASS,zASS1111组合图形形心坐组合图形形心坐标的计算公式标的计算公式:yd)yh(hbyd)y(bAd620bhydy)yh(hbAdyShAz620hbzdz )zb(bhAdzSbAy326 32622bbhhbASz,hbhbhASyyCzC解解: 取平行于取平行于z轴的狭长条作为微面积轴的狭长条作为微面积dA，则，则由静矩定义得由静矩定义得图形的形心坐标为图形的形心坐标为oyzzCzdzbydyyChb(y)h(y)例例-2确定图确定图-3所示所示L形平面图形的形心形平面图形的形心C的位置。的位置。解解: 将

5、图形看作是由两个矩形将图形看作是由两个矩形和和组成的，选取坐标组成的，选取坐标系如图所示，每一矩形的面积和形心坐标分别为系如图所示，每一矩形的面积和形心坐标分别为mm70mm)210020( mm,10mm220 ,mm2000mm2010011221CCyzAmm10mm220 mm,40mm280 ,mm1600mm208022222CCyzAmm3 .43mm16002000101600702000mm3 .23mm16002000401600102000212211212211AAyAyAyAAzAzAzCCCCCC120oyzC(zC , yC)802020平面图形的形心平面图形的形

6、心C的坐标为的坐标为:第二节惯性矩和惯性积定义定义:图形对图形对z轴和轴和y轴的轴的惯性矩惯性矩（或二次矩）（或二次矩）:AyAzdAzI,dAyI22AyzAdzyIApAdI2结论：结论：（1）取值取值:Iz、Iy和和Ip恒为正值；恒为正值；Iyz可能为正、负或零可能为正、负或零.图形对图形对z、y轴的轴的惯性积惯性积:图形对坐标原点图形对坐标原点O的的极惯性矩极惯性矩:（2）惯性积等于零惯性积等于零: 图形对包图形对包含对称轴的任一对正交轴的惯含对称轴的任一对正交轴的惯性积必为零。性积必为零。 zyAAAApIIAyAzAyzAIddd)(d22222zypIII（3）极惯性矩与对正交坐

7、标轴的惯性矩关系极惯性矩与对正交坐标轴的惯性矩关系:（4） 组合图形组合图形:nizizniyiyII,II11（5）量纲量纲为长度的四次方。为长度的四次方。yzzyyzo例例-3试求图示试求图示矩形矩形截面图形对其形心轴截面图形对其形心轴z、y的惯性的惯性矩矩Iz、Iy。解解: 取与取与z轴平行的狭长条（图中阴影线部分）为微面轴平行的狭长条（图中阴影线部分）为微面积，则积，则dA=bdy。矩形截面对。矩形截面对z轴的惯性矩为轴的惯性矩为1232222bhydbyAdyI/h/hAz1232222hbxdhzAdzI/b/bAy再取与再取与y轴平行的狭长条为微面积，轴平行的狭长条为微面积，同理

8、可得矩形截面对同理可得矩形截面对y轴的惯性矩轴的惯性矩为为yzybhdyo解解: 在圆形截面上距圆心为在圆形截面上距圆心为处取宽处取宽度为度为d的圆环为微面积，则的圆环为微面积，则dA=2d，圆形截面对圆心的极惯性矩为圆形截面对圆心的极惯性矩为32242032ddAdI/dAp644dIIyz因为圆形截面是中心对称的图形，因为圆形截面是中心对称的图形，所以截面对所以截面对z轴和轴和y轴的惯性矩相等，轴的惯性矩相等，即即Iz=Iyyzdod例例-4试求图示试求图示圆形圆形截面和圆环形截面图形对圆心截面和圆环形截面图形对圆心的极惯性矩的极惯性矩Ip以及对各自形心轴以及对各自形心轴z、y的惯性矩的惯

