2.3微分的概念(共24页)

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1、内容提要内容提要1、微分的定义、微分的定义2、微分的几何意义、微分的几何意义3、微分的基本公式、微分的基本公式4、微分在近似计算的应用、微分在近似计算的应用?问题的提出问题的提出实例实例: : 正方形金属薄片受热后面积的改变量正方形金属薄片受热后面积的改变量.x, xxx变到设边长由,2xS 正方形面积22)(xxxS.)(22xxx)1()2(.,很小时可忽略很小时可忽略当当的高阶无穷小的高阶无穷小xx :)1(:)2(x x 2)( x xx的主要部分；且为的线性函数关于Sx,x2xS xxx.2时的微分在为此时我们称xSxx 2.3.1.微分的定义微分的定义.),(,)(,)(),()(

2、)()(,)(00000000 xAdyxdfdyxxxfyxAxxfyxAxoxAxfxxfyxxfyxxxx即或记作的微分对应于自变量增量在点为函数并且称可微在点则称函数无关的常数是与其中成立如果的邻域内有定义在点设函数.的线性主部的线性主部叫做函数增量叫做函数增量微分微分ydy )( xodyy由定义知由定义知: :;)1(的的线线性性函函数数是是自自变变量量的的改改变变量量xdy ;)()2(高阶无穷小高阶无穷小是比是比 xxodyy ;,0)4(是等价无穷小与时当ydyAdyy xAxo )(1).0(1x;)(,)5(0有关和但与无关的常数是与xxfxA).(,)3(线性主部很小时

3、当dyyxxAxoxA)(例例1,.13处的微分在点求函数xxy331)1 (xy.)()(3332xxx)1()2(.313xdyxxy处的微分：在点函数再例如再例如,.,03yxxxy 求函数的改变量求函数的改变量时时为为处的改变量处的改变量在点在点设函数设函数3030)(xxxy .)()(3332020 xxxxx )1()2(,很很小小时时当当 x .320 xxy ),()2(xox 的高阶无穷小的高阶无穷小是是易于计算又近似易于计算又近似问题问题: :这个函数改变量的主要部分是否对所有这个函数改变量的主要部分是否对所有函数都有函数都有?如果存在，又该如何求如果存在，又该如何求?d

4、y.)(,)()(dxxfdyxxfxxf且处可导在点数可微的充要条件是函在点函数定理定理证证(1) 必要性必要性,)(可微在点xxf),( xoxAy ,)(xxoAxy xxoAxyxx )(limlim00则则.A ).(,)(0 xfAxxf且可导在点即函数(2) 充分性充分性),()(xxxfy从而,)(xfxy即,)(可导在点函数xxf),(lim0 xfxyx),0(0 x),()(xoxxf.)(,)(Axfxxf且可微在点函数).(.xfA可导可微.)(),(,)(xxfdyxdfdyxxfy 即即或或记作记作微分微分称为函数的称为函数的的微分的微分在任意点在任意点函数函数.

5、,xdxdxxx 即即记作记作称为自变量的微分称为自变量的微分的增量的增量通常把自变量通常把自变量.)(dxxfdy且).(xfdxdy .微微商商导导数数也也叫叫该该函函数数的的导导数数之之商商等等于于与与自自变变量量的的微微分分即即函函数数的的微微分分dxdy.)()(dxxfdyxxfdy可以写成故分母现在可拆开视为分子、的，在此之前是不能分拆开)(xfdxdy例例2 2解解:.02. 0, 23以及微分时的当求函数yxxxyxxdy )(3.32xx 02. 02202. 023 xxxxxxdy.24. 0 0.2424082)0.022()(3333xxxy异虽然近似但是还是有差可

6、见dyyxodyy,),(2.3.2.微分的几何意义微分的几何意义)(xfy 0 xMNTdyy)( xo ）xyo x 几何意义几何意义:(:(如图如图) ).,增量就是切线纵坐标对应的是函数的纵坐标增量从图可见dyyxx0 P .dxxMQ又Q此时变化到的点从曲线上变化到从当),(),(,000000yyxxNyxMxxxxdxxfxMQPQ)( tan0MQPQxfdxdytan)( 0).( xodyNPPQyNQ而.dy2.3.3 微分的基本公式微分的基本公式dxxfdy)( 基本求法基本求法: : 计算函数的导数计算函数的导数, 乘以自变量的微分乘以自变量的微分.1.基本初等函数的

