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1、对面积的曲面积分(35) 第十一章第十一章第四节第四节 对面积的曲面积分对面积的曲面积分 一、对面积的曲面积分的概念与一、对面积的曲面积分的概念与 性质性质 二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 对面积的曲面积分(35)Oxyz引例引例: 设曲面形构件具有连续面密度),(zyx类似求平面薄片质量的思想, 采用,iiiiS 可得1ni0limM( ,)iii 求质 “分割，近似，求和，取极限分割，近似，求和，取极限” 的方法,量 M.其中, 表示 n 小块曲面的直径的 (曲面的直径为其上任意两点间距离的最大者). 最大值一、对面积的曲面积分的概念与性质一、对面积的曲面积分的概
2、念与性质 对面积的曲面积分(35)( , , )dMx y zS定义定义: 设 为光滑曲面,“乘积和式极限” ,iiiifS 1ni0lim都存在,的的曲面积分曲面积分( , , )df x y zS其中 f (x, y, z) 叫做被积据此定义, 曲面形构件的质量为表曲面面积dSf (x, y, z) 是定义在 上的一 个有界函数,记作或第一类曲面积分第一类曲面积分.若对 做任意分割和局部区域任意取点, 则称此极限为函数 f (x, y, z) 在曲面 上对面积对面积函数, 叫做积分曲面. S对面积的曲面积分(35)则对面积的曲面积分存在.v 对积分域的可加性对积分域的可加性.,21则有(
3、, , )df x y zS1( , , )df x y zS2( , , )df x y zS12( , , )( , , ) dk f x y zk g x y zSv 线性性质线性性质.则为常数设,21kk12( , , )d( , , )dkf x y zSkg x y zS),(zyxf若在光滑曲面 上连续, 对面积对面积的曲面积分与对弧长对弧长的曲线积分性质类似 v 积分的存在性积分的存在性. 若 是分片光滑的,例如分成两片光滑曲面对面积的曲面积分(35)Oxyz定理定理: 设有光滑曲面 :,xyzz x yx yDf (x, y, z) 在 上连续,存在, 且有( , , )df
4、 x y zS( , ,)xyDf x y( , , )df x y zS),(yxz221,d dxyzx yzx yxy二、对面积的曲面积分的计算法二、对面积的曲面积分的计算法 则曲面积分yxD对面积的曲面积分(35)准备工作：准备工作： 做出积分曲面,xyzz 求出方程，分别求221xyzzxyD并求出 求出在 xoy 面的投影22, ,1( , )( , ) d dxyxyDf x y z x yzx yzx yxy转化为对面积的曲面积分(35)yxD例例1. 计算曲面积分d,Sz其中 是球面222zyx被平面)0(ahhz截出的顶部.解解: :yxDyxyxaz),( ,:22222
5、22:hayxDyx221yxzz 222yxaadSz20da222212ln20ahaa2 lnaah222d dxyDax yaxy22220daha2axzyhaO对面积的曲面积分(35)例例2. 计算d ,xyz S 其中 是由平面坐标面所围成的四面体的表面. 解解: 设上的部分, 则4321,4dxyzS,1:4yxz( , )xyx yD101dxxyxyy12031zyx与, 0, 0, 0zyx10dx1xyz Szyxd 原式 = 分别表示 在平面 zyx111O3对面积的曲面积分(35)例例3. 计算22() d ,IxyS 其中 是22zxy1z 所围区域的边界Oxyz
6、1解： 1:22zxy2:1z 122222ddxySxyS22d dDxyxy22d dDxyxy22D21dd 13021d20d212原式 对面积的曲面积分(35)例例4. 计算222() d ,IxyzS 其中 是2222xyzR解： 2dRS 原式 2dRS 2R24 R44 R对面积的曲面积分(35)对称性对称性曲面1关于 yoz 面对称，0 x 是部分的若, , ,fx y zf x y z 则, ,d0f x y zS若, , ,fx y zf x y z则1, ,d2, ,df x y zSf x y zS对面积的曲面积分(35)说明说明:zyDzyzyxx),(),(zxD
7、zxzxyy),(),(或可有类似的公式 如果曲面方程为, ,y zDf x y zy z( , , )df x y zS221d dyzxxy z,x zDf x y x zz( , , )df x y zS221d dxzyyx z对面积的曲面积分(35)例例5. 计算222d,SIxyz其中 是介于平面之间的圆柱面.222RyxHzz,0HxyzO解： 1 0,zH:yzD0yR则原式 1222d4Sxyz22014dRyRz0dHz22RRy22220014ddHRRzyRzRy04arctanHzR0arcsinRyR2 arctanHR对面积的曲面积分(35)利用曲面积分求质心坐标
8、，转动惯量利用曲面积分求质心坐标，转动惯量, ,dMx y zS设曲面面密度, ,x y z则质量1, ,dxxx y zSM质心坐标1, ,dyyx y zSM1, ,dzzx y zSM转动惯量22dxIyzS22dyIxzS22dzIxyS对面积的曲面积分(35)内容小结内容小结1. 定义:( , , )df x y zSiiiiSf),(ni 10lim2. 计算: 设,),( , ),(:yxDyxyxzz则( , , )df x y zS( , ,xyDf x y),(yxz)221xyzzyxdd(曲面的其他两种情况类似)对面积的曲面积分(35)思考与练习思考与练习P158 题1
9、；3；4 (1) ; 7 解答提示解答提示:P158 题1.22()( , , )dxIyzx y zSP158 题3. ,),( ,0:yxDyxz( , , )d( ,)d dxyDf x y zSf x yx y设则0P184 题2对面积的曲面积分(35)P158 题4 (1).Oyz2x 在 xOy 面上的投影域为2:22 yxDyxyxzzSyxdd1d22yxyxdd)(412222d14()d dxySDSxyxyrrrd41d20220313这是 的面积 !2xyD)(2:22yxz对面积的曲面积分(35)P159 题7. 如图所示, 有22221d() 1d d2xyDz S
10、xyxyx yrrrd1d21202320354tttd) 1(302221rt令2zyx1O对面积的曲面积分(35)P184 题2. ),0(:2222zazyx在第一卦为1限中的部分, 则有( ).1( )d4d ;Ax Sx S1( )d4d ;By Sx S1( )d4d ;Cz Sx S1()d4d .Dxyz Sxyz SC( 2000 考研 )对面积的曲面积分(35)备用题备用题 1. 已知曲面壳)(322yxz,22zyx求此曲面壳在平面 z =1以上部分 的的面密度质量 M . 解解: 在 xOy 面上的投影为 ,2:22 yxDyx故dMSrrrd41d322020)41d
11、(418162202rr22314()d dxyDxyx y13yxD2xzyO对面积的曲面积分(35)2. 设 是四面体的表0,0,0,1zyxzyx面, 计算21d .(1)ISxy 解解: 在四面体的四个面上yxz1yxdd3xyxDyx10,10:1zyx11O0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域对面积的曲面积分(35)yxz1yxdd3xyxDyx10,10:0zyxdd0yxzddzxzDxz10,10:0 xzyddzyzDzy10,10:同上平面方程Sd投影域yzzydd10)1 (1102xzzxdd10)1 (11022ln) 13(233yxyxxdd)13(2)1 (1101021d .(1)ISxy 对面积的曲面积分(35)
对面积的曲面积分(35)课件
