实验1 多元函数微分学(基础实验)指导书

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1、附录 大学数学实验指导书项目三 多元函数微积分实验1 多元函数微分学（基础实验）实验目的 掌握利用Mathematica计算多元函数偏导数和全微分的方法, 掌握计算二元函数极值和条件极值的方法. 理解和掌握曲面的切平面的作法. 通过作图和观察, 理解二元函数的性质、方向导数、梯度和等高线的概念.求多元函数的偏导数与全微分例1.1 (教材 例1.1) 设求输入Clearz;z=Sinx*y+Cosx*y2;Dz,xDz,yDz,x,2Dz,x,y则输出所求结果.例1.2 设求和全微分dz.输入Clearz;z=(1+x*y)y;Dz,xDz,y则有输出再输入Dtz则得到输出例1.3 (教材 例1

2、.2) 设其中a是常数, 求dz.输入Clearz,a;z=(a+x*y)y;wf=Dtz,Constants-a/Simplify则输出结果:(a+xy)-1+y(y2Dtx,Constants-a+ Dty,Constants-a(xy+(a+xy)Loga+xy)其中Dtx,Constants-a就是dx, Dty,Constants-a就是dy. 可以用代换命令“/.”把它们换掉. 输入wf/.Dtx,Constants-a-dx,Dty,Constants-a-dy输出为(a+xy)-1+y(dxy2+dy(xy+(a+xy)Loga+xy)例1.4 (教材 例1.3) 设,求输入

3、eq1=Dx=Eu+u*Sinv,x,NonConstants-u,v(*第一个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)eq2=Dy=Eu-u*Cosv,x,NonConstants-u,v(*第二个方程两边对x求导数, 把u,v看成x,y的函数*)Solveeq1,eq2,Du,x,NonConstants-u,v,Dv,x,NonConstants-u,v/Simplify(*解求导以后由eq1,eq2组成的方程组*)则输出 其中Du,x,NonConstants-u,v表示u对x的偏导数, 而Dv,x,NonCosnstants-u,v表示v对x的偏导数. 类似地可求得u,v对

4、y的偏导数.微分学的几何应用例1.5 求出曲面在点(1,1)处的切平面、法线方程, 并画出图形.解(1) 画出曲面的图形. 曲面的参数方程为输入命令Clearf;fx_,y_=2x2+y2;p1=Plot3Dfx,y,x,-2,2,y,-2,2;g1=ParametricPlot3Dr*Sinu/Sqrt2.,r*Cosu,r2,u,0,2*Pi,r,0,2则输出相应图形(图1.2).图1.2 (2) 画出切平面的图形. 输入命令a=Dfx,y,x/.x-1,y-1;b=Dfx,y,y/.x-1,y-1;px_,y_=f1,1+a(x-1)+b(y-1);g2=Plot3Dpx,y,x,-2,

5、2,y,-2,2;则输出切平面方程为及相应图形(图1.3).图1.3 (3) 画出法线的图形. 输入命令lyx_=1+b(x-1)/a;lzx_=f1,1-(x-1)/a;g3=ParametricPlot3Dx,lyx,lzx,x,-2,2;Showp1,g2,g3,AspectRatio-Automatic,ViewPoint-2.530,-1.025,2.000;则输出相应图形(图1.4).图1.4例1.6 (教材 例1.4) 求曲面在点处的切平面方程, 并把曲面和它的切平面作在同一图形里.输入Cleark,z;kx_,y_=4/(x2+y2+1);(*定义函数k(x,y)*)kx=Dk

6、x,y,x/.x-1/4,y-1/2;(*求函数k(x,y)对x的偏导数, 并代入在指定点的值*)ky=Dkx,y,y/.x-1/4,y-1/2;(*求函数k(x,y)对y的偏导数, 并代入在指定的值*)z=kx*(x-1/4)+ky*(y-1/2)+k1/4,1/2;(*定义在指定点的切平面函数*)再输入qm=Plot3Dkx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotRange-0,4,BoxRatios-1,1,1,PlotPoints-30,DisplayFunction-Identity;qpm=Plot3Dz,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction-Identit

