高等数学章节作业

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1、章节作业第一章 行列式一、单项选择题1.行列式 ( A ). A. 1 B. 0 C. -1 D. 22.行列式的充分必要条件是 ( C ).A. B. C.且 D. 或3行列式 ( D ). A. 1 B. 0 C. -1 D. 5 4.行列式 ( C ). A. 1 B. 0 C. -18 D. 65.若，则 ( D ). A. 1 B. -2 C. -3 D. 66.若三阶行列式，则 ( B ). A. m2 B. -m2 C. m4 D. -m47.设，则 ( C ). A. 5 B. 10 C. 20 D. 68.若，则D1= ( B ).A. 8 B. -60 C. 24 D. -

2、249.行列式中，元素的代数余子式的值为 ( B ).A. 24 B. 42 C. -42 D. -2410.设四阶行列式D的第三列元素为-1，2，0，1，它们的余子式的值依次分别为-2，-5，-9，4，则D= ( A ).A. -4 B. 8 C. 16 D. 1211.当（ ）成立时，阶行列式的值为零. ( B ).A. 行列式的主对角线上的元素全为零B. 行列式中零元素的个数多于n个C. 行列式中每行元素之和都相等D. 行列式中每行元素之和都为零12.下列结论不正确的是 ( D ).A. 若上三角形行列式的主对角线上的元素全为零，则行列式的值为零.B. 若行列式中有两列元素对应成比例，则

3、行列式的值为零.C. 若行列式中某行元素都是零，则行列式的值为零.D. 行列式中每列元素之和都相等，则行列式的值为零.13.设，则下式中正确的是 ( D ).A. B. C. D. 14.若方程组有非零解，则k取值为 ( C ).A. B. C. D. 15.若方程组仅有零解，则 ( C ).A. B. C. 且 D. 或 二、填空题1.若行列式，则k = 3 .2.行列式 8+2a3- 6a2 .3.行列式 0 .4.行列式 6 .5. .6.行列式 （a2-b2）2 .7.若，则x = -3或1 .8.行列式 0 .9.行列式 -24 .10. 中的代数余子式的值为 -3 .11. 已知四

4、阶行列式D中第二列元素依次为：1，2，0，-1，它们的余子式依次分别为：2，1，3，-1，则D = 1 .12.设五阶行列式D=2，对D做以下变换：先交换D的第一行与第五行，再转置，用2乘以所有元素，再用-3乘以第二列后加到第四列，则行列式D的值为 -12 .13.按第三列展开计算行列式 a+b+d .14.n阶行列式 xn+（-1）n+1bn .15.已知方程组有非零解，则的值为 1或-2 .16.当方程组 满足_D=/0_时，有唯一零解. 三、计算题1. ； 2. ； 3. ； 4. ；5. ； 6. 6. ；7. ； 8. 8. ； 9. ； 10. ；11. ； 12.；13. ；14

5、. ；15. . 四、证明题1.； D=解2. ；3. ；4. = 0. 五、用克莱姆法则解下列线性方程组：1. ； 2. ；3. ；4. .第二章 矩阵一、单项选择题1.设矩阵A=，B=，则2A+3B= ( A ). A. B. C. D. 2.已知方阵A=，则|A|，|2A|的值依次为 ( B ). A. -13，-26 B. -13，-104 C. 13，26 D.-13，1043.设n阶方阵A的行列式|A|=a，则|A|A|= ( D ). A. B. C. D. 4.设矩阵Asn,Bnm,则下列运算有意义的是 ( B ).A. A2 B. AB C. BA D. ABT5.设矩阵=,

6、下列矩阵中能乘在A的右边是( A ). A. B. (b1 b2 b3) C. D.6.若A=(1，2，3)，B=(1，2，3，4)，则(ATB)T是 ( C ).A. 13矩阵 B. 34矩阵 C. 43矩阵 D. 14矩阵7.设A, B均为n阶非零方阵,下列正确的是 ( D ).A. (A+B)(A-B) = A2-B2 B. (A+B)2 = A2+2AB+B2 C.若AB = O，则A = O或B = O D. |AB| = |A| |B| 8.设A，B均为同阶方阵，则下列结论正确的是 ( C ).A. (AB)T =ATBT B. AAT = AT AC.若A=AT，则(A2)T=A

