D115对坐标曲面积分ok课件

《D115对坐标曲面积分ok课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《D115对坐标曲面积分ok课件（33页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、D115对坐标曲面积分ok 第五节 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系 对坐标的曲面积分 第十一章 D115对坐标曲面积分ok 一、有向曲面及曲面元素的投影一、有向曲面及曲面元素的投影 曲面分类 双侧曲面 单侧曲面 莫比乌斯带莫比乌斯带 曲面分上侧和下侧 曲面分内侧和外侧 曲面分左侧和右侧 (单侧曲面的典型) D115对坐标曲面积分ok 其方向用法向量指向 方向余弦 coscoscos 0 为前侧 0

2、为右侧 0 为上侧 0 为下侧 外侧 内侧 设 为有向曲面, ,)(yxSSyxS)(侧的规定 指定了侧的曲面叫有向曲面, 表示 : 其面元 在 xOy 面上的投影记为 的面积为 则规定 ,)(yx,)(yx,0时当0cos 时当0cos 时当0cos 类似可规定 zxyzSS)(,)(D115对坐标曲面积分ok 二、二、 对坐标的曲面积分的概念与性质对坐标的曲面积分的概念与性质 1. 引例引例 设稳定流动的不可压缩流体的速度场为 求单位时间流过有向曲面 的流量 . S分析分析: 若 是面积为S 的平面, 则流量 法向量: 流速为常向量: nvD115对坐标曲面积分ok 对一般的有向曲面 ,

3、用“大化小, 常代变, 近似和, 取极限” ni10lim0limni1iiiiPcos),(iiiiRcos),(0limni1iiiiQcos),(iS对稳定流动的不可压缩流体的 速度场 进行分析可得 iniviiiSnv)cos,cos,(cosiiiin设, 则 D115对坐标曲面积分ok 设 为光滑的有向曲面, 在 上定义了一个 意分割和在局部面元上任意取点, ni1xziiiiSQ)(,(分, yxRxzQzyPdddddd记作 P, Q, R 叫做被积函数被积函数; 叫做积分曲面积分曲面. 或第二类曲面积分. 下列极限都存在 向量场 ),(),(),(zyxRzyxQzyxPA若

4、对 的任 则称此极限为向量场 A 在有向曲面上对坐标的曲面积 2. 定义：定义： D115对坐标曲面积分ok 引例中, 流过有向曲面 的流体的流量为 zyPdd称为Q 在有向曲面 上对对 z, x 的曲面积分的曲面积分; yxRdd称为R 在有向曲面 上对对 x, y 的曲面积分的曲面积分. 称为P 在有向曲面 上对对 y, z 的曲面积分的曲面积分; yxRxzQzyPdddddd若记 正侧正侧的单位法向量为 令 )cos,cos,cos(n)dd,dd,d(dddyxxzzySnS),(,),(,),(zyxRzyxQzyxPA则对坐标的曲面积分也常写成如下向量形式 D115对坐标曲面积分

5、ok 3. 性质性质 (1) 若 之间无公共内点, 则 (2) 用 表示 的反向曲面, 则 SA diSAdyxRxzQzyPddddddSnA dSA dD115对坐标曲面积分ok 三、对坐标的曲面积分的计算法三、对坐标的曲面积分的计算法 定理定理: 设光滑曲面 取上侧, 是 上的连续函数, 则 yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),(yxzyxdd证证: 0limni1yxiS)(yxi)( 取上侧, ),(iiiz0limni1) ,(iiR),(iizyxi)(yxx,yzyxRyxDdd)(,(yxzyxRdd),(D115对坐标曲面积分ok 若 则有 zyzyxPdd),(

6、), (zy,PzyD),( zyxzydd 若 则有 xzzyxQdd),() , zxQxzD,(),( xzyxzdd(前正后负) (右正左负) 说明说明: 如果积分曲面 取下侧, 则 yxzyxRdd),() ,(yxDyxR),( yxzyxddD115对坐标曲面积分ok 例例1. 计算 yxxzxzzyzyyxdd)(dd)(dd)(其中 是以原点为中心, 边长为 a 的正立方 体的整个表面的外侧. 解解: 利用对称性. 原式 yxxzdd)(3 的顶部 ),(:2221aaayxz取上侧 的底部 ),(:2222aaayxz取下侧 yxxz2dd)(yxxayxDdd)2(yxD

7、yxadd3xzyOD115对坐标曲面积分ok 解解: 把 分为上下两部分 2211:yxz例例2. 计算曲面积分 ,ddyxzyx其中 为球面 2x外侧在第一和第八卦限部分. zyx1O12yxD0, 01:),(22yxyxDyxyx2221:yxz122zyD115对坐标曲面积分ok zyx1O12yxDyxDyxyxyxdd 1222221cossin2rryxDrrrd1210315220d2sinyxzyxdd2ddyxzyx1ddyxzyxyxDyxxydd )1(22yxyxDyxxydd 221yx ddrrD115对坐标曲面积分ok 上Szzyx2cosdd下Szzyx2c

