人教A版高中数学选修1－1第六讲《导数及其应用》教学设计

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1、人教A版高中数学选修11第六讲导数及其应用教学设计.（基础题组）1已知函数在上有极值点；则（ ）w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 【变式】若函数有大于零的极值点；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m则（ ） 2 , （1）求的值域； （2）若，求的值域； （3）在（2）的条件下，若对于任意的，总存在 使得，求的取值范围。【变式】（1）证明：函数在上为减函数 （2）已知函数，若在 上至少存在点，使得成立； 求实数的取值范围； （3）已知函数，若在 上至少存在点，使得成立； 求实数的取值范围。 （4）已知函数，若在 上至少存在点，使得成立； 求实数的取值范围。3已知函数 （1）若函数的图象

2、在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上是增函数，求的取值范围。4设函数满足： 都有，且时，取极小值 （1）的解析式； （2）当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直。5已知函数，其中为参数，且；（1）当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。6函数实数（1）若，求函数的单调区间；（2）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；（3）若与在区间内均为增函数，求的取值范围。.（提高题组）1已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线上两

3、点处的切线都与轴平行，且线段 与轴有公共点；求实数的取值范围。【变式1】已知函数；（1）当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围。【变式2】已知函数（1）求在区间上的最大值；（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且仅有3个交点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。【变式3】已知函数； （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的 三条切线；求证：2已知函数。（1）设，讨论的单调性；（2）若对任意恒有，求的取值范围。【变式1】设函数，若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。【变式2】已知函数（1）当时，求函数的极值；（2）当时，证明：对任意的，当

4、时，有【变式3】已知（1）求函数的单调区间;（2）求函数在上的最小值;（3）对一切的,恒成立，求实数的取值范围。3已知函数为常数） （1）若在上单调递减， 上单调递增，且，求证： （2）若在和处取得极值，且在时，函数的图象在直线的下方，求的取值范围？【变式1】已知是定义在上的函数, 其 图象交轴于三点, 若点的坐标为, 且 在和上有相同的单调性, 在 和上有相反的单调性. （1）求 的取值范围；（2）在函数的图象上是否存在一点, 使得 在点的切线斜率为? 若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；（3）求的取值范围。【变式2】已知函数（1）求函数的极点（2）证明：当时，函数的图象在直线的下方。

5、4已知函数 （1）判断函数的单调性，并证明； （2）若当时，恒成立；求整数的最大值。.（综合与创新题组）1已知函数自变量取值区间，若其值域区间也为，则称区间为的保值区间. （1）求函数形如的保值区间； （2）如果的保值区间是，求实数的取值范围。2甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度(km/h)的平方成正比，比例系数为,固定部分为元.（1）把全程运输成本(元)表示为(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？【变式】设计一幅宣传画，要求

6、画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为,画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白；（1）怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？（2）如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？3如图，曲线段是函数的图象，过点。过作曲线的切线交轴于点，过作垂直于轴的直线交曲线于点，过的切线交轴于点如此反复，得到一系列点，设。（1）求 ；（2）求的表达式；（3）证明：。4抛物线经过点与，其中，设函数在和处取到极值。（1）用表示；（2） 比较的大小（要求按从小到大排列）；（3）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求。5已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的

7、正数，证明：（1）当时，（2）当时，【变式1】已知函数； （1）证明：存在唯一，使成立； （2）设； 证明：； （3）证明：【变式2】已知函数（1）当时，求函数的极值； （2）函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：； （3）对任意的图像在处的切线的斜率为，求证：是成立的充要条件6已知椭圆及其上一点；（1）求证：直线是椭圆上过点的切线。 （2）由（1）的结论，探讨过曲线或曲线上一点的切线方程（不用证明）。【方法1】（法）【方法2】（同一法）【方法3】（导数法）【方法4】（参数法）第六讲 导数及其应用.（基础题组）1已知函数在上有极值点；则（） 【变式】若函数有大于零的极值点；则（）