7、2. D.若A=AT, B=BT,则(AB)T =AB. 9.设A是任意一个n阶矩阵，那么下列是对称矩阵的是 ( D ). A. AT+A B. AT-A C. A- AT D. A2 10.设A，B，C均为n阶非零方阵，下列选项正确的是 ( B ).A.若 AB=AC，则B=C B. (ABC)2 = A2B2C2 C. ABC= BCA D. |ABC| = |A| |B| |C| 11.设A，B均为n阶方阵,则等式(A+B)(A-B) = A2-B2成立的充分必要条件是 ( D ).A. A=E B. B=O C. A=B D. AB=BA 12.若矩阵A，B满足AB=E，且ABC有意义

8、，则下列选项正确的是 ( B ).A. BA=E B. A, B 都是可逆矩阵 C. A-1=B D. ABC = C 13.设A，B均为n阶可逆方阵，则下列等式成立的是 ( D ).A. AB=BA B.C. D.14.设A是n阶可逆矩阵，A*是A的伴随矩阵，则 ( B ).A. | A*|=|A| B. | A*| = |A|n-1 C. | A*| = |A|n D. | A*| = |A|-115.矩阵的伴随矩阵是 ( B ). A. B. C. D. -16.设A是三角形矩阵，若主对角线上元素( C )，则A可逆.A.全都为零 B.可以有零元素 C.不全为零 D.全不为零17.已知二

9、阶方阵A=，则A的逆矩阵A-1 = ( B ). A. B. C. D.18.设n阶矩阵A、B、C满足ABC=E，则C-1 = ( A ). A. AB B. BA C. A-1B-1 D. B-1A-119.若A为二阶方阵，且A的行列式|A|=-2，则|-2(A-1)T| = ( C ).A. -4 B. 1 C. 2 D. 820.若A，B，C皆为n阶方阵，则下列关系中，不一定成立的是( B ).A. A+B=B+A B.(A+B)+C=A+(B+C) C. AB=BA D. (AB)C=A(BC)21.若A，B皆为n阶可逆方阵，则下列关系式中，一定成立的是( C ).A. (A+B)2

10、= A2+2AB+B2 B. (A+B)-1 = A-1+B-1 C. (AB)-1 = B-1A-1 D. (AB)T= AT BT22.下列结论正确的是 ( D ). A. A，B均为方阵，则 ( k 2，kN ). B. A，B为n阶对角矩阵，则AB=BA. C. A为方阵，且A2 = O,则A = O. D. 若矩阵AB=AC，且AO，则B=C.23.设A是二阶可逆矩阵，则下列矩阵中与A等价的矩阵是( D ). A. B. C. D.24.已知二阶矩阵的行列式|A|= -1，则(A*)-1 = ( A ). A. B. C. D.25.下列矩阵中不是初等矩阵的是 ( C ).A. B.

11、 C. D.26.设A, B, C为同阶方阵，则(ABC)T = ( B ). A. ATBTCT B. CTBTAT C. CTATBT D. ATCTBT27.设n阶方阵A是满秩矩阵，下列结论不成立的是 ( B ).A. r(AT)= n B. |A|= 0 C. |A|0 D. A可逆28.设矩阵的秩为1，则 ( A ).A. t =2 B. t = 1 C. t = -1 D. t = -2 29.设矩阵的秩为1，则 ( A ).A. t =6 B. t = -6 C. t = 1 D. t = -2 30.设矩阵的秩为2，则 ( A ).A. B.t = -4 C. t是任意实数 D

12、.以上都不对31.设矩阵A的秩为r，则下列结论正确的是 ( B ). A. A中所有r阶子式都不为零 B. A中存在r阶子式不为零 C. A中所有r阶子式都为零 D. A中存在r+1阶子式不为零32.下列结论正确的是 ( D ).A. 奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为非奇异矩阵 B. 非奇异矩阵经过若干次初等变换可以化为奇异矩阵 C. 非奇异矩阵等价于单位矩阵D. 奇异矩阵等价于单位矩阵二、填空题1.设,则A+B= . 2.设,则2A+B= . 3.设,则2A-B= .4.若矩阵A与矩阵B的积AB为3行4列矩阵，则矩阵A的行数是 .5.若等式成立，a=_.6.设矩阵，则ATB=_.7.已知矩