7、y;Showqm,qpm,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出所求曲面与切平面的图形（图1.5）.图1.5多元函数的极值例1.7 (教材 例1.5) 求的极值.输入Clearf;fx_,y_=x3-y3+3x2+3y2-9x;fx=Dfx,y,xfy=Dfx,y,ycritpts=Solvefx=0,fy=0则分别输出所求偏导数和驻点:x-3,y-0,x-3,y-2,x-1,y-0,x-1,y-2再输入求二阶偏导数和定义判别式的命令fxx=Dfx,y,x,2;fyy=Dfx,y,y,2;fxy=Dfx,y,x,y;disc=fxx*fyy-fxy2输出为判别式

8、函数的形式:(6+6x)(6-6y)再输入data=x,y,fxx,disc,fx,y/.critpts;TableFormdata,TableHeadings-None, x , y , fxx , disc , f 最后我们得到了四个驻点处的判别式与的值并以表格形式列出.Xyfxxdiscf-30-12-7227-32-127231101272-51212-72-1易见,当时判别式disc=72, 函数有极大值31;当时判别式disc=72, 函数有极小值-5;当和时, 判别式disc=-72, 函数在这些点没有极值.最后,把函数的等高线和四个极值点用图形表示出来,输入d2=x,y/.cr

9、itpts;g4=ListPlotd2,PlotStyle-PointSize0.02,DisplayFunction-Identity;g5=ContourPlotfx,y,x,-5,3,y,-3,5,Contours-40,PlotPoints-60,ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity;Showg4,g5,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出图1.6.图1.6从上图可见, 在两个极值点附近, 函数的等高线为封闭的. 在

10、非极值点附近, 等高线不封闭. 这也是从图形上判断极值点的方法.注:在项目一的实验4中,我们曾用命令FindMinimum来求一元函数的极值, 实际上,也可以用它求多元函数的极值, 不过输入的初值要在极值点的附近. 对本例,可以输入以下命令FindMinimumfx,y,x,-1,y,1则输出-5.,x-1.,y-2.3660310-8从中看到在的附近函数有极小值-5, 但y的精度不够好.例1.8 求函数在条件下的极值.输入Clearf,g,la; fx_,y_=x2+y2;gx_,y_=x2+y2+x+y-1;lax_,y_,r_=fx,y+r*gx,y;extpts=SolveDlax,y

11、,r,x=0,Dlax,y,r,y=0,Dlax,y,r,r=0得到输出再输入fx,y/.extpts/Simplify得到两个可能是条件极值的函数值但是否真的取到条件极值呢? 可利用等高线作图来判断.输入dian=x,y/.Tableextptss,j,s,1,2,j,2,3g1=ListPlotdian,PlotStyle-PointSize0.03,DisplayFunction-Identitycp1=ContourPlotfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Contours-20,PlotPoints-60,ContourShading-False,Frame-False,Axes

12、-Automatic,AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity;cp2=ContourPlotgx,y,x,-2,2,y,-2,2,PlotPoints-60,Contours-0,ContourShading-False,Frame-False,Axes-Automatic,ContourStyle-Dashing0.01,AxesOrigin-0,0,DisplayFunction-Identity;Showg1,cp1,cp2,AspectRatio-1,DisplayFunction-$DisplayFunction输出为及图1.7. 从图可见，在

13、极值可疑点处, 函数的等高线与曲线(虚线)相切. 函数的等高线是一系列同心圆, 由里向外, 函数值在增大, 在的附近观察, 可以得出取条件极大的结论. 在 的附近观察, 可以得出取条件极小的结论.图1.7梯度场例1.9 画出函数的梯度向量.解 输入命令GraphicsContourPlot3DGraphicsPlotField3D1.0,Axes-True,AxesLabel-x,y,z;vecplot3d=PlotGradientField3Df,x,-1.1,1.1,y,-1.1,1.1,z,-2,2,PlotPoints-3,VectorHeads-True;Showvecplot3d,

