12直角三角形性质和判定(2)——勾股定理

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1、直角三角形直角三角形 本章内容 第第1章章 直角三角形的直角三角形的 性质和判定（性质和判定（） 本课内容 本节内容 1.2 做一做做一做 如图如图1-9， 在方格纸上（设小方格边长为单位在方格纸上（设小方格边长为单位1） 画画一个顶点都在格点上的直角三角形，一个顶点都在格点上的直角三角形， 使其两直角边使其两直角边分别为分别为3， 4， 量出这个直角三角形斜边的长度量出这个直角三角形斜边的长度. A B C a=3 b=4 c=? 量得量得c=5. . 图图1 1- -9 9 在方格纸上，在方格纸上， 以类似图以类似图1-9 中的中的RtABC 的三边为边长的三边为边长分别向外作正方形，得到

2、三个大小不同的正方形，分别向外作正方形，得到三个大小不同的正方形， 如图如图1-10-1，并填表，并填表. 说一说说一说 为了求为了求S3， 可以可以先算出红色区域先算出红色区域内大正方形的面内大正方形的面积，积， 再减去再减去4 个个小三角形的面积小三角形的面积. S2 S3 S1 图图1 1- -1010- -1 1 S1 S2 S3 图图1-10-1 1 4 5 S1 S2 S3 图图1-10-1 1 4 5 图图1-10-2 图图1 1- -1010- -2 2 S2 S1 S3 9 16 25 S1 S2 S3 S2 S2 S3 图1-10-3 观察表格观察表格,三个正方形的面三个正

3、方形的面积积S1、S2、S3之间有怎样的之间有怎样的数量关系呢？数量关系呢？ S1 S2 S3 图图1-10-1 1 4 5 图图1-10-2 9 16 25 图图1-10-3 S1 S1+ S2= S3 . 9 25 34 在图在图1-10 中，中， S1 + S2 = S3 ， 即即BC2 + AC2 = AB2 ，那么是否对所有的直角三角形，都有两那么是否对所有的直角三角形，都有两 直角边的平方和等于斜边的平方呢？直角边的平方和等于斜边的平方呢？ 图图1 1- -1010 S2 S1 S3 A C B 探究探究 如图如图1-11， 任作一个任作一个RtABC， C= 90， 若若BC=

4、a，AC= b， AB= c， 那么那么a2+ b2= c2是是否成立呢？否成立呢？ A B C 图1-11 a c b 步骤步骤 先剪出先剪出4 个如图个如图1-11 所示的直角三角形，所示的直角三角形， 由于每个直角三角形的两直角边长为由于每个直角三角形的两直角边长为a， b （其（其中中b a），）， 于是它们全等（于是它们全等（SAS），）， 从而它们从而它们的斜边长相等的斜边长相等. 设斜边长为设斜边长为c. . 步骤步骤2 再剪出再剪出1 个边长为个边长为c 的正方形，的正方形， 如如图图1-12所示所示. 图图1 1- -1212 步骤步骤3 把步骤把步骤1 和步骤和步骤2 中剪

5、出来的图形拼成中剪出来的图形拼成 如图如图1-13的图形的图形. 4S= S+S大大正正小小正正直直221( + ) =+42 bacabc a b ab222a +b = c思考：如何说明拼出的图形是正方形？思考：如何说明拼出的图形是正方形？ 图图1-13 结论结论 直角三角形两直角边直角三角形两直角边a， b的平方和，的平方和， 等于等于斜边斜边c的平方的平方. a2 + b2 = c2 勾股定理的证法历史上有很多勾股定理的证法历史上有很多, ,比较著名的有毕达比较著名的有毕达哥拉斯证法哥拉斯证法, ,有趣的总统证法有趣的总统证法( (美国第二十任总统伽菲尔美国第二十任总统伽菲尔德的证法在