13、阵，则AB-BA= .8.已知矩阵A=(1，2，-1), B=(2，-1，1), 且C=ATB, 则C2= .9.设A为二阶方阵，若|3A|=3，则|2A|= .10.设A为三阶方阵，|A|=2，则 |-2A| = .11.设A为四阶方阵，|A|=3，则 | = .12.矩阵的逆矩阵A-1= .13.设则其伴随矩阵A*= . 14.设,则其逆矩阵A-1= .15.设，则A*A= .16.已知矩阵方程XA=B, 其中 则X= .17.设A，B，C皆为n阶方阵，若A，B皆可逆，则矩阵方程AXB=C的解X= .18.设A为二阶可逆矩阵，且已知(2A)-1=，则A= .19.设矩阵A=，则矩阵A的秩为

14、 .20.已知矩阵A =,且r(A)=2，则a = .三、计算题1.已知A为四阶方阵，且|A|=2，求：(1) |- A|； (2) |2A|； (3) |AAT|； (4) | A2|.2.设矩阵,E为二阶单位矩阵，矩阵B满足BA=B+E，求|B|.3.设A，B均为三阶方阵，且已知|A|=4，|B|=5，求|2AB|.4.求下列矩阵的逆矩阵：(1) A =；(2) A =；(3) A =；(4)，其中5.解下列矩阵方程：(1)；(2)=；(3)； (4)；(5)； (6).6.已知矩阵，矩阵X满足AXB=C，求解X. 7.设，且X满足X=AX+B，求X.8.设A, B均为三阶方阵，且|A|=

15、-1，|B|=5，求|2(ATB-1)2|.9.设A为三阶方阵，A*是A的伴随矩阵，且|A|=，求|(3A)-1-2A*|.10.求下列矩阵的秩：(1)； (2) ； (3) ；(4)； (5)；(6).四、证明题 1.试证：若B1，B2都与A可交换，则B1+B2，B1B2也都与A可交换. 2.对于任意方阵A，证明：A+AT；AAT都是对称矩阵. 3.试证：若n阶矩阵A，B，C都可逆，则ABC也可逆，并且(ABC)-1=C -1B-1A-1. 4.设A是n阶方阵，且满足AAT=E，证明：|A| = 1或|A| = -1.5.设A是n阶方阵，且(A+E)2 = O，证明A可逆.6.已知n阶方阵A

16、, B满足2A-1B=B-4E, 证明矩阵A-2E可逆.7.设Ak = O (k为正整数), 求证：(E-A)-1 =E+A+A2+Ak-1.8.设n阶方阵A满足2A2-A-2E=O, 证明A可逆，并求A-1.9.设A是n阶方阵，证明：|A*|=|A|n-1 (n2).10.设A, B皆为mn矩阵，证明：A与B等价的充分必要条件是r(A) = r(B).第三章 向量空间一、单项选择题1.设向量，则 ( ).A. (8, 37, 18 ) B.(-8, 37, 18) C.(8, -37, 18) D.(8, 37, -18)2.设向量，则( ).A.(-1, 3, 7, 6 ) B.(1, 3

17、,6, 7) C.(2, 0, 7, 6) D.(-1, 3, -7, 6)3.若向量组线性相关，则一定有 ( ). A. a=b=c B. b=c=0 C. c=0 D. c04.向量组，则( ).A.是R3的一组基 B.线性相关C.不是R3的一组基 D.可能线性相关，可能线性无关5.向量组和向量组均线性无关，则向量组 ( ).A.一定线性相关 B.一定线性无关C.不能由线性表出 D.既可以线性相关也可以线性无关6.设，则 ( ).A.线性无关 B.线性无关C.线性无关 D.线性相关7.向量组线性相关，则( ).A. k = -7 B. k = 7 C. k = 0 D. k = 18.向量