14、 cp3d;则输出相应图形(图1.8)图1.8例1.10 在同一坐标面上作出 和 的等高线图(), 并给出它们之间的关系.解 输入命令CalculusVectorAnalysisIdentity;uplot=ContourPlotu,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle-GrayLevel0,ContourShading-False,DisplayFunction-Identity,Contours-40,PlotPoints-40;g1=Showuplot,ugradplot,DisplayFunction-$DisplayFunction;vgradplot=PlotGra

15、dientFieldv,x,-2,2,y,-2,2,DisplayFunction-Identity;vplot=ContourPlotv,x,-2,2,y,-2,2,ContourStyle-GrayLevel0.7,ContourShading-False,DisplayFunction-Identity,Contours-40,PlotPoints-40;g2=Showvplot,vgradplot,DisplayFunction-$DisplayFunction;g3=Showuplot,vplot,DisplayFunction-$DisplayFunction;g4=Showugr

16、adplot,vgradplot,DisplayFunction-$DisplayFunction;则输出相应图形(图1.9)，其中(a) 的梯度与等高线图;(b) 的梯度与等高线图;(c) 与的等高线图;(d) 与的梯度图. (a) (b) (c) (d)图1.9从上述图中可以看出它们的等高线为一族正交曲线. 事实上, 有且它们满足拉普拉斯方程例1.11 (教材 例1.6) 设作出的图形和等高线, 再作出它的梯度向量gradf的图形. 把上述等高线和梯度向量的图形叠加在一起, 观察它们之间的关系.输入调用作向量场图形的软件包命令60, Contours-25,ContourShading-F

17、alse,Frame-False,Axes-Automatic,AxesOrigin-0,0td=PlotGradientFieldfx,y,x,-2,2,y,-2,2,Frame-FalseShowdgx,td输出为图1.10. 从图可以看到平面上过每一点的等高线和梯度向量是垂直的, 且梯度的方向是指向函数值增大的方向.图1.10例1.12 求出函数的极值, 并画出函数的等高线、驻点以及的梯度向量的图形.输入命令False,PlotPoints-100,Contours-4,-2,0,2,4,10,20;fieldplot=PlotGradientField-f,x,-2,2,y,-3,3,

18、ScaleFunction-(Tanh#/5&);critptplot=ListPlot-Sqrt2,-2*Sqrt2,0,0,Sqrt2,2*Sqrt2,PlotStyle-PointSize0.03;Showconplot,fieldplot,critptplot;则得到的最小值以及函数的图形(图1.11).图1.11 实验2 多元函数积分学（基础实验）实验目的掌握用Mathematica计算二重积分与三重积分的方法; 深入理解曲线积分、曲面积分的概念和计算方法. 提高应用重积分和曲线、曲面积分解决各种问题的能力. 计算重积分 例2.1 (教材 例2.1) 计算 其中为由 所围成的有界区域

19、.先作出区域的草图, 易直接确定积分限,且应先对积分, 因此, 输入 Integratex*y2,y,1,2,x,2-y,Sqrty则输出所求二重积分的计算结果 例2.2 (教材 例2.2) 计算 其中为 如果用直角坐标计算, 输入Clearf,r;fx,y=Exp-(x2+y2);Integratefx,y,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2,Sqrt1-x2则输出为 其中Erf是误差函数. 显然积分遇到了困难. 如果改用极坐标来计算, 也可用手工确定积分限. 输入 Integrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出所求二重积分的

20、计算结果 如果输入 NIntegrate(fx,y/.x-r*Cost,y-r*Sint)*r,t,0,2 Pi,r,0,1 则输出积分的近似值 1.98587例2.3 (教材 例2.3) 计算, 其中由曲面与围成. 先作出区域的图形. 输入 g1=ParametricPlot3DSqrt2*Sinfi*Costh, Sqrt2*Sinfi*Sinth, Sqrt2*Cosfi,fi,0,Pi/4,th,0,2Pig2=ParametricPlot3Dz*Cost,z*Sint,z,z,0,1,t,0,2PiShowg1,g2,ViewPoint-1.3,-2.4,1.0则分别输出三个图形（图