8、 2, （1）求的值域； （2）若，求的值域； （3）在（2）的条件下，若对于任意的，总存在 使得，求的取值范围。解：（1）是单调递减函数 （2）当时， 在是单调递减函数 （3）由题意得：【变式】（1）证明：函数在上为减函数 （2）已知函数，若在 上至少存在点，使得成立； 求实数的取值范围； （3）已知函数，若在 上至少存在点，使得成立； 求实数的取值范围。 （4）已知函数，若在 上至少存在点，使得成立； 求实数的取值范围。解：（1） 得：函数在上为减函数 （2）当时，当时，不合题意当时，在上单调递增合题意当时，在上单调递减不合题意 时，在上至少存在点，使得成立 （3）当时，不合题意 当时，原

9、命题在上有解 在上有解（*） 当时， 得： 时， （*） （4）当时， 当时，得：不存在点，使得成立 当时，在上单调递增 原命题3已知函数 （1）若函数的图象在处的切线方程为，求的值； （2）若函数在上是增函数，求的取值范围。解：（1） 由题意得： （2）函数在上是增函数 在上恒成立 在上恒成立4设函数满足： 都有，且时，取极小值 （1）的解析式； （2）当时，证明：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直。解：（1） 都有 在上恒成立 时，取极小值 得时，取极小值 （2）当时，函数图象上的点切线斜率 任取 则 得：函数图象上任意两点处的切线不可能互相垂直。 5已知函数，其中为参数，且；（1）

10、当时，判断函数是否有极值；（2）要使函数的极小值大于零，求参数的取值范围；（3）若对（2）中所求的取值范围内的任意参数，函数在区间内都是增函数，求实数的取值范围。解：（1）当时， 得在上单调递增函数没有极值 （2） 当时，函数没有极值，不合题意 当时， 函数的极小值大于零 当时， 函数的极小值大于零无解 （3）函数在区间内都是增函数 或在上恒成立 或6函数实数（1）若，求函数的单调区间；（2）当函数与的图象只有一个公共点且存在最小值时，记的最小值为，求的值域；（3）若与在区间内均为增函数，求的取值范围。解：（1）当时， 得：的单调递增区间为 单调递减区间为 （2）函数与的图象只有一个公共点 只

11、有一个公共点 存在最小值 的最小值为 是单调递增函数 的值域为（3）当时，在上为减函数，不合题意 当时，在区间内为增函数 或或 当时， 在区间内为增函数 当时， 在区间内为增函数 或 当或时，与在内均为增函数.（提高题组）1已知函数（1）讨论函数的单调性；（2）若曲线上两点处的切线都与轴平行，且线段 与轴有公共点；求实数的取值范围。解：（1）当时， 当时，得：当时，的单调递增区间为与 单调递减区间为得：当时，的单调递减区间为与 单调递减区间为 （2）设 则曲线上两点处的切线都与轴平行 的两根为 线段与轴有公共点 【变式1】已知函数；（1）当时，求函数的极值；（2）若函数的图象与轴有且只有一个交

12、点，求的取值范围。解：（1）当时， 得：在处取极大值 在处取极小值（2） 当时， 在上是单调递增函数 函数的图象与轴有且只有一个交点 当时， 设两根为 则 得：的单调递增区间为 单调递减区间为 函数的图象与轴有且只有一个交点（*） 当时， （*） 综上所述，的取值范围是【方法2】函数的图象与轴有且只有一个交点 只有一个根（*） （*）在上只有一个根（*） 令（*）在上只有一个根 在上只有一个根（*） 当时，是单调递减 当时，是单调递增 当时，是单调递增 （*） 得：当时，函数的图象与轴有且只有一个交点【变式2】已知函数（1）求在区间上的最大值；（2）是否存在实数使得的图象与的图象有且仅有3个交