6、数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾德的证法在数学史上被传为佳话，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统”证法称为“总统”证法),),希望有兴趣的同学课下查找资料希望有兴趣的同学课下查找资料. . 其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的其实我国早在三千多年前就已经知道直角三角形的上述性质，上述性质， 由于古人称直角三角形的直角边中较短的一由于古人称直角三角形的直角边中较短的一边为勾，边为勾， 较长的一边为股，较长的一边为股， 斜边为弦（如图斜边为弦（如图1-14），）， 因此这一性质被称为因此这一性质

7、被称为勾股定理勾股定理. 图图1 1- -1414 小知识 勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系勾股定理揭示了直角三角形三边之间的关系. . 在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，在直角三角形中，若已知直角三角形任意两条边长，我们可以根据勾股定理求出第三边的长我们可以根据勾股定理求出第三边的长. . 例例1 如图如图1-15， 在等腰三角形在等腰三角形ABC 中，中， 已知已知 AB = AC = 13 cm， BC = 10 cm， ADBC 于点于点D. 你能算出你能算出BC边上的高边上的高AD的长吗？的长吗？ A B C 图1-15 D 分析分析 要求要求AD的长，要把的长，要

8、把AD放在直角三角形放在直角三角形中，通过勾股定理计算出中，通过勾股定理计算出. 解：解： 在在ABC中，中， AB=AC= =13，BC= =10，ADBC， 1=52BDBC= .在在RtADB中，中， 由勾股定理得，由勾股定理得，AD2+ +BD2= =AB2 , 故故AD的长为的长为12cm. . 2222=-=13 -5 =18 8 =12.ADABBDA B C 图1-15 D 在在RtABC中，中， C= 90. （1） 已知已知a = 25， b = 15， 求求c； 练习练习 （2） 已知已知a = 5， c = 9， 求求b； （3） 已知已知b = 5， c = 15，

9、求求a. 2222=+=25 +15 =625225 = 5 34.cab2222=9 -5 =14 4 = 2 14.bc -a2222=15 -5 =20 10 =10 2.ac -b如图如图1-16， 电工师傅把电工师傅把4 m 长的梯子长的梯子AC 靠在靠在 墙上，墙上， 使梯脚使梯脚C 离墙脚离墙脚B 的距离为的距离为1.5 m， 准备准备在墙上安装电灯在墙上安装电灯. 当他爬上梯子后，当他爬上梯子后， 发现高度不够，于是将梯脚往墙发现高度不够，于是将梯脚往墙 脚移近脚移近0.5 m， 即移动到即移动到C处处. 那么，那么， 梯子顶端是否往上移动梯子顶端是否往上移动0.5 m 呢？呢

10、？ 动脑筋动脑筋 图图1 1- -1616 由图由图1-16 抽象出示意图抽象出示意图1-17. 在在RtABC 中，中，计算出计算出AB； 再在再在RtABC中，中， 计算出计算出AB， 则可则可得出梯子往上移动的距离为（得出梯子往上移动的距离为（AB - AB） m. 图图1 1- -1717 A B C C 梯子梯子 墙面墙面 地面地面 分析分析 A 在在RtABC中，中， AC = 4 m， BC = 1.5 m， 由勾股定理得，由勾股定理得， 在在RtABC中，中， AC = 4 m， BC = 1 m， 故故 因此因此AA = 3.87 - 3.71 = 0.16 （m）. 即梯子

11、顶端即梯子顶端A点大约向上移动了点大约向上移动了0.16 m， 而不是向上移动而不是向上移动0.5 m. 22=4 -1.5 =13.753.71(m).AB22=4 -1 =153.87(m).AB图图1 1- -1717 A B C C 梯子梯子 墙面墙面 地面地面 A 例例1 （“引葭赴岸引葭赴岸” 问题）问题） “今有方池一丈，今有方池一丈， 葭生其中央，葭生其中央， 出水一尺，出水一尺， 引葭赴岸，引葭赴岸， 适与岸适与岸齐齐. . 问水深，问水深， 葭长各几何？葭长各几何？” 意思是：意思是： 有一有一个边长为个边长为10 10 尺的正方形池塘，尺的正方形池塘， 一棵芦苇生长在一棵