18、组线性相关，则( ).A. k = 0 B. k = -2 C. k = 2 D. k = 19.线性无关,则( ).A. k1 B. k-1 C. k0 D. k210.设A是阶方阵，且|A|=0，则下列命题成立的是 ( ).A. A中必有某一行向量为零向量 B. A中每一行向量可以由其余行向量线性表出C. A中存在某一行向量可以由其余行向量线性表出D. A中每一行向量都不能由其余行向量线性表出11.维向量组线性无关的充要条件是( ).A.存在一组不全为零的数，使B.中任意两个向量都线性无关C.中存在一个向量,它不能用其余向量线性表出D.中任意一个向量都不能用其余向量线性表出12.若向量组线

19、性相关，则向量组中 可由其余向量线性表示. ( ).A.每一向量不 B.每一向量C.存在一个向量 D.仅有一个向量13. 已知向量组线性无关，则向量组 ( ).A. 线性无关B. 线性无关C. 线性无关D. 线性无关 14. 设向量，下列命题中正确的是 ( ).A.若线性相关，则必有线性相关B.若线性无关，则必有线性无关C.若线性相关，则必有线性无关D.若线性无关，则必有线性相关15.若向量组线性相关，则必可推出 ( ).A.中至少有一个向量为零向量B.中至少有两个向量成比例C.中至少有一个向量可由其余向量线性表示 D. 中每一个向量都可由其余向量线性表示16.已知线性无关，则向量组 ( ).

20、A.线性相关 B.线性无关C.既可以线性相关也可以线性无关 D.是否线性相关与向量的维数有关17.设向量组：与向量组：等价，则必有 ( ).A.向量组线性相关 B.向量组线性无关C.向量组的秩向量组的秩 D.不能由线性表出18.设是维向量组，则 ( ).A. 线性无关 B. 仅有一个向量可由其余向量线性表出C. 至少有2个向量可由其余向量线性表出 D. 至少有4个向量可由其余向量线性表出19.设有两个同维向量组与，则下列选项正确的是 ( ).A. 若两向量组与等价，则s = t.B. 若s = t，则两向量组与等价.C. 若两向量组与等价，则r () = r ().D. 若r () = r (

21、)，则两向量组与等价.20. 设向量组的两个极大无关组分别是和，则下列选项中正确的是 ( ).A. r + t = m B. r + t m C. r = t D. r t二、填空题1.已知向量满足关系式又则= . 2.表示为向量组的线性组合式为 . 3.已知向量，如果，则 .4.设向量和向量线性相关，则a= .5.设向量组线性无关，而向量组线性相关，则向量组的极大无关组为 .6.设有向量组线性相关，则t = .7.设向量组的秩为2，则a = .8.向量组的秩为 .9.向量组的秩为 .10.向量组的秩是 . 11.已知向量组的秩为2，则t = . 12.向量在基下的坐标是 . 13.设向量组与

22、向量组等价，则的秩 . 14.设,则 .15.设向量组与向量组等价，则向量组的秩为 .16.设是R3的一组基，且在这组基下的坐标为(1,1,-1)，则t = .三、计算题1.已知，求：(1)；(2).2.已知，又满足，求.3.设向量满足，其中求.4.将向量表示成向量组的线性组合.5.将下列各题中向量表示为其他向量的线性组合.(1)；(2).6.求向量组,的秩和极大线性无关组，并将其余向量表示为该极大线性无关组的线性组合.7.求向量的一个极大线性无关组，并将其余向量表成该极大线性无关组的线性组合.8.求向量组的秩和一个极大线性无关组，并将其余向量用该极大无关组线性表示.9.已知，及.问：(1)

23、a, b为何值时，不能表示成的线性组合.(2) a, b为何值时，可由唯一线性表示，并写出该表示式.10.判定下列向量组是线性相关还是线性无关.(1)；(2)；(3)；(4)(5)；(6).11.设向量组，(1) t为何值时，向量组线性无关？(2)为何值时，向量组线性相关？并用表示出.12.求在基下的坐标.四、证明题1.设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关.2.设向量组线性相关，向量组线性无关，证明：(1)可以由线性表出；(2)不能由线性表出.3.设向量组线性无关，证明：向量组也线性无关.4.设向量组线性无关，可由线性表示，而不能由线性表示.证明：向量组线性无关.5.设向量组线性无关，令，

