数学与应用数学毕业论文二次矩阵的逆特征值问题

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1、王清娟 二次矩阵的逆特征值问题二次矩阵的逆特征值问题王清娟（数学与应用数学系 指导老师：杨忠鹏）摘要：对任意给定特征值, 对任意给定的非零复数, Marek Aleksiejczyk和Alicja Smoktunowicz指出存在以为化零多项式的二次矩阵使得为的特征值.本文证明了此结论对分别以,为化零多项式的二次矩阵也是成立的.本文还研究了二次矩阵的奇异值反问题,即存在以为奇异值的二次矩阵,使得且;同时也探讨了一个二次方程在相似下能够确定多少类相对应的二次矩阵.关键词：二次矩阵 逆特征值 奇异值 相似类 Abstract: For arbitrary given non-zero comple

2、x numbers , Marek Aleksiejczy and Alicja Smoktunowicz pointed out that there exist quadratic matrices satisfying the same annihilating polynomial such that are the eigenvalues of . This paper is to prove that it is also true for satisfying the annihilating polynomial , respectively, where.This artic

3、le is also devoted to the inverse singular value problem of quadratic matrices, that is, there exist quadratic matrices satisfying and .At the same time,This paper discusses one quadratic equation can determine how many classes of responding quadratic matrices on the base of similarity.Keywords: Qua

4、dratic matrices Inverse eigenvalue Singular value Similarity classes0 符号说明及引言 二次矩阵是一类囊括了幂等矩阵、对合矩阵等重要矩阵的矩阵,因此研究二次矩阵具有一定的意义.为了后面的写作方便,首先进行如下的符号说明.用表示复数域上的全体阶矩阵的集合；表示阶单位矩阵； 表示复数域上的全体维列向量作成的集合；设复矩阵为的共轭矩阵,其中为的共轭复数.即对进行转置.表示的共轭转置矩阵. 在本文中用表示A的共轭转置矩阵；表示矩阵的全体特征值的集合（即的谱）；表示矩阵的全体奇异值的集合.定义1 ,若存在数使得,则称为二次矩阵.（见文1

5、,2,3,4）.注：二次矩阵囊括了许多特殊而重要的矩阵,例如：当时,（幂等矩阵） 当时,（对合矩阵） 当时,（幂零矩阵） 当时,（反幂等矩阵）定义2设,如果存在和非零向量,使,则叫做的特征值,叫做的属于特征值的特征向量.定义3（见文5）设,的特征值为,则称为矩阵的正奇异值定义4 设,若有可逆矩阵,使得,则称与相似.定义5（见文6）设,则称且与相似为矩阵所在的相似类.定义6(见文7)形式为的矩阵称为块,其中是复数.矩阵逆特征值问题是代数学的一个核心内容,它主要研究在一定条件下,对给定的特征值或特征对,能否构造出所要求的特定类的矩阵及满足一定谱约束的最佳逼近(见文8).矩阵逆特征值问题的研究范围相

6、当广泛,主要来自于离散的数学物理反问题、结构振动系统的设计、系统参数识别、主成分分析与勘测、天线讯号处理、地球物理、粒子物理的核光谱学、电路理论、地震断层成像技术、机械系统模拟等许多重要应用领域例如逆特征值方法是结果动态设计飞行器设计中的振动设计的有力工具（见文9）,矩阵逆特征值问题随着所给条件或应用背景不同而产生了各种各样的提法.10比较全面的阐述了各种类型的矩阵逆特征值的问题,关于逆特征值的研究已经取得了许多很有意义的成果.10、11它主要是研究Javobi矩阵、对称三对角矩阵、正交矩阵、对称非复负定矩阵等等具有某种特殊性质的矩阵的逆特征值问题.对于一般矩阵的逆特征值问题的研究是比较困难的

7、,目前国内外对此研究甚少,但却又是代数学的一个核心内容,基于此,本文想要研究一类较为一般的矩阵：二次矩阵的逆特征值问题.二次矩阵包括一下几种重要的矩阵：幂等矩阵（）, 对合矩阵（）,幂零矩阵（）,初等矩阵(),例如：Householder 反射与消元矩阵（见19）.由此可知二次矩阵的地位.为此,本人先参阅了一些有关二次矩阵的文献,1,2,3 ,4研究了二次矩阵的数值域,奇异值,特征值,线性组合的可逆性等基本性质.1研究了二次矩阵乘积的逆特征值问题.命题1（见1,定理2.2）对任意非零数,存在二次矩阵,且使得.当时,文1讨论的是以为公共的极小多项式的二次矩阵,故可对角化且由1,定理2.2的证明知