21、2.1(a), (b), (c)）.(a)(b) 图2.1考察上述图形, 可用手工确定积分限. 如果用直角坐标计算, 输入 gx_,y_,z_=x2+y2+z; Integrategx,y,z,x,-1,1,y,-Sqrt1-x2, Sqrt1-x2, z,Sqrtx2+y2,Sqrt2-x2-y2执行后计算时间很长, 且未得到明确结果.现在改用柱面坐标和球面坐标来计算. 如果用柱坐标计算,输入 Integrate(gx,y,z/.x-r*Coss,y-r*Sins)*r, r,0,1,s,0,2Pi,z,r,Sqrt2-r2则输出 如果用球面坐标计算,输入Integrate(gx,y,z/.

22、x-r*Sinfi*Cost,y-r*Sinfi*Sint,z-r*Cosfi)*r2*Sinfi,s,0,2Pi,fi,0,Pi/4,r,0,Sqrt2则输出 这与柱面坐标的结果相同.重积分的应用 例2.4 求由曲面与所围成的空间区域的体积. 输入Clearf,g;fx_,y_=1-x-y;gx_,y_=2-x2-y2;Plot3Dfx,y,x,-1,2,y,-1,2Plot3Dgx,y,x,-1,2,y,-1,2Show%,%一共输出三个图形, 最后一个图形是图2.1.图2.2首先观察到的形状. 为了确定积分限, 要把两曲面的交线投影到平面上输入 jx=Solvefx,y=gx,y,y得到

23、输出 为了取出这两条曲线方程, 输入 y1=jx1,1,2 y2=jx2,1,2输出为 再输入tu1=Ploty1,x,-2,3,PlotStyle-Dashing0.02,DisplayFunction-Identity;tu2=Ploty2,x,-2,3,DisplayFunction-Identity;Showtu1,tu2,AspectRatio-1, DisplayFunction-$DisplayFunction输出为图2.2, 由此可见,是下半圆(虚线),是上半圆,因此投影区域是一个圆.图2.2设的解为与,则为的积分限. 输入 xvals=Solvey1=y2,x输出为 为了取出

24、, 输入 x1=xvals1,1,2x2=xvals2,1,2输出为 这时可以作最后的计算了. 输入Volume=Integrategx,y-fx,y,x,x1,x2,y,y1,y2/Simplify输出结果为 例2.5 (教材 例2.4) 求旋转抛物面在平面上部的面积 先调用软件包, 输入 r*Cost,y-r*Sint;Integratez1*r,t,0,2 Pi,r,0,2/Simplify则输出所求曲面的面积 例2.6 在平面内有一个半径为2的圆, 它与轴在原点相切, 求它绕轴旋转一周所得旋转体体积.先作出这个旋转体的图形. 因为圆的方程是它绕轴旋转所得的圆环面的方程为, 所以圆环面的

25、球坐标方程是 输入 SphericalPlot3D4 Sint,t,0,Pi,s,0,2 Pi,PlotPoints-30,ViewPoint-4.0,0.54,2.0输出为图2.4. 图2.4这是一个环面, 它的体积可以用三重积分计算(用球坐标). 输入Integrater2*Sint,s,0,2 Pi,t,0,Pi,r,0,4 Sint得到这个旋转体的体积为计算曲线积分例2.7 (教材 例2.5) 求 , 其中积分路径为: 注意到,弧长微元, 将曲线积分化为定积分,输入 Clearx,y,z; luj=t,t2,3t2;Dluj,t则输出对的导数 再输入 ds=SqrtDluj,t.Dlu