7、微分公式基本初等函数的微分公式xdxxxdxdxxxdxdxxdxdxxdxdxxdxdxxddxxxdCdcotcsc)(csctansec)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin)(0)(221 一阶微分形式的不变性一阶微分形式的不变性dxxxddxxxddxxxddxxxddxxxddxaxxddxeedadxaadaxxxx222211)cot(11)(arctan11)(arccos11)(arcsin1)(lnln1)(log)(ln)( 2. 函数和、差、积、商的微分法则函数和、差、积、商的微分法则2)()()()(vudvvduvududvvd

8、uuvdCduCuddvduvud arc也可微，且，均可微，设、复合函数的微分：)()(),(4xfyxuufydxdxdududydydxxufdy或)()(dxdydxdududyxufxf)( )( )(dxdxdududydxxufdxxfdy或者)( )( ()(例例3 3解法解法2.,cot3dyxeyx求设)(cot)3()cot3(xdedxeddyxx.)csc3(csc322dxxexdxdxexx解法解法1.xexexx2csc3)cot3(.)csc3(2dxxedyx例例4 4解解.),ln(2dyexyx求求设设 ,2122xxexxey .2122dxexxed

9、yxx 例例5 5解解.,cos31dyxeyx求求设设 )(cos)(cos3131xdeedxdyxx .sin)(cos,3)(3131xxeexx dxxedxexdyxx)sin()3(cos3131 .)sincos3(31dxxxex 例例6 6解解1.),12sin(dyxy求求设设 . 12,sin xuuyududycos )12()12cos( xdxdxx2)12cos( .)12cos(2dxx 解解22) 12cos(xydxxdxydy) 12cos(2:,)( ,)()()(,)(0000即而很小时，当如果的邻域内有定义在点设函数xxfdydyyxxoxAxfx

10、xfyxxfy2.3.4 2.3.4 微分在近似计算中的应用微分在近似计算中的应用.)( )()(,)( )()(000000 xxfxfxxfxxfyxfxxf).)( )()(,0000 xxxfxfxfxxx则有：当该公式可以用于近似计算。该公式可以用于近似计算。例例7 7解解.9.09的近似值求则设函数,09. 9, 9,)(0 xxxxf)( )()(000 xxxfxfxf3.015)( 0.0939.090 xf0.091/6)( 3)(000 xxxfxf，练习练习解解.12cos30的近似值求则设函数, 2 .30180,630,cos)(0 xxxxf)( )()(000

11、xxxfxfxf.8643. 01230cos618030.21/2)( 23cos30)(000 xxxfxf，小结小结微分学所要解决的两类问题微分学所要解决的两类问题:函数的变化率问题函数的变化率问题函数的增量问题函数的增量问题微分的概念微分的概念导数的概念导数的概念求导数与微分的方法求导数与微分的方法,叫做叫做微分法微分法.研究微分法与导数理论及其应用的科学研究微分法与导数理论及其应用的科学,叫做叫做微分学微分学.导数与微分的联系导数与微分的联系:.可微可微可导可导 作业：作业：P673.(2,4,6,8,9)5.(2,4,6)思考题？思考题？ 因因为为一一元元函函数数)(xfy 在在0 x的的可可微微性性与与可可导导性性是是等等价价的的，所所以以有有人人说说“微微分分就就是是导导数数，导导数数就就是是微微分分”，这这说说法法对对吗吗？思考题解答思考题解答说法不对说法不对. 从概念上讲，微分是从求函数增量引出从概念上讲，微分是从求函数增量引出线性主部而得到的，导数是从函数变化率线性主部而得到的，导数是从函数变化率问题归纳出函数增量与自变量增量之比的问题归纳出函数增量与自变量增量之比的极限，它们是完全不同的概念极限，它们是完全不同的概念.