9、性矩Iz、Iy。同理可得同理可得圆环圆环截面对圆心的极惯性矩为截面对圆心的极惯性矩为对形心轴对形心轴z、y的惯性矩为的惯性矩为)(3244dDIP64)(44dDIIyzyzdodD惯性半径惯性半径: 图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平图形对某轴的惯性矩与图形面积之比的平方根，称为图形对该轴的惯性半径，用方根，称为图形对该轴的惯性半径，用i表示，表示，AIiAIiyzzy 3212321233bbhhbAIi,hbhbhAIiyyzz矩形矩形截面图形，其对截面图形，其对z z轴和轴和y y轴的惯性半径为轴的惯性半径为 圆形圆形截面图形的截面图形的惯性半径为惯性半径为446424dddiiyz

10、ayybzzCC , AACACACAzAaAyaAyAayAyIdd2d d)(d22220d,d2ACzACAyIAyCAaIICzz2abAIIAbIICCCyzzyyy2第三节第三节 平行移轴公式平行移轴公式 惯性矩和惯性积的平行移轴公式惯性矩和惯性积的平行移轴公式 oyzzCzbyayCCyCzC 例例-5 试求图示试求图示T形截面图形对形截面图形对其形心轴其形心轴zC的惯性矩的惯性矩IzC。m91.8mmm2012020100602012013020100212211AAyAyAyCCC464231mm102.990mm2100)8 .91130(20100121)(zCI（2）计

11、算各分图形对图形形心轴）计算各分图形对图形形心轴zC的惯性矩的惯性矩(IzC)i。ozyCCzC1201002020yC解解:(1)确定图形形心坐标。确定图形形心坐标。4646621mm108.3mm)1031. 51099. 2()()(zCzCzCIII（3）计算组合图形对形心轴的惯性矩）计算组合图形对形心轴的惯性矩IzC。464232mm105.310mm1220)608 .91(12020121)(zCIozyCCzC1201002020yC例例-6试求图示三角形试求图示三角形OBD对对z、y轴和形心轴轴和形心轴zC、yC的惯性积的惯性积Izy、IzCyC。bh)zb(yydzdAdb

12、bhzbbAzyhbzzbzbhyyzzAzyI022222/)(0024d2ddd7223324332222hbbhhbhbAhbIIzyzCyC解解: 三角形斜边三角形斜边BD的方程式为的方程式为取微面积取微面积三角形对三角形对z、y轴的惯性积轴的惯性积Izy为为zoyb/3zdzbydyh/3hzCyCC由惯性积的平由惯性积的平行移轴公式行移轴公式 第四节 转轴公式平面图形对过同一点两对坐标轴平面图形对过同一点两对坐标轴的惯性矩和惯性积之间的关系。的惯性矩和惯性积之间的关系。 sincossincos11zyBEADACyyzBDOEOCzAAAAAzAyzAzAyAzyAyIdcoss

13、in2dsindcos d)sincos(d22222211zAIAdy2yAIAdz2zyAIAdyz2/ )2cos1 (cos22/ )2cos1 (sin2oyzzdAy1z1yy1z1上式右端的各项积分分别为上式右端的各项积分分别为并且并且:2sin2cos221zyyzyzzIIIIII2sin2cos221zyyzyzyIIIIII因此因此同理同理2cos2sin211zyyzyzIIIIyzyzIIII11可以证明可以证明:平面图形对于通过同一点的任意一对正平面图形对于通过同一点的任意一对正交轴的两惯性矩之和为一常量。交轴的两惯性矩之和为一常量。第五节主惯性轴和主惯性矩图形对图

14、形对z z0 0、y y0 0轴的惯性积轴的惯性积I Iz z0 0y y0 0=0=0，这一对轴，这一对轴z z0 0、y y0 0称为称为主惯性轴主惯性轴。图形对主惯性轴的惯性矩称为。图形对主惯性轴的惯性矩称为主惯性矩主惯性矩。 0 0所确定的坐标轴即主惯性轴，图形对其惯性矩为最大值所确定的坐标轴即主惯性轴，图形对其惯性矩为最大值或最小值，亦即对通过或最小值，亦即对通过O O点的所有轴的惯性矩中，两个主惯性点的所有轴的惯性矩中，两个主惯性矩一个是最大值，而另一个是最小值。矩一个是最大值，而另一个是最小值。 yzzyIII22tan00)2cos2sin2(21zyyzzIIIddI010/