26、j,t;Integrate(Sqrt1+30 x2+10y/.x-t, y-t2,z-3t2)*ds,t,0,2则输出所求曲线积分的结果:326/3.例2.8 (教材 例2.6) 求, 其中 输入 vecf=x*y6,3x*(x*y5+2);vecr=2*Cost,Sint;Integrate(vecf.Dvecr,t)/.x-2Cost,y-Sint, t,0,2 Pi则输出所求积分的结果12 例2.9 求锥面与柱面的交线的长度. 先画出锥面和柱面的交线的图形. 输入g1=ParametricPlot3DSinu*Cosv, Sinu*Sinv,Sinu, u,0,Pi,v,0,2Pi,Di

27、splayFunction-Identity;g2=ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,z,t,0,2Pi,z,0,1.2, DisplayFunction-Identity;Showg1,g2,ViewPoint-1,-1,2,DisplayFunction-$DisplayFunction输出为图2.5.图2.5输入直接作曲线的命令ParametricPlot3DCost2,Cost*Sint,Cost,t,-Pi/2,Pi/2, ViewPoint-1,-1,2,Ticks-False输出为图2.6.图2.6为了用线积分计算曲线的弧长, 必须把曲线用参数方程表

28、示出来. 因为空间曲线的投影曲线的方程为, 它可以化成,再代入锥面方程, 得 因为空间曲线的弧长的计算公式是, 因此输入Clearx,y,z;x=Cost2;y=Cost*Sint;z=Cost;qx=x,y,z;IntegrateSqrtDqx,t. Dqx,t/Simplify,t,-Pi/2,Pi/2输出为 2Elliptice-1这是椭圆积分函数. 换算成近似值. 输入 %/N输出为 3.8202 计算曲面积分例2.10 (教材 例2.7) 计算曲面积分, 其中为锥面被柱面所截得的有限部分.注意到,面积微元, 投影曲线的极坐标方程为将曲面积分化作二重积分,并采用极坐标计算重积分.输入C

29、learf,g,r,t;fx_,y_,z_=x*y+y*z+z*x;gx_,y_=Sqrtx2+y2;mj=Sqrt1+Dgx,y,x2+Dgx,y,y2/Simplify;Integrate(fx,y,gx,y*mj/.x-r*Cost,y-r* Sint)*r,t,-Pi/2,Pi/2,r,0,2Cost则输出所求曲面积分的计算结果 例2.11 计算曲面积分 其中为球面的外侧. 可以利用两类曲面积分的关系, 化作对曲面面积的曲面积分. 这里. 因为球坐标的体积元素注意到在球面上, 取后得到面积元素的表示式: 把对面积的曲面即直接化作对的二重积分. 输入ClearA,fa,ds;A=x3,y

30、3,z3;fa=x,y,z/a;ds=a2*Sinu;Integrate(A.fa/.x-a*Sinu*Cosv,y-a*Sinu*Sinv, z-a*Cosu)*ds/Simplify,u,0,Pi,v,0,2Pi输出为 如果用高斯公式计算, 则化为三重积分, 其中为. 采用球坐标计算, 输入 r*Sinu*Cosv,y-r*Sinu*Sinv,z-r*Cosu)*r2Sinu,v,0,2Pi,u,0,Pi,r,0,a输出结果相同.实验3 最小二乘拟合（基础实验）实验目的 了解曲线拟合问题与最小二乘拟合原理. 学会观察给定数表的散点图, 选择恰当的曲线拟合该数表.最小二乘拟合原理给定平面上的

31、一组点寻求一条曲线使它较好的近似这组数据, 这就是曲线拟合. 最小二乘法是进行曲线拟合的常用方法.最小二乘拟合的原理是, 求使达到最小. 拟合时, 选取适当的拟合函数形式其中称为拟合函数的基底函数.为使取到极小值, 将的表达式代入, 对变量求函数的偏导数, 令其等于零, 就得到由个方程组成的方程组, 从中可解出曲线拟合例3.1 (教材 例3.1) 为研究某一化学反应过程中温度对产品得率的影响, 测得数据如下:x100110120130140150160170180190y45515461667074788589试求其拟合曲线.输入点的坐标, 作散点图, 即输入b2=100,45,110,51,