13、点？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由。解：（1）的对称轴为直线 当时，在区间上单调递减 当时，在区间上单调递增 当时， 得： （2）的图象与的图象有且仅有3个交点 有3个根有3个根（*） 当时，单调递增 当时，单调递增 当时，单调递减 （*）【变式3】已知函数； （1）求曲线在处的切线方程； （2）设，如果过点可作曲线的 三条切线；求证：解：（1） 得曲线在处的切线 曲线在处的切线方程为即 （2）由（1）得：过点作曲线的切线满足： 过点可作曲线的三条切线 关于方程有三个不同的根（*） 当时，单调递增 当时，单调递增 当时，单调递减 （*）2已知函数。（1）设，讨论的单调性；（2）若对任意

14、恒有，求的取值范围。解：（1）的定义域为 当时，的单调递增区间 为与 当时，的单调递增区间为，与的单调递增区间为 （2）当时， 当时， 在上单调递增 当时， 在上单调递减 不合题意 时，对任意恒有【变式1】设函数，若对所有的，都有成立，求实数的取值范围。【方法1】当时，对均有成立 当时，先证明恒成立 设 则 得：在上均为单调递减函数 当时， 得：当时， 恒成立当时， 恒成立 当时，取 不合题意 得：当时，对所有的，都有成立【方法2】当时，对均有成立 在恒成立 在恒成立（*） 当时， 当时，在上单调递增 得：（*）成立在恒成立 由，得：当时，对所有的，都有成立【变式2】已知函数（1）当时，求函数

15、的极值；（2）当时，证明：对任意的，当时，有解：（1）函数的定义域为当时，当时，在上单调递增 在上无极值当时，得：当时，有极小值（2）当，时， 设 则在上单调递减 得【变式3】已知（1）求函数的单调区间;（2）求函数在上的最小值;（3）对一切的,恒成立，求实数的取值范围。解：（1）函数的定义域为 的单调递增区间为，单调递减区间为 （2） 当时，在区间上单调递增 当时， 得：当时，函数在上的最小值为 当时，函数在上的最小值为3已知函数为常数） （1）若在上单调递减， 上单调递增，且，求证： （2）若在和处取得极值，且在时，函数的图象在直线的下方，求的取值范围？解：（1）原命题的两根为 （2）在和

16、处取得极值 当时， 函数的图象在直线的下方 在上恒成立 在上恒成立 在上恒成立（*） 或 （*）当时，的图象在直线的下方【变式1】已知是定义在上的函数, 其 图象交轴于三点, 若点的坐标为, 且 在和上有相同的单调性, 在 和上有相反的单调性. （1）求 的取值范围；（2）在函数的图象上是否存在一点, 使得 在点的切线斜率为? 若存在,求出点的坐标；若不存在,说明理由；（3）求的取值范围。解：（1） 由题意得：在和上有相反的单调性 当时，的另一个根为 在和上有相反的单调性 由题意得：的三个不同根为 得 二个不同根为 综上得：（2）假设在函数的图象上存在一点, 使得 在点的切线斜率为 则 有解（

17、*） 令 得：与（*）矛盾 在函数的图象上不存在一点, 使得 在点的切线斜率为 （3）由（1）得： 【变式2】已知函数（1）求函数的极点（2）证明：当时，函数的图象在直线的下方。解：（1） 得：与是函数的极小值点， 是函数的极大值点 （2）当时， 得：当时，函数的图象在直线的下方。4已知函数 （1）判断函数的单调性，并证明； （2）若当时，恒成立；求整数的最大值。解：（1） 得：函数在上是单调递减函数 （2）当时， 得：当时，不成立 当时， 得： 综上得：整数的最大值为3.（综合与创新题组）1已知函数自变量取值区间，若其值域区间也为，则称区间为的保值区间. （1）求函数形如的保值区间； （2）