24、证明：线性相关.6.设向量组线性无关，为任意实数，证明：向量组线性无关.7.设向量组线性无关，且.证明：若，则向量组也线性无关.8.证明是三维向量空间R3的一个基，并求在此基下的坐标.第四章 线性方程组一、单项选择题1.设为矩阵，则n元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 ( ).A. B. C. D.2.设A为矩阵，且非齐次线性方程组有唯一解，则必有 ( ).A. m=n B.r(A)=m C. r(A)=n D.3.设n个未知量的齐次线性方程组的方程个数mn，则一定有( ). A.方程组无解 B.方程组有解C.方程组有唯一解 D.方程组有无穷多解4.对于线性方程组与其导出组,下列命题正确

25、的是 ( ).A. 若有解，则有解 B. 若有非零解,则有无穷多解C. 若有唯一解,则仅有零解 D. 若有解,则有基础解系5.设A为矩阵，齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是 ( ).A. A的列向量组线性相关B. A的列向量组线性无关C. A的行向量组线性相关 D. A的行向量组线性无关6.对非齐次线性方程组，设秩(A)= r，则 ( ).A. r = m时，方程组有解 B. r = n时，方程组有唯一解C. m = n时，方程组有唯一解 D.时，方程组有无穷多解7.设u1, u2是非齐次线性方程组Ax = b的两个解，若cu1+u2也是方程组Ax = b的解，则 ( ).A. c = -

26、1 B. c = 0 C. c = 1 D. c = 2 8.设矩阵A的秩，是齐次线性方程组的三个线性无关的解向量，则方程组的基础解系为 ( ).A.B.C.D.9.设是齐次线性方程组的一个基础解系，则下列解向量组中，可以作为该方程组基础解系的是 ( ).A.B.C. D.10.设是Ax = b的解，是对应导出组的解，则( ).A.是的解 B.是的解C.是的解 D.是的解11.设A为n阶矩阵，秩(A)= n-1，是非齐次线性方程组两个不同的解，则的通解是 ( ).A.B. C. D. 12.设是非齐次线性方程组的两个解，则以下结论正确的是 ( ).A.是的解B.是的解C.是的解() D.是的解

27、13.设3元非齐次线性方程组的两个解，且系数矩阵A的秩r(A)= 2，则对于任意常数，方程组的通解可表为 ( ).A. B.C. D.14.设，则Ax=o的基础解系含有解向量的个数为 ( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 015.已知是齐次线性方程组Ax=o的两个解，则矩阵A可为 ( ). A. B. C. D.16.若方程组有解，则= ( ). A. 1 B. -1 C. 2 D. -2二、填空题1.设齐次线性方程组有非零解，则常数k=_2.已知方程组只有零解，则常数k的取值为_3.已知齐次线性方程组有非零解，则a=_4.非齐次线性方程组 有解的充分必要条件是k=_5.设线性方程组有

28、解，则t = .6.已知某个3元非齐次线性方程组的增广矩阵经初等行变换化为：，若该方程组无解，则的取值为_7.元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩，则的基础解系所含解向量的个数是_8.设A为45的矩阵，且秩(A)=2，则齐次方程组的基础解系所含解向量的个数是_9.设A是43矩阵，若齐次线性方程组只有零解，则秩(A)= _10.齐次线性方程组的通解是_11.非齐次线性方程组的通解是_12.设非齐次线性方程组的增广矩阵为，则该方程组的通解为_13.若都是齐次线性方程组的解向量，则 14.已知、是3元非齐次线性方程组Ax=b的两个解向量，则对应齐次线性方程组有一个非零解向量 15.设，是n元非齐次线性方

29、程组的两个不同的解，秩(A)=n-1，那么方程组所对应的齐次线性方程组的通解为_16.设是非齐次线性方程组的解，为常数，若也是的一个解，则_ 三、计算题1.求出下面齐次线性方程组的一个基础解系，并表示出其通解.(1) ； (2)；(3) ；(4)；(5)； (6).2.求出下面非齐次线性方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示).(1)；(2)；(3) ；(4).3.已知齐次线性方程组，当a为何值时，方程组只有零解？又在何时有非零解？在有非零解时，求出其通解(要求用基础解系表示)4.设3元齐次线性方程组 ，(1) 当a为何值时，方程组有非零解；(2) 当方程组有非零解时，求出它的基