32、120,54,130,61,140,66,150,70,160,74,170,78,180,85,190,89;fp=ListPlotb2则输出题设数据的散点图.通过观察发现散点基本位于一条直线附近, 可用直线拟合. 输入Fitb2,1,x,x (*用Fit作拟合, 这里是线性拟合*)则输出拟合直线-2.73939+0.48303x作图观察拟合效果. 输入gp=Plot%,x,100,190,PlotStyle-RGBColor1,0,0,DisplayFunction-Identity; (*作拟合曲线的图形*)Showfp,gp,DisplayFunction-$DisplayFuncti

33、on (*显示数据点与拟合曲线*)则输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图3.1）. 图3.1例3.2 (教材 例3.2) 给定平面上点的坐标如下表:试求其拟合曲线.输入data=0.1,5.1234,0.2,5.3057,0.3,5.5687,0.4, 5.9378,0.5,6.4337,0.6,7.0978,0.7,7.9493,0.8,9.0253,0.9,10.3627;pd=ListPlotdata;则输出题设数据的散点图.观察发现这些点位于一条抛物线附近. 用抛物线拟合, 即取基底函数 输入f=Fitdata,1,x,x2,x则输出5.30661-1.83196x+8.17149x2

34、再输入fd=Plotf,x,0,1,DisplayFunction-Identity;Showpd,fd,DisplayFunction-$DisplayFunction则输出平面上的点与拟合抛物线的图形（图3.2）. 图3.2下面的例子说明Fit的第二个参数中可以使用复杂的函数, 而不限于等.例3.3 (教材 例3.3) 使用初等函数的组合进行拟合的例子.先计算一个数表. 输入ft=TableN1+2Exp-x/3,x,10则输出2.43306,2.02683,1.73576,1.52719,1.37775,1.27067,1.19394,1.13897,1.09957,1.07135然后用

35、基函数来做曲线拟合. 输入Fitft,1,Sinx,Exp-x/3,Exp-x,x则输出拟合函数其中有些基函数的系数非常小, 可将它们删除. 输入Chop%则输出实际上,我们正是用这个函数做的数表. 注:命令Chop的基本格式为Chopexpr,其含义是去掉表达式expr的系数中绝对值小于的项,的默认值为.实验4 水箱的流量问题（综合实验）实验目的 掌握应用最小二乘拟合原理分析和解决实际问题的思想和方法,能通过观察测试数据的散点图,建立恰当的数学模型,并用所学知识分析和解决所给问题.问题 (1991年美国大学生数学建模竞赛的A题. 问题中使用的长度单位为E(英尺, 1 E=30.24cm),

36、容积单位是G(加仑, 1 G=3.785L).某些州的用水管理机构需估计公众的用水速度(单位:G/h)和每天的总用水量. 许多供水单位由于没有测量流入或流出量的设备, 而只能测量水箱中的水位(误差不超过5%). 当水箱水位低于水位L时, 水泵开始工作将水灌入水箱, 直至水位达到最高水位H为止. 但是依然无法测量水泵灌水流量, 因此, 在水泵工作时无法立即将水箱中的水位和水量联系起来. 水泵一天灌水12次, 每次约2h. 试估计在任一时刻(包括水泵灌水期间) t流出水箱的流量并估计一天的总用水量.表1给出了某镇某一天的真实用水数据. 水箱是直径为57E, 高为40E的正圆柱体. 当水位落到27E

37、以下, 水泵自动启动把水灌入水箱; 当水位回升至35.5E时, 水泵停止工作.表1 时间/s水位E时间/s水位E03316663510619139371792121240252232854332284359323933239435433183175311030542994294728922850279527522697泵水泵水355034454663649953539365725460574645546853571854750217925482649859688995393270335032603167308730122927284227672697泵水泵水347533973340模型假设(1