12、芦苇生长在池的中央，池的中央， 其出水部分为其出水部分为1 1 尺尺. . 如果将芦苇沿如果将芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，与水池边垂直的方向拉向岸边， 它的顶端恰好它的顶端恰好碰到池边的水面碰到池边的水面. . 问水深与芦苇长为多少？问水深与芦苇长为多少？ 分析分析 根据题意，根据题意， 先画出水池截面示意图，先画出水池截面示意图， 如图如图1-18. 设设AB 为芦苇，为芦苇， BC 为芦苇出水部分，为芦苇出水部分， 即即1 尺，尺， 将芦将芦苇拉向岸边，苇拉向岸边， 其顶部其顶部B点恰好碰到岸边点恰好碰到岸边B. 宋刻九章算术书影 A B B 1 5 C 图图1 1- -1818 A

13、 B B 1 5 C 图图1 1- -1818 解：解： 在如图在如图1-18，设水池深为，设水池深为x尺，尺， 则则AC=x尺，尺，AB=AB=(x+1)尺尺. . 因为正方形池塘边长为因为正方形池塘边长为10尺，所以尺，所以BC=5尺尺. 在在RtACB中，由勾股定理，得中，由勾股定理，得 x2+52=(x+1)2 解得解得 x=12 则芦苇长为则芦苇长为13尺尺. 答：水池的深度为答：水池的深度为12尺，芦苇长尺，芦苇长13尺尺. 练习练习 1. 如图，如图， 一艘渔船以一艘渔船以30 海里海里/h 的速度由西向东追赶鱼的速度由西向东追赶鱼群群. 在在A 处测得小岛处测得小岛C 在船的北

14、偏东在船的北偏东60方向；方向； 40 min 后，后， 渔船行至渔船行至B 处，处， 此时测得小岛此时测得小岛C 在船的北偏东在船的北偏东30方向方向. 已知以小岛已知以小岛C 为中心，为中心， 周围周围10 海里以内有暗海里以内有暗礁，礁， 问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？问这艘渔船继续向东追赶鱼群是否有触礁的危险？ 北北 东东 C A B 60 30 北北 东东 C A B 60 30 分析分析 取轮船航向所在的直线为取轮船航向所在的直线为AB.过点过点C作作CDAB，垂足为，垂足为D.CD长为长为C岛到轮船岛到轮船航道的最短距离，若航道的最短距离，若CD大于大于10海里，海

15、里，则轮船由西向东航行就不会有触礁的则轮船由西向东航行就不会有触礁的危险危险. 北北 东东 C A B 60 30 D 解：解：过点过点C作作CDAB，垂足为，垂足为D， 依题意，依题意，CBD=60，CAD=30， 由于由于CD长大于长大于10海里，所以轮船由西向东航行没有触礁危险海里，所以轮船由西向东航行没有触礁危险. 1120 =10.22 BD =BC =（海海里里）北北 东东 C A B 60 30 D CAD=ACB=30 ， AB=BC= （海里）（海里） ， 230= 203在在RtCBD中，中，BCD=30， 2222=-=20 -10 =10 310. CDCBBD（海海里

16、里）（海海里里）2. 如图，如图， AE 是位于公路边的电线杆，是位于公路边的电线杆， 高为高为12 m， 为了为了使电线使电线CDE 不影响汽车的正常行驶，不影响汽车的正常行驶， 电力部门在公路的电力部门在公路的另一边竖立了一根高为另一边竖立了一根高为6 m 的水泥撑杆的水泥撑杆BD， 用于撑起电用于撑起电线线. 已知两根杆子之间的距离为已知两根杆子之间的距离为8 m， 电线电线CD 与水平线与水平线AC 的夹角为的夹角为60. 求电线求电线CDE 的总的总 长长L （A，B， C 三点在同一三点在同一 直线上，直线上， 电线杆、水泥杆的电线杆、水泥杆的 粗细忽略不计）粗细忽略不计）. 分析