18、如果的保值区间是，求实数的取值范围。解：（1） 在上单调递增或 得：函数的满足条件的保值区间为或 （2）的保值区间是 在上恒成立且存在使 在上恒成立且存在使 在上单调递增 2甲、乙两地相距千米，汽车从甲地匀速驶到乙地，速度不得超过千米/小时，已知汽车每小时的运输成本(以元为单位)由可变部分和固定部分组成，可变部分与速度(km/h)的平方成正比，比例系数为,固定部分为元.（1）把全程运输成本(元)表示为(km/h)的函数，并指出这个函数的定义域；（2）为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行驶？解：（1）由题意得： （2）当时，单调递减 得：当时，取最小值 当时， 当时，取最小值【变式】设计一

19、幅宣传画，要求画面面积为4840 cm2,画面的宽与高的比为,画面的上、下各留8 cm的空白，左右各留5 cm空白；（1）怎样确定画面的高与宽尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小？（2）如果要求，那么为何值时，能使宣传画所用纸张面积最小？解：（1）设画面的高为，纸张面积为 则画面的宽为， 当且仅当时， 此时画面的高为88cm，画面的宽为55cm。 （2） 单调递减 当时，取最小值 答（略）3如图，曲线段是函数的图象，过点。过作曲线的切线交轴于点，过作垂直于轴的直线交曲线于点，过的切线交轴于点如此反复，得到一系列点，设。（1）求 ；（2）求的表达式；（3）证明：。解：（1）曲线段在点的切线的斜率

20、得：切线的方程为 令 （2）曲线段在点的切线的斜率为 得：切线的方程为 令 数列是以为首项，公比为的等比数列 （3）设 则 得4抛物线经过点与，其中，设函数在和处取到极值。（1）用表示；（2） 比较的大小（要求按从小到大排列）；（3）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线均相切，求。解：（1）设抛物线 则 得 （2） 则的两根为 得5已知函数，的导函数是，对任意两个不相等的正数，证明：（1）当时，（2）当时，解：（1）设 则 在上单调递增 得：（3） （*） 当时，（*）恒成立【变式1】已知函数； （1）证明：存在唯一，使成立； （2）设； 证明：； （3）证明：解：（1）设 则 在上单调递

21、减 存在唯一，使成立 （2）当时， 在上单调递增 当时， 得成立 假设时，不等式成立，既成立 在上单调递增 得：时，不等式成立 由，得：对均成立 （3）【变式2】已知函数（1）当时，求函数的极值； （2）函数的图象上任意不同的两点连线的斜率都小于2，求证：； （3）对任意的图像在处的切线的斜率为，求证：是成立的充要条件解：（1）当时， 得：的单调递增区间为 单调递减区间为与 当时，的极小值为 当时，的极大值为 （2）原命题恒成立 恒成立 【注意】此方法要扣1-2分【正解】设函数的图象上任意不同的两点 则原命题恒成立 对任意恒成立 对任意恒成立 对任意恒成立 （3）由题意得： 在上恒成立 在上恒

22、成立（*） 当时，（*）成立 （*）在上恒成立 在上恒成立（*）当时，取“=”）当时，单调递增 （*）6已知椭圆及其上一点；（1）求证：直线是椭圆上过点的切线。 （2）由（1）的结论，探讨过曲线或曲线上一点的切线方程（不用证明）。（1）证明：点在椭圆上 得点在直线上【方法1】（方程法）当时，联立 得：直线是椭圆上过点的切线【方法2】（同一法）假设点也在直线和椭圆上则（1）-（3）得：（4）（3）-（2）得：（5）（4）-（5）得：得：点与点重合即是椭圆上过点的切线【方法3】（导数法）当时，直线与椭圆仅有一个公共点当时，椭圆上过点的切线得：椭圆上过点的切线方程为即得直线是椭圆上过点的切线【方法4】（参数法）设点及椭圆上另一点且则得：点不在直线上由点的任意性直线是椭圆上过点的切线w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 33