8、有完全相同的特征值（重数也相同）,因而这两个二次矩阵是相似的.我们借鉴文1的基本方法,来进一步研究二次矩阵的逆特征值问题,证明了对任意给定的也可以是没有公共特征值的两个二次矩阵乘积的特征值.当然文1所得的结论也包含在本文的结论中.本文在特征值的基础上探讨了二次矩阵的奇异值反问题,根据给定的奇异值构造出相应的二次矩阵,在这方面研究的人比较少,本人因此对其进行深入的探讨,具有一定的实际意义.此外,本文还讨论了二次矩阵的相似类,根据二次矩阵的特征值和对其进行分类,分别对及的情况进行讨论,这对我们进一步认识二次矩阵的特征值有一定的帮助,同时,还将与二次矩阵的逆特征值问题相结合起来.1 预备定理:首先引

9、入本文所用到的基本定理：引理1 若满足二次方程的二次矩阵,则的特征值为和. 证明：满足, 设是的任一特征值,是的属于特征值的特征向量,则且, 又 特征向量或即：二次矩阵则的特征值为和.引理2（见文6） 是仅与自身相类的矩阵(即为数量阵)引理3（见文12） 两个2-幂零矩阵相似的充要条件是它们的秩相等.文2幂等引理4（见文7） 设是一个准对角矩阵并设的最小多项式为,那么的最小多项式为的最小公倍式.引理5（见文7） 数域上阶矩阵与对角矩阵相似的充分必要条件为的最小多项式是上的互素的一次因式的乘积.引理6（见7） 每个阶的复数矩阵都与一个若尔当标准型相似,这个若尔当标准型矩阵除去其中若尔当块的排列次

10、序外是被矩阵唯一确定的.即：可逆矩阵使得：（其中为的特征值对应的若尔当块）引理7（见文13, 定理2.1） 任意数设,则存在着两个阶正交投影矩阵使得的充要条件是：与的基数满足：(即的基数小于等于的基数).引理8（见文1,定理3.2） 已知满足二次方程,其中,若是的奇异值,则.2 主要结果2.1 二次矩阵的相似类 定理1：一个二次方程在相似下能确定的阶二次矩阵的种类为：1. 当时,二次矩阵相似时共有类； 2. 当时,(I) 当时,二次矩阵相似时共有1类；(II)当时,二次矩阵相似时共有类.证明：根据二次方程的两个根进行了分类讨论：1当时,该二次方程有两个不同的根,分别记为：于是：对应的二次矩阵满

11、足为二次矩阵的最小多项式,显然无重因式由引理4知：是可对角化的,且初等因子为与则该二次矩阵对应的Jordan块为与,于是根据引理5知：当二次矩阵与相似且满足该二次方程时,有：可逆矩阵使得：按的个数来分类：则 个数的可能取值为：对应的个数的可能取值为：故当二次矩阵相似时共有类2. 当时,该二次方程有以二重根,记为：（即：）即对应的二次矩阵满足（i） 当时,即：,此时：就是数量阵,根据引理2得：是仅与自身相类.故只有1类.（ii） 当时,即：,但时,二次矩阵的最小多项式为：初等因子为与则该二次矩阵对应的Jordan块为与,于是根据引理5知：故当二次矩阵与相似且满足该二次方程时,有：可逆矩阵使得：按

12、Jordan块与的个数来分：Jordan块的个数的可能取值为：对应的Jordan块的个数的可能取值为：故此时二次矩阵共有种相似类.注：由定理1我们得出二次矩阵关于特征值的一些性质若满足二次方程的二次矩阵,则具有以下性质：性质1：1若,则必可对角化.性质2：1若且,则不可对角化.证明： 仅以为特征值若可对角化,则存在可逆阵,使得于是与相矛盾不可对角化2.2 二次矩阵的逆特征值问题定理2：对任意非零数,存在二次矩阵,且 , , 这里,使得.证明： 设, . （2.1）则,这样可知的特征多项式 ,即 （2.2）, （2.3）要使,由（2.3）知,即： , （2.4）因为,由（2.2）知的另一个特征值

13、与的关系式为所以的另一个特征值为故,. （2.5）设； （2.6）； (2.7)； (2.8). (2.9)不妨设,由（2.2）和（2.3）可知, （2.10）, （2.11）, （2.12）设矩阵分别矩阵（）的直和, 和是由（2.1）,（2.6-2.9）确定, （2.13） (2.14)从（2.1）,（2.6-2.9）,（2.14）,(2.15)知, （2.15）进而（2. 5）,（2.10-2.14）,知 (2.16)由（2.1）,（2.6-2.9）,知 ,;；, ,；这样从（2.13-2.15）知 这表明矩阵分别是由化零多项式多项式,确定的二次矩阵且由（2.16）知.由定理我们可以得到:

14、1. 当时,由定理可得到1,定理2.2:对任意数,存在二次矩阵且 使得.此时：若,则构造出来的二次矩阵与的特征值完全一样,故与一定相似,这就为2.1“二次矩阵在相似下分类”中的一种,就是当且的个数相等同为的情况.但此时与一定是不可交换的,否则,若等价于,其中,于是：=即：=要使得上式成立并符合已知条件,需满足：这与相矛盾构造出来的二次矩阵与一定是不可交换的.2.我们可以构造出任意大于等于阶的二次矩阵满足已知条件；3.当,或或时,从定理证明中的（2.15）知二次矩阵不相似.文献14,15分别讨论了两个幂等矩阵及对合矩阵的乘积.当,或时,或,这样由定理可得为幂等或对合矩阵乘积的逆特征值的结论.即为