30、础解系并表示出通解5.已知线性方程组 ，(1) 求当a为何值时，方程组无解、有解；(2) 当方程组有解时，求出其通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)6. 已知线性方程组 ，(1) 求当为何值时，方程组无解、有唯一解、有无穷多解；(2) 当方程组有无穷多解时，求出方程组的通解(要求用其一个特解和导出组的基础解系表示)四、证明题1.设 是齐次方程组的基础解系，证明：也是的基础解系2.设 是齐次方程组的基础解系，证明：也是的基础解系3.设为非齐次线性方程组的一个解，是其导出组Ax=o的一个基础解系，证明：线性无关4.设是线性方程组Ax=b的m个解，当时，证明也是方程组Ax=b的解.第五章

31、特征值与特征向量一、单项选择题1.设,则矩阵A的特征值为 ( ).A. 2，2 B. 2，0 C. 1，2 D. 2，-32.设二阶矩阵A的特征值为1，2，则2A的特征值为 ( ).A. -2，2 B. 2，0 C. 1，2 D. 2，4 3.设，则A2的特征值为 ( ).A. B. C. D.4.已知，则A的迹tr(A)= ( ).A. 1 B. 3 C. 4 D. 55.设三阶矩阵A的特征值为-1，1，2，则A+E的特征值为 ( ).A. 0, 2, 3 B. -1, 1, 2 C. 1, 2, 3 D. 2, 1, -1 6.设三阶矩阵A的特征值为1，-1，2，则|A|= ( ).A.

32、-2 B. 2 C. 4 D. 07.设三阶矩阵A的特征值为2，3，4，则|A-1| = ( ).A. 2 B. 3 C. 24 D. 1/248.已知向量=(-1,-3,-2,7), =(4,-2,1,0)，则(,) = ( ).A. 0 B. 1 C. 2 D. 39.设n阶矩阵A满足A2=A，则A的所有可能的特征值是 ( ).A. 0 B. 0，1 C. 1 D. 0，210.下列向量中与向量=(1，1，1)和=(1，-2，1)都正交的是 ( ).A.(1, 0, 1) B.(1, 2, 3) C.(a, 0, -a) D.(a, 0, a)11.设A是n阶实方阵，则下列说法正确的是 (

33、 ). A.矩阵A必有n个实特征值 B.矩阵A的不同特征值对应的特征向量必线性无关 C.矩阵A的不同特征值对应的特征向量必正交 D.矩阵A的同一个特征值对应的特征向量都线性相关12.设三阶矩阵A与B相似，已知A的特征值为2, 2, 3.则|B-1|=( ).A. 1/12 B. 1/7 C. 7 D. 12二、填空题1.设，则矩阵A的特征值为 .2.设A、B是两个n阶方阵，如果存在某个n阶可逆矩阵P，使得 ，则称A和B是相似的.3.设P1和P2分别是方阵A的属于两个不同特征值和的特征向量，则P1和P2必线性 .4.设向量，则的内积 .5.已知向量=(1，2，3)，则的长度|= .6.已知三阶矩

34、阵A的特征值为1，1，2，则|A+2E|= .7.设三阶方阵A的特征值为1，-1,2，又方阵B=A2-5A+2E,则|B|= .8.若矩阵A与B=相似，则A的特征值为 .9.已知n阶方阵A是正交矩阵，则|A|= .10.向量正交的充分必要条件是 .11.设A为3阶矩阵，已知|3A+2E|=0，则A必有一个特征值为 .12.若A=是正交矩阵，则x = .三、计算题1.设，求B=A2 -A+2E所有的特征值.2.设，求出A的所有特征值和特征向量.3.求矩阵的特征值和特征向量.4.求矩阵的特征值和特征向量.5.设矩阵，(1)求A的特征值和特征向量；(2)判断矩阵A是否与对角矩阵相似，若相似写出可逆矩

35、阵P及对角矩阵.6.设矩阵，(1)求A的特征值和特征向量；(2)判断矩阵A是否与对角矩阵相似，若相似写出可逆矩阵P及对角矩阵.7.设A=，问A是否相似于对角矩阵？若相似，求出其相似标准形.8.已知三阶矩阵A的特征值为-1，2，3，求：(1) |A|及tr(A)；(2) A-1的特征值；(3) A2的特征值；(4) 2A的特征值；(5) A2-2A+3E的特征值.9.已知=(-1，1)，=(4，-2)，求.10.设，求出正交矩阵P，使得P-1AP为对角矩阵.四、证明题1.若A与B是相似的两个方阵，证明与相似(k1的整数).2.设方阵A满足A2=A，且A与B相似，证明：B2=B.3.设A是可逆矩阵