15、的角度即使ddIz02cos2sin20000zyyzyzIIII由此可求出相差由此可求出相差90的两个角度的两个角度0，从而确定主惯性轴的位置。，从而确定主惯性轴的位置。将求惯性矩将求惯性矩Iz1的式子对的式子对取导数，并令其为零取导数，并令其为零 过图形形心的主惯性轴称为过图形形心的主惯性轴称为形心主惯性形心主惯性轴。图形轴。图形对形心主惯性轴的惯性矩称为对形心主惯性轴的惯性矩称为形心主惯性矩形心主惯性矩。 图形对于对称轴的惯性积等于零，而形心又必然图形对于对称轴的惯性积等于零，而形心又必然在对称轴上，所以在对称轴上，所以图形的对称轴就是形心主惯性轴图形的对称轴就是形心主惯性轴。 如果这里

16、讨论的平面图形是杆件的横截面，则截如果这里讨论的平面图形是杆件的横截面，则截面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为面的形心主惯性轴与杆件轴线所确定的平面，称为形形心主惯性平面心主惯性平面。纵向对称面就是形心主惯性平面。纵向对称面就是形心主惯性平面。22022042124212zy)yzyzyzyyzyzzIII(IIII)II(III主惯性矩的计算公式为主惯性矩的计算公式为非对称纯弯曲：非对称纯弯曲：若梁没有对称轴若梁没有对称轴,但但y、z轴为其形轴为其形心主惯性轴。当纯弯曲外力偶矩作用于形心主惯性心主惯性轴。当纯弯曲外力偶矩作用于形心主惯性平面平面xy内时，以内时，以z轴为中性轴，公式

17、轴为中性轴，公式=Ey/，仍能满，仍能满足所有静力平衡方程。即这种情况下仍能用公式足所有静力平衡方程。即这种情况下仍能用公式=My/Iz计算横截面上的应力。计算横截面上的应力。 确定组合图形形心主惯性轴位置和形心主惯性确定组合图形形心主惯性轴位置和形心主惯性矩步骤：矩步骤：(1)确定组合图形的形心位置。确定组合图形的形心位置。 (2)计算组合图形对形心轴的惯性矩和惯性积。计算组合图形对形心轴的惯性矩和惯性积。 (3)确定组合图形的形心主惯性轴和计算形心主确定组合图形的形心主惯性轴和计算形心主惯性矩。惯性矩。例例-7试确定图示试确定图示Z Z形截面图形的形心主惯性轴的形截面图形的形心主惯性轴的位

18、置，并计算形心主惯性矩。位置，并计算形心主惯性矩。解解 (1)确定图形形心位置。因图形是反对称的，故形确定图形形心位置。因图形是反对称的，故形心在对称中心心在对称中心O点。点。(2)求对形心轴求对形心轴z、y的惯性矩和惯性积。为此，将图的惯性矩和惯性积。为此，将图形分割为三个矩形，则整个图形对形分割为三个矩形，则整个图形对z、y轴的惯性矩和轴的惯性矩和惯性积为惯性积为464233321mm1008. 5 2mm10605601210601212010 zzzzIIII464321mm1031. 2 10mm60)55(35106055)35(0 zyzyzyzyIIII464233321mm1

19、084. 1 2mm10603051260101210120 yyyyIIII（3）确定形心主惯性轴位置。）确定形心主惯性轴位置。426. 124. 362. 41084. 11008. 5)1031. 2(222tan6660yzzyIII9227 ,8554426. 1arctan200（4）计算形心主惯性矩。）计算形心主惯性矩。4646646226220maxmm1028. 6mm)1082. 21046. 3( mm1031. 24)84. 108. 5(21210)84. 108. 5( 4)(212zyyzyzzIIIIIII464660minmm1064. 0)mm0182. 21046. 3(yIIozyCCzC1201002020yC2060练习练习：计算图形：计算图形对形心轴对形心轴zc的惯性的惯性矩矩IzC。