积化和差与和差化积公式教师版

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1、积化和差与和差化积公式、和角、倍半角公式复习课1、 基本公式复习1、两角和与差公式及规律 2二倍角公式及规律 3、积化和差与和差化积公式 生动的口诀：（和差化积） 口诀 正加正，正在前，余加余，余并肩 正减正，余在前，余减余，负正弦 反之亦然 和差化积公式是积化和差公式的逆用形式，要注意的是： 其中前两个公式可合并为一个：sin+sin=2sincos 积化和差公式的推导用了“解方程组”的思想，和差化积公式的推导用了“换元”思想。 只有系数绝对值相同的同名函数的和与差，才能直接运用公式化成积的形式，如果一个正弦与一个余弦的和或差，则要先用诱导公式化成同名函数后再运用公式化积。 合一变形也是一种

2、和差化积。 三角函数的和差化积，可以理解为代数中的因式分解，因此，因式分解在代数中起什么作用，和差化积公式在三角中就起什么作用。 3、积化和差与积差化积是一种孪生兄弟，不可分离，在解题过程中，要切实注意两者的交替使用。如在一般情况下，遇有正、余弦函数的平方，要先考虑降幂公式，然后应用和差化积、积化和差公式交替使用进行化简或计算。和积互化公式其基本功能在于：当和、积互化时，角度要重新组合，因此有可能产生特殊角；结构将变化，因此有可能产生互消项或互约因式，从而利于化简求值。正因为如此“和、积互化”是三角恒等变形的一种基本手段。sin +sin =2sin(+)/2cos(-)/2的证明过程 因为

3、sin(+)=sin cos +cos sin ， sin(-)=sin cos -cos sin ， 将以上两式的左右两边分别相加，得 sin(+)+sin(-)=2sin cos ， 设 +=，-= 那么 =(+)/2, =（-）/2 把，的值代入，即得 sin +sin =2sin(+)/2cos(-）/2 cos(-)-cos(+) =(coscos+sinsin)-(coscos-sinsin) =2sinsin sinsin=-1/2-2sinsin =-1/2(coscos-sinsin)-(coscos+sinsin) =-1/2cos(+)-cos(-) 其他的3个式子也是相

4、同的证明方法。4、万能公式 证： 注意：1、上述三个公式统称为万能公式。2、 这个公式的本质是用半角的正切表示正弦、余弦、正切，即：所以利用它对三角式进行化简、求值、证明，可以使解题过程简洁3、上述公式左右两边定义域发生了变化，由左向右定义域缩小。2、 应注意的问题1、两角差的余弦公式是本章中其余公式的基础，应记准该公式的形式.2、倍角公式有升、降幂的功能，如果升幂，则角减半，如果降幂，则角加倍，根据条件灵活选用.3、公式的“三用”（顺用、逆用、变用）是熟练进行三角变形的前提.3、整体原则-从角度关系、函数名称差异、式子结构特征分析入手，寻求三角变形的思维指向；4、角度配凑方法 ，其中是任意角

5、。三、例题讲解例1 已知，均为锐角， sin=，求+的值。解析：由已知条件有cos=，且0+。 又cos(+)=coscos-sinsin 例2已知（） 求（） 若求的值解当时，当时，故当n为偶数时，当n为奇数时，例3已知（） 求的值；（） 当时，求的值解（）方法从而，方法设（）由已知可得 例4已知求的值. 解 例5已知求的值. 解 将两条件式分别平方，得 将上面两式相加，得 例6 的值等于 （ ）A B C D 解故选B.例7 已知cos()= 都是锐角，求cos(+)的值。解析：由已知条件有因为0sin2=，所以02，所以0。又因为0，所以-0。由、得-。又因为cos（-）=，所以。=。从

6、而cos(+)=cos2-(-) =cos2cos(-)+sin2sin(-) 评析：本例通过0sin2= ，发现了隐含条件：0，将-的范围缩小为，进而由cos(-)= ,将-的范围确定为，从而避免了增解。例8 已知，且tan,tna是一元二次方程的两个根，求+的值。解析：由已知条件得tan+tan= ，tantan=40， 所以tan0，tan0。又因为 ，所以所以-+0。又因为tan(+)= =所以+= 。评析：本例根据韦达定理tan+tan= ，tantan=4，挖掘出了隐含条件tan0,tan0，知，得出了+的确切范围，从而顺利求解。例9 已知，求；解：=；例10 已知，的值解：，又因

7、为（）及，所以，即，所以注：“已知”与 “未知”的联系是“ =”，从而目标是求出的值例11 已知且是第二象限的角，求解：是第二象限的角， ，即，=注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”例12 已知解：又所以可知是第一象限的角，是第三象限的角， 注：“未知”与“已知”和“已知”的联系显然是“”例13 已知求（）（）解：解法一：得：；得：，即，所以解法二：把已知和差化积得：得：即得：注：求利用方法一简单，求利用方法二简单一般地，已知两角的正余弦的和与差，求两角和与差的正余弦，往往采用和差化积或者平方后求和与差【 课堂练习1】 1cos105的值为 （ ） A B C D 2对于任何、（0

8、，），sin(+)与sin+sin的大小关系是 （ ） Asin(+)sin+sin Bsin(+)sin+sin Csin(+)=sin+sin D要以、的具体值而定3已知，sin2=a，则sin+cos等于 （ ） A B C D4已知tan=，tan=，则cot(+2)= 5已知tanx=，则cos2x= 【 课堂练习2】 求下列各式的值 1cos200cos80+cos110cos10= 2（cos15+sin15）= 3化简1+2cos2cos2= 4cos(20+x)cos(25x)cos(70x)sin(25x)= 5 = 【课后反馈1】 1已知0，sin=，cos(+)=，则s

9、in等于 （ ） A0 B0或 C D0或2 的值等于 （ ） A2+ B C2 D 3 ABC中，3sinA+4cosB=6，4sinB+3cosA=1，则C的大小为 （ ） A B C 或 D 或4若是锐角，且sin()= ，则cos的值是 5coscoscos = 6已知tan=，tan=，且、都是锐角求证：+=45 7已知cos()=，cos(+)= ，且（）（，），+（，2），求cos2、cos2的值 8 已知sin(+)= ，且sin(+)= ，求 【课后反馈2】 1cos75+cos15的值等于 （ ） A B C D 2a=（sin17+cos17），b=2cos2131，c=

10、 ，则 （ ） Acab B bca C abc D bac 3化简= 4化简sin(2+)2sincos(+)= 5 在ABC中，已知A、B、C成等差数列，则tan+tan+tantan的值为 6 化简sin2A+sin2B+2sinAsinBcos(A+B) 7 化简sin50(1+tan10) 8 已知sin(+)=1，求证：sin(2+)+sin(2+3)=0 参考答案：【 课堂练习1】 1 C 2 B 3 B 4 5【 课堂练习2】 1 2 3 2 4 5tan2【课后反馈1】 1 C 2 C 3 A 4 5 6略 7 cos2=，cos2=1 8 【课后反馈2】 1 A 2 A 3 tan 4 sin 5 6 sin2（AB）7. 1 8 .略 例14 已知，求3cos 2q + 4sin 2q 的值。 解： cos q 0 (否则 2 = - 5 ) 解之得：tan q = 2 原式【 课堂练习1】1. 已知sinx =，且x是锐角，求的值。2. 下列函数何时取得最值？最值是多少？1 2 3 【课后反馈1】1. 求函数在上的最小值。参考答案：【 课堂练习1】1、2、 、【课后反馈1】1