17、分析 要求电线要求电线CDE的总长的总长L，即要求，即要求CD+DE的长的长度，需分别把度，需分别把CD和和DE放在直角三角形中，于放在直角三角形中，于是过点是过点D作作DFAE，垂足为，垂足为F. E A B C D F E A B C D F 解：解：过点过点D作作DFAE，垂足为，垂足为F， 依题意依题意BCD=60, AB=DF=8m, AF=BD=6m, FE=6m. 22=+22=6 +8 =10 m .（）EDFEFD在在RtDEF中中，由勾股定理由勾股定理, 得得 在在RtDBC中中,CDB=30, 设设BC=x,DC=2x，由勾股定理得由勾股定理得, x2+62=(2x)2

18、解得解得 x= 2 3=+=(10 4 3)m.LED+CD 据据周髀算经周髀算经记载，西周开国时期（约公元前记载，西周开国时期（约公元前10001000多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折多年）有个叫商高的人对周公说，把一根直尺折成直角，两端连接得一直角三角形。如果勾是成直角，两端连接得一直角三角形。如果勾是3 3，股，股是是4 4，那么弦是，那么弦是5 5，这就是商高发现的“勾股定理”，这就是商高发现的“勾股定理”. .因此在中国，勾股定理又被称作“商高定理”，在西因此在中国，勾股定理又被称作“商高定理”，在西方国家，勾股定理又“方国家，勾股定理又“Pythagoras(毕达哥拉斯毕

19、达哥拉斯) )定定理”理”. .但毕达哥拉斯发现这一定理的时间要比商高迟但毕达哥拉斯发现这一定理的时间要比商高迟得多，可见我国古代人民对人类杰出的贡献得多，可见我国古代人民对人类杰出的贡献. . 小知识 1955年的年的 希腊邮票希腊邮票 “赵爽弦图”为赵爽弦图”为2002年在北京召开的国际年在北京召开的国际数学家大会的会标数学家大会的会标. 西班牙教材中的勾股定理，他西班牙教材中的勾股定理，他们称之为“毕达哥拉斯定理”们称之为“毕达哥拉斯定理”. 香港教材中的勾股定理香港教材中的勾股定理 仍然沿用着西方的名称仍然沿用着西方的名称毕氏定理毕氏定理. . 分析分析 要求要求AD的长，要把的长，要

20、把AD放在直角三角形放在直角三角形中，通过勾股定理计算出中，通过勾股定理计算出. 如图，等腰如图，等腰ABC中中, ,AB=AC, ,AD是底边上的高，若是底边上的高，若AB=5cm,BC=6cm,AD=_cm. 中考中考 试题试题 例例1 A B C D 4 解：解：AB=AC= =5cm，BC= =6cm，ADBC， 1=3cm2BDBC=.在在RtADB中，中， 由勾股定理得，由勾股定理得，AD2+ +BD2= =AB2 故故AD的长为的长为4cm. . 2222=-=5 -3 = 4cm.ADABBDA B C D 例例2 如图，如图，RtABC中，中，C=90，AD平分平分CAB，DEAB于于E，若，若AC=6，BC=8，CD=3 （1）求）求DE的长；的长； （2）求）求ADB的面积的面积 A C E D B 解解(1) AD平分平分CAB， DEAB，C=90， CD=DE=3. （2）在在RtABC中，由勾股定理得中，由勾股定理得， 2222=+=6 +8 =10.ABACBC11=10 3 =15.22ADBSAB DE小结小结 1.1.这节课我们从知识上有哪些收获？这节课我们从知识上有哪些收获？ 2.2.从研究方法上你有哪些收获？从研究方法上你有哪些收获？ 结结 束束 单位：北京市国子监中学单位：北京市国子监中学 姓名：刘嵩姓名：刘嵩