38、) 影响水箱流量的唯一因素是该区公众对水的普通需求. 所给数据反映该镇在通常情况下一天的用水量, 不包括任何非常情况, 如水泵故障、水管破裂、自然灾害等. 并且认为水位高度、大气情况、温度变化等物理因素对水的流速均无直接影响;(2) 水泵的灌水速度为常数;(3) 从水箱中流出水的最大流速小于水泵的灌水速度. 为了满足公众的用水需求不让水箱中的水用尽, 这是显然的要求;(4) 因为公众对水的消耗量是以全天的活动(诸如洗澡、做饭、洗衣服等)为基础的, 所以,可以认为每天的用水量分布都是相似的;(5) 水箱的水流量速度可用光滑曲线来近似.问题分析与模型建立为方便起见,记V表示水的容积;表示时刻 (单

39、位:h)水的容积;表示流出水箱的水的流速(单位;G/h),它是时间的函数;p表示水泵的灌水速度(G/h).先将表1中数据作变换, 时间单位用小时(h), 水位高转换成水的体积(单位: ). 输入tt=0,3316,6635,10619,13937,17921,21240,25223, 28543,32284,35932,39332,39435,43318,46636,49953,53936,57254,60574,64554,68535,71854,75021,79254,82649,85968,89953,93270/3600/Nvv=Pi*(57/2)2*3175,3110,3054,29

40、94,2947,2892, 2850,2795,2752,2697,no_data,no_data,3550,3445,3350,3260,3167,3087,3012,2927,2842,2767,2697,no_data,no_data,3475,3397,3340*10(-2)*7.481/103/N则输出下表.表2 时间/h水量/G时间/h水量/G0.0.9211111.843062.949723.871394.978065.97.006397.928618.967789.9811110.925610.954212.0328606.098593.69583.571.546562.574

41、552.074544.057533.557525.349514.849no_datano_data677.685657.6412.954413.8755814.982215.903916.826117.931719.037519.959420.839222.01522.958123.8824.986925.9083639.505622.324604.571598.299574.982558.756542.529528.212514.849no_datano_data663.367648.477637.593由于要求的是水箱流量与时间的关系, 因此须由表2的数据计算出相邻时间区间的中点及在时间区

42、间内水箱中流出的水的平均速度.平均流速=(区间左端点的水量-区间右端点的水量)/时间区间长度输入tt1=Table(tti+1+tti)/2,i,27vv1=Table(vvi-vvi+1)/(tti+1-tti),i,27则输出下表表3 时间区间的中点值/h平均水流量/G/h时间区间的中点值/h平均水流量/G/h0.4605561.382082.396393.410564.424725.439036.453197.46758.448199.4744410.453310.939911.493512.493613.47111.595310.34989.734719.487358.696499.4

43、89748.9008610.1036no_datano_datano_data18.583319.676613.415114.42915.443116.36517.378918.484619.498520.399321.427122.486523.41924.433525.447618.646616.046316.569715.524814.67714.673315.529415.1898no_datano_datano_data13.451411.8095模型求解为了作出时间tt1与平均水流量vv1之间的散点图, 先输入调用统计软件包的命令 Identity;Showg1,fg,Displa

44、yFunction-$DisplayFunction则输出图4.2.图4.2求解结果将h和h代入到水的流速拟合函数我们得到这两时刻的流速分别近似为13532.5G/h和13196.1G/h,相差仅2.48587%, 从而可以认为能近似表达一天的用水流量.于是, 一天里的用水总量近似地等于函数在24小时周期内的积分. 输入Integrateft,t,0.46,24.46则输出336013.G若按常规每1000人的用水量为105000G/d, 因此估计出这个地区大约有3200人.模型评价该模型数学概念简单, 并且容易实现, 任意时刻从水箱中流出水的速度都可通过该模型计算出来, 可以推测速度. 但数