8、osdd例例3. 设S 是球面 的外侧 , 计算 SxxzyI2cosdd2解解: 利用轮换对称性, 有 SSzyxyxz22cosddcosddSzzyxI2cosdd12220d1cos1r rrr21220d 14cos1rr1tan4zzyx2cosdd,cosdd22Szzyx122222221cos1ddyxyxyxyx2 02d20D115对坐标曲面积分ok 四、两类曲面积分的联系四、两类曲面积分的联系 对于有向曲面 如果取上侧 则曲面在任意点 ),(zyx处的法向量为 )cos,cos,(cos n其中 ,1cos22yxxzzz,1cos22yxyzzz 2211cosyxz

9、z 而 ,cosdSdxdy ,cosdSdydz,cosdSdzdxD115对坐标曲面积分ok 因此，有 yxR dd SRdcos dxdyzzzzyxzyxRyxDyxxy2222111),(,(dxdyyxzyxRxyD),(,(即 yxR dd SRdcos cosSdD115对坐标曲面积分ok 如果曲面 取下侧，则曲面上任意一点处的单位法 )cos,cos,(cos n向量为 其中 ,1cos22yxxzzz,1cos22yxyzzz 2211cosyxzz D115对坐标曲面积分ok cosSd因此，有 yxR dd SRdcos dxdyzzzzyxzyxRyxDyxxy)1(

10、11),(,(2222dxdyyxzyxRxyD),(,(因此，无论曲面取哪侧，我们总是有 yxR dd SRdcos D115对坐标曲面积分ok 同理可得 zyPdd dSPcos xzQ ddSQdcos 因此有 yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosD115对坐标曲面积分ok 令 yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosSAnd向量形式 ),(RQPA )cos,cos,(cosn)dd,dd,d(dddyxxzzySnS SA dnAAnSnA d( A 在 n 上的投影) D115对坐标曲面积分ok yxz111例例5. 设 是其外法线与 z 轴

11、正向 夹成的锐角, 计算 解解: SzIdcos2rrrd)1(d21020yxDyxyxdd)1(22nD115对坐标曲面积分ok 221cosyxx例例6. 计算曲面积分 其中 解解: 利用两类曲面积分的联系, 有 zyxzdd)(2)(2xzSdcosyxddcoscosOyxz2 原式 = )( x)(2xzyxzdd,dddd)(2yxzzyxz旋转抛物面 介于平面 z= 0 及 z = 2 之间部分的下侧. )(2xz2211cosyx D115对坐标曲面积分ok 原式 = )( x)(2xzyxzddOyxz2)( xxyxD22241)(yx 原式 = )(2221yx yxy

12、xxyxDdd)(22212rrrrd)cos(221220220d8yx dd得代入将,)(2221yxzD115对坐标曲面积分ok 内容小结内容小结 定义定义: Szyxfd),(iiiniiSf),(lim10yxRxzQzyPdddddd zyiiiiniSP),(lim10yxiiiiSR),(1. 两类曲面积分及其联系两类曲面积分及其联系 xziiiiSQ),( D115对坐标曲面积分ok 性质性质: yxRxzQzyPddddddyxRxzQzyPdddddd联系联系: yxRxzQzyPddddddSRQPdcoscoscosD115对坐标曲面积分ok 2. 常用计算公式及方法

13、常用计算公式及方法 面积分 第一类 (对面积) 第二类 (对坐标) 二重积分 转化 (1) 当 时， yxzzyxzyxfSzyxfyxDyxdd1),(,(d),(22yxyxzyxRyxzyxRyxDdd),(,(dd),(（上侧取“+”, 下侧取“”) D115对坐标曲面积分ok (2) 当 时， zyxxzyzyxfSzyxfyzDzydd1),),(d),(22zyzyzyxPzyzyxPyzDdd),),(dd),(（前侧取“+”, 后侧取“”) (3) 当 时， xzyyzxzyxfSzyxfzxDxzdd1),(,(d),(22xzzxzyxQxzzyxQzxDdd),(,(d

14、d),(（右侧取“+”, 左侧取“”) D115对坐标曲面积分ok D115对坐标曲面积分ok 思考与练习思考与练习 1. P227 题2 提示提示: 设 则 取上侧时, yxDyxyxRdd),(0 取下侧时, yxDyxyxRdd),(02. P244 题 1 3. P227 题3(3) D115对坐标曲面积分ok 是平面 在第四卦限部分的上侧 , 计算 zyxzyxfIdd),(yxzzyxfdd),( 提示提示: 求出 的法方向余弦, 转化成第一类曲面积分 P227 题题3(3). 设 作业作业 P227 3 (1) ,(2) , (4) ; 4 (1), (2) SzyxId)(31Sd31yxxd3d01103121第六节 D115对坐标曲面积分ok ,ddddddzyxyxzxzyI备用题备用题 求求 1:222222czbyax取外侧 . 解解: zyxddyxcyxDbyaxdd111,2222yxcyxDbyaxdd111,2222,sin,cosrbyraxddddrrbayxrrrabcd1d21022021ccba4注意号 1:2222,byaxDyx其中 D115对坐标曲面积分ok zyxdd21ccba4利用轮换对称性 xzydd21acba4yxzdd21bcba4222111cbacbaI 4D115对坐标曲面积分ok