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1、2015年宁波市高三十校联考数学（理科）试题卷本试题卷分选择题和非选择题两部分满分150分，考试时间120分请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上注意事项：1答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号用黑色字迹的签字笔或钢笔分别填写在试卷和答题纸规定的位置上2每小题选出答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号不能答在试题卷上参考公式:柱体的体积公式其中S表示柱体的底面积, h表示柱体的高锥体的体积公式其中S表示锥体的底面积, h表示锥体的高台体的体积公式,其中S1, S2分别表示台体的上、下底面积,h表示台体的高球的表面积公式球的体
2、积公式,其中R表示球的半径第I卷（选择题 共40分）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1.条件是条件的A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.非充分又非必要条件2.已知直线和平面、，则下列结论一定成立的是A.若，则 B.若，则C.若，则 D.若，则 3.已知等差数列的公差为,项数为偶数,所有奇数项的和为,所有偶数项的和为,则这个数列的项数为A.10 B.20 C.30 D.404. 直线截圆所得劣弧所对的圆心角的大小为A. B. C. D.5双曲线的一条渐近线与抛物线有且仅有一个公共点,则双曲线的离心率为 A.
3、B. C. D.6设两个向量和，其中为实数,若，则的取值范围是A. B. C. D. 7设的内角所对的边成等比数列,则的取值范围是A. B. C. D.8.已知函数,若,且,则与2的大小关系是A.恒大于2 B.恒小于2 C.恒等于2 D.与相关.非选择题部分(共110分)二、 填空题: 本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分9.全集,，,则_ , _.10已知某个几何体的三视图如图，根据图中标出的尺寸，可得这个几何体的体积等于_，全面积为_.11.若,则_ ,的解集为_.12已知点，为坐标原点，点满足,则满足条件点所形成的平面区域的面积为_,的最大值是 _.13设为椭圆上
4、的点,为其左、右焦点,且的面积为6,则_.14.设二次函数的值域为，且，则的取值范围是_.15设是周期为的周期函数，且当时，,若函数有且仅有五个零点，则正实数的取值范围是_.三、解答题: 本大题共5小题, 共74分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤.16(本小题满分15分)已知的面积为，且满足，设和的夹角为（I）求的取值范围；（II）求函数的最大值与最小值17(本小题满分15分)如图，三棱柱中，点在平面内的射影在线段上，.（I）证明：；（II）设直线与平面所成角为，求二面角的平面角的余弦值18(本小题满分15分)已知动点到直线的距离是它到定点的距离的倍(I)求动点的轨迹的方程；(II)过
5、作与轴垂直的直线与轨迹在第三象限的交点为，过的动直线与轨迹相交于不同的两点，与直线相交于点，记直线的斜率依次为，试证明：为定值19.(本小题满分15分)已知数列满足，点在直线上数列满足,（且） (I)(i)求的通项公式 ;(ii) 证明（且）； (II)求证：.20. (本小题满分14分)设二次函数，且存在实数使得.(I)求证：(i) ； (ii) ;(II) 函数的图象与轴的两个交点间的距离记为，求的取值范围命题：北仑中学 吴文尧 审题：奉化中学 范璐婵2015年宁波市高三“十校联考”数学(理科)试题参考答案一选择题：本大题共8小题, 每小题5分, 共40分 在每小题给出的四个选项中, 只有
6、一项是符合题目要求的题号12345678答案ADACAADA二、填空题：本大题共7小题, 前4题每空3分，后3题每空4分, 共36分9. (1) (2)10. (1), (2) 11.(1) , (2)12. (1), (2) 13. 14. 15. 三、解答题: 本大题共5小题, 共74分解答应写出文字说明、 证明过程或演算步骤16.（I）因为，所以，-2分又因为，所以，-5分所以，即，由于，所以-7分（II）-1分由可知：，所以 ，即时，-13分 ，即时，-15分17.（I）证明：因为平面，平面，所以二面角为直二面角，所以平面，-2分所以，平行四边形中，所以为菱形，所以，-4分所以平面，-
7、6分而平面，所以-7分（II）（解法一）由于平面，所以即为直线与平面所成的角，故，-9分作于，连结，则，所以即为二面角的平面角，-11分中，-12分中，-13分中，-14分所以即二面角的平面角的余弦值为-15分（解法二）由于平面，所以即为直线与平面所成的角，故，-9分在平面内，过点作的垂线，则两两垂直，建立空间直角坐标系如图，则，-11分所以，平面的一个法向量为平面的一个法向量为-13分-14分即二面角的平面角的余弦值为-15分18.(I)作直线于，则由题意可知：，-1分由于，-3分所以，化简得动点的轨迹的方程为：-6分(II)易得，（1） 当动直线的斜率时，此时，此时，-8分（2） 当动直线
8、的斜率时，设直线的方程为（其中）令得，所以，所以-10分设，则，所以-12分把代入方程可得：所以所以-14分所以，所以成立-15分19.(I)因为点在直线上，所以，所以，所以所以-4分(II)因为所以，所以有，所以成立-8分（III）由(I) 、(II)可知，时，-10分又因为所以（其中）-13分所以所以有成立-15分20.(I) （i）因为，且，所以，且，因为存在实数使得，即存在实数使成立，所以，即-2分因为，所以-4分（ii）由题意可知的两根为，所以可设，其中，-分因为，所以，即所以必有，-分由于，所以，即又因为，所以，所以-分所以所以，即成立-分(II) 由(I)可知， 因为，所以函数的图象与轴必有两个交点，记为，则，-分 （其中）-分所以，所以-分13
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