36、，A与B相似，证明：其伴随矩阵A*与B*也相似.4.设A，B和A+B都是n阶正交矩阵，那么(A+B)-1=A-1+B-1.5.设，和都是n维实向量，k1，k2是任意实数.如果分别，与正交，证明必与正交. 第六章 实二次型一、单项选择题1.二次型的矩阵是 ( ). A. B. C. D.2.二次型的矩阵为 ( ).A. B. C. D.3.下列矩阵不是某二次型的矩阵是 ( ).A. B. C. D. 4.二次型的秩为( ). A. 1 B. 2 C. 3 D. 45.设矩阵，则二次型xTAx的规范形为 ( ). A. B. C. D.6.n阶对称矩阵A为正定矩阵的充分必要条件是 ( ).A. B

37、.存在n阶矩阵P，使得C.负惯性指数为0 D.各阶顺序主子式均为正数7.设A, B为同阶方阵，且，当( )时，A=B.A.r(A)=r(B) B. C. D.且8.矩阵，则A合同于矩阵 ( ).A. B. C. D.9.下列矩阵中是正定矩阵的是 ( ).A. B. C. D.10.下列矩阵中是正定矩阵的是 ( ).A. B.C. D.11.设二次型为正定二次型，则 ( ).A. B. C. D. 12. A为n阶实对称矩阵且A正交，则一定有 ( ).A. A=E B.A相似于E C. D. A合同于E13.实二次型为正定二次型的充分必要条件是 ( ).A. A的特征值均大于等于零 B. A的特

38、征值均大于零C. A的任意阶子式均大于等于零 D. A的任意阶子式均大于零 14.二次型的系数矩阵A是( )时必是正定二次型.A.实对称且主对角线上元素为正B.实对称且顺序主子式值都为正数C.实对称且所有元素为正D.实对称且行列式值为正数15.个变量的实二次型为正定二次型的充分必要条件是 ( ).A.的秩为n B.的正惯性指数等于的秩C.的正惯性指数为n D.的负惯性指数为n16.设A与B均为n阶矩阵，则下列命题成立的是 ( ). A. A与B等价，则A与B相似B. A与B相似，则A与B等价C. A与B等价，则A与B合同D. A与B相似，则A与B合同二、填空题1.设二次型的矩阵为，则二次型 .

39、2.已知二次型，写出二次型的矩阵A= . 3.设二次型的矩阵为，则二次型 .4.设二次型的秩为 .5.二次型的秩为 ，正惯性指数为 ，负惯性指数为 ，符号差为 .6.对称矩阵为正定矩阵的充分必要条件是 .7.设为正定矩阵，则a的最大取值范围是 .8.若实对称矩阵为正定矩阵，则a的取值应满足 .9.设二次型正定，则满足 .10.利用正交变换将二次型化为标准形是：，则矩阵A的特征值为 .11.实二次型的矩阵A=，则正惯性指数为 .12.设二次型的正惯性指数为p，负惯性指数为q，则符号差p-q= .三、计算题1.写出下列二次型所对应的矩阵：(1)；(2).2.用配方法将下列二次型化为标准形.(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6).3.判断二次型是否为正定二次型.4. 设， 当时，判断f是否是正定二次型.5.求a的值，使下列二次型为正定二次型.(1) (2) 6.设，用正交变换法化二次型为标准形，并写出所作的正交替换.7.设二次型.已知它的矩阵A的特征值之和为1，特征值之积为-12.(1)求出a和b的值； (2)求出正交变换，将它化成标准形；(3)写出此二次型的规范形. 四、证明题1.设A为正定矩阵，B为同阶半正定矩阵，证明：A+B为正定矩阵.2.设A为任意实可逆矩阵，证明：ATA与AAT均为正定矩阵.3.证明：n阶实对称矩阵A正定的充分必要条件是存在可逆矩阵P，使得A=PTP.