45、据太少, 只能参照一天的数据. 另外, 如果知道水泵的灌水速度, 就能更准确地估算水泵灌水期间水的流速.实验报告某装饰材料商店欲以每瓶2元的成本价购进一批彩漆. 一般来说, 随着彩漆售价的提高,预期销售量将减少, 对此进行了估算, 见下表.为了尽快收回资金并获得较多的赢利, 装饰材料商店打算做广告. 投入一定的广告费后,销售量将有一个增长, 可由销售增长因子来表示. 例如, 投入4万元的广告费, 销售增长因子为1.95. 即销售量将是预期销售量的1.95倍. 根据经验, 广告费与销售增长因子的关系见下表.试确定装饰材料商店的最佳营销策略, 即确定彩漆售价和广告费投入使得预期的利润最大?实验5

46、线性规划问题（综合实验）实验目的 通过建立投资收益和风险问题的线性规划模型, 掌握利用线性规划理论建立实际问题的数学模型的思想和方法. 掌握用Mathematica求解线性规划问题的基本方法.1.投资的收益和风险例1 （1998年全国大学生数学建模竞赛的A题）市场上有n种资产(如股票、债券、)供投资者选择, 某公司有数额为M的一笔相当大的资金可用作一个时期的投资.公司财务分析人员对这n种资产进行了评估, 估算出在这一时期内购买的平均收益率为, 并预测出购买的风险损失率为考虑到投资越分散总的风险越小, 公司确定, 当用这笔资金购买若干种资产时, 总体风险可用所投资的中最大的一个风险来度量.购买要

47、付交易费, 费率为, 并且当购买额不超过给定值时, 交易费按购买计算(不买当然无需付费). 另外, 假定同期银行存款利率是, 既无交易费又无风险.已知时的相关数据如下表：282.51.0103211.52.0198235.54.552252.66.540试给该公司设计一种投资组合方案, 即用给定的资金M, 有选择地购买若干种资产或存银行生息, 使净收益尽可能大, 而总体风险尽可能小.实验习题中将就一般情况对以上问题进行讨论.模型的分析与建立这是一个优化问题, 要决策的是向每种资产的投资额, 要达到的目标包括两方面要求: 净收益最大和总体风险最小, 即本题是一个双目标优化问题. 一般地, 这两个

48、目标是矛盾的, 净收益愈大,风险也就随之增加; 反过来也一样. 因此, 不可能提供这两个目标同时达到最优的决策方案. 我们可以做到的只能是: 在风险一定的前提下, 取得收益最大的决策; 或在收益一定的前提下, 使得风险最小的决策; 或是在收益和风险按确定偏好比例的前提下的最优决策. 这样, 我们得到的不再是一个方案, 而是一组方案供投资者选择.设购买表示存入银行, 下同)的金额为所付的交易费记为则对投资的净收益是对投资的风险是对投资所需资金(即购买金额与所需的手续费之和)是投资方案用表示, 那么, 净收益总额为总体风险为 所需资金为 于是, 总收益最大、总体风险最小的双目标优化模型可以表示为上

49、述双目标优化模型一般情况下是难于直接求解的, 根据我们前面的分析, 通常可以把它转化为以下三种单目标优化问题:模型a. 假设投资的风险水平是k, 即要求总体风险限制在风险k以内: 则模型可转化为模型b. 假设投资的盈利水平是h, 即要求净收益总额不少于则模型可转化为:模型c. 线性加权法, 在多目标规划问题中, 人们总希望对那些相对重要的目标给予较大的权重. 因此, 假定投资者对风险收益的相对偏好参数为则模型可转化为:模型的化简与求解由于交易是分段函数, 使得上述模型中的目标函数或约束条件相对比较复杂, 是一个非线性规划问题, 难于求解. 但注意到总投资额M相当大, 一旦投资资产其投资额一般都会超过于是交易费可简化为线性函数从而, 资金约束简化为净收益总额简化为在实际进行计算时, 可设此时可视作投资的比例.以下的模型求解都在上述两个简化条件下进行讨论的.(i)模型a的求解模型a的约束条件即所以此约束条件可转化为这时模型a可化简为如下的线性规划问题:具体到的情形, 按投资的收益和风险问题中表23.1给定的数据