15、以下推论：推论1：对任意非零数,存在幂等矩阵,即：,使得.推论2：对任意非零数,存在对合矩阵,即：,使得.当然也可以得到幂等矩阵与对合矩阵的乘积的逆特征值的结论,具体如下：推论3：对任意非零数,存在幂等矩阵与对合矩阵,即：,使得.注：在定理1中我们不难发现数并非是任意的而要求是非零数,这就启发我去思考若数是任意的,定理1还会成立吗？或在此情况下结论有何变化呢？对此,本人进行深入的研究,得到如下的结论：定理3：对任意数,存在二次矩阵且 , , 这里复数至少有一个为零）使得.证明：将数分为零与非零数两类：设至少有一个为零,不妨设设矩阵分别为的直和：, （2.17） , （2.18）其中当时, ,

16、（2.19）当时, （2.20）当时, （2.21）当时, （2.22）当时, ,此时此时的特征值为0,于是： 即：, （2.23）所以： （2.24）当时,此时； （2.25）当时,此时 （2.26）现在只要寻求适当的使得,要使得,需满足：即：即： (2.27) 此外由（2.27）我们知： （2.28）由矩阵的构造（2.17）,（2.18）及（2.23-2.26）,（2.28） 知： （2.29）由（2.19）得： ； ；由（2.20-2.22）得：； ,； 这样从（2.17-2.18）知这表明矩阵分别是由化零多项式多项式,（其中复数至少有一个为零）确定的二次矩阵且由（2.29）知任意复数.

17、注：1.本定理就脱离了上面定理中“对数为非零数”的条件,对任意数都可以,相应的二次方程也有些变化,需满足, , 这里复数至少有一个为零）2.关于命题“对任意数,存在二次矩阵,满足各自独立的二次方程,使得”是否成立,还有很大的研究空间,有兴趣的读者可以对此进行探讨.根据定理3,就可以得到幂等矩阵与对合矩阵、幂零矩阵的乘积的逆特征值的结论：推论4：对任意数,存在幂等矩阵与对合矩阵,即：,使得.推论5：对任意数,存在幂等矩阵与幂零矩阵,即：,使得.2.3 二次矩阵的奇异值反问题定理2：存在二次矩阵,满足：（1） 二次方程；（2） 数为的奇异值且证明：设矩阵分别矩阵（）的直和 (2.30)其中 当时,

18、（）； (2.31)当时, ； (2.32)当时, . (2.33)于是：当时,的奇异值为：; (2.34) 当时,的奇异值为：； (2.35)当时, 等价于故要使得,需满足即： 即：即：即：即： (2.36),为矩阵的奇异值于是根据引理7我们知道：存在且 (2.36)式可化简为由此得出：也是二阶方阵的奇异值故：当时, (2.37)由矩阵的构造(2,30)及（2.34-2.35）,（3.37）知：由（2.31）,知 ,;由（2.32-2.33）,得：,这样从（2.30）知这样就证明了为满足条件的二次矩阵.注：1.本定理所构造出来的二次矩阵的阶数是任意大于等于阶的都成立；且的个数未必一样.2.当

19、时即为文1, 定理3.3.结束语: 本文是在认真阅读Marek Aleksiejczyk和Alicja Smoktunowicz的文章（见文1）,有关二次矩阵的文章（见W文1,2,3,4）及有关矩阵的逆特征值问题的文章（见文8,9,10,11）,并查阅大量的相关资料的基础上,提出了所要研究的内容,即：二次矩阵的逆特征值问题,奇异值问题以及相似类的问题,其中二次矩阵的逆特征值问题是在文1的基础上进行更深入的探究,在研究方法上,所得结果都有创新之处. 得到了一个更为广泛的结论,最重要的是目前有关此研究课题的人几乎很少,因此具有一定的研究价值.当然对于命题“对任意数,存在二次矩阵,满足各自独立的二次

20、方程,使得”是否成立,还有很大的研究空间,由于时间关系,本人在此就不进行深入的研究,有兴趣的读者可以对此进行探讨.致谢:本篇论文是在导师杨忠鹏教授的悉心指导和不断的鼓励下完成的,整个过程中导师提出了大量行之有效的意见和建议.对此,我受益颇多,不仅拓广了自己的知识面,而且提高了解题的严谨度,在研究方法有一定的创新.同时,导师严谨的治学态度,精益求精的工作作风,对我产生了深远的影响.所以,在此,谨向杨忠鹏教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！还要感谢其他学科老师的教育、和帮助,在此表示深深的感谢； 同时 还要感谢同组同学的支持与帮助.参考文献: 1 M. Aleksiejczyk, A. Smoktun

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