13函数的基本性质——单调性

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1、问题问题1：函数是描述事物运动变化规律的：函数是描述事物运动变化规律的数学模型，如果了解了函数的变化规律，数学模型，如果了解了函数的变化规律，那么也就基本把握了相应事物的变化规律。那么也就基本把握了相应事物的变化规律。在事物变化过程中，保持不变的特征就是在事物变化过程中，保持不变的特征就是这个事物的性质。观察下面各个函数图像，这个事物的性质。观察下面各个函数图像，你能说说它们分别反映了相应函数的那些你能说说它们分别反映了相应函数的那些变化规律吗？变化规律吗？xy21yxO1-11OOOyyxx-11.3 函数的基本性质函数的基本性质单调性单调性xyxy xy yxy xyxy 研究一次函数研究

2、一次函数 和二次函数和二次函数 图像随图像随增大，增大， 值变化情况。值变化情况。xxf)(2)(xxfxyxy2xy O二次函数二次函数 ，列出，列出 的对应值表的对应值表2)(xxfyx,x2)(xxf2)(xxfx1x)(1xfxy2xy O1x)(1xfxy2xy O01x)(1xfxy2xy O1x)(1xfxy2xy O1x)(1xfxy2xy O1x)(1xfxy2xy O1x)(1xfxy2xy O1x)(1xfxy2xy O1x)(1xfxy2xy Ox从对应值表及函数图像可以发现：从对应值表及函数图像可以发现：在区间在区间 上，随着上，随着 的增大，相应的的增大，相应的 反

3、而随着减少；在区间反而随着减少；在区间 上，随着上，随着 的增的增大，相应的大，相应的 也随着增大。也随着增大。)(xfx, 00,)(xf形象描述为：形象描述为：设函数的定义域为设函数的定义域为I I. . 区间区间 在区间在区间D D上上, ,若函数若函数图像图像（从左至右看）总是总是上升上升，则，则称函数在区间称函数在区间D D上是上是增函数增函数. . 在区间在区间D D上上, ,若函数若函数图像图像（从左至右看）总是总是下降下降的，的，则称函数在区间则称函数在区间D D上是上是减函数减函数ID 如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(

4、x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？Oxy如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyx1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf

5、(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1) f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任

6、取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数

7、区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x

8、与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2x1x2 f(x1)f(x2)如何用如何用x与与f(x)来描述上升的图象？来描述上升的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2如何用如何用x与与f(x)来描述下降的图象？来描述下降的图象？x2x1Oxyyf(x)f(x1)f(x2)函数函数f (x)在给定在给定区间上为增函数区间上为增函数.函数函数f (x)在给定在给

9、定区间上为减函数区间上为减函数.x1x2 f(x1)f(x2)在给定区间上任取在给定区间上任取x1, x2增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1

10、.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是减函数减函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域

11、如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是减函数减函数.一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：1.如果对于定义域如果对于定义域I

12、内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是减函数减函数.一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的

13、某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是减函数减函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任

14、意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是减函数减函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自

15、变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是减函数减函数.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：一般地，设函数一般地，设函数 f(x) 的定义域为的定义域为I.1.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个

16、自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是增函数增函数.2.如果对于定义域如果对于定义域I内的某个区间内的某个区间D上的任意上的任意两个自变量的值两个自变量的值x1, x2，当，当x1x2时，都有时，都有f(x1)f(x2)，那么就说，那么就说f(x)在这个区间在这个区间D上是上是减函数减函数.一般地，设函数一般地，设函数f(x)的定义域为的定义域为I.增函数、减函数的概念：增函数、减函数的概念：)(xf)(xf问题问题2：对于函数对于函数 ，定义域为，定义域为 I ，在某一区域，在某一区域D内内有有 ，

17、存在，存在 能否判断函数能否判断函数 在区间在区间D上单调上单调递增？递增？nxxxx321)()()(321xfxfxf)(nxf问题问题3： 函数函数 在区域在区域 内任取一个值内任取一个值 ，当，当 时，都有时，都有 ，能说函数，能说函数 在在 上单调递增吗？上单调递增吗？ ba,xbxa)()(xfaf)(xfba,)(xf函数单调性的概念：函数单调性的概念：函数单调性的概念：函数单调性的概念：-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5例例1 1 右图是定义在右图是定义在闭区间闭区间 5, 55, 5上上的函数的函数y yf f( (x x) )的图的图象，根据图象说出象，

18、根据图象说出y yf f( (x x) )的单调区间，的单调区间，以及在每一单调区以及在每一单调区间上，间上， y yf f( (x x) )是增函数还是减函数是增函数还是减函数例例1 1 右图是定义在右图是定义在闭区间闭区间 5, 55, 5上上的函数的函数y yf f( (x x) )的图的图象，根据图象说出象，根据图象说出y yf f( (x x) )的单调区间，的单调区间，以及在每一单调区以及在每一单调区间上，间上， y yf f( (x x) )是增函数还是减函数是增函数还是减函数-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数函数y yf f( (x x) )的单调区间

19、有的单调区间有 5,5,2)2)， 2, 1)2, 1)，1, 3)1, 3)，3, 53, 5，解：解：-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数函数y yf f( (x x) )的单调区间有的单调区间有 5,5,2)2)， 2, 1)2, 1)，1, 3)1, 3)，3, 53, 5，其中其中y yf f( (x x) )在在 5,5,2)2)，1, 3)1, 3)上是减函数，上是减函数，在区间在区间 2, 1)2, 1)，3, 53, 5上是增函数上是增函数解：解：例例1 1 右图是定义在右图是定义在闭区间闭区间 5, 55, 5上上的函数的函数y yf f( (x x

20、) )的图的图象，根据图象说出象，根据图象说出y yf f( (x x) )的单调区间，的单调区间，以及在每一单调区以及在每一单调区间上，间上， y yf f( (x x) )是增函数还是减函数是增函数还是减函数-2321-1y-3-44Ox2-231-3-15-5 函数函数y yf f( (x x) )的单调区间有的单调区间有 5,5,2)2)， 2, 1)2, 1)，1, 3)1, 3)，3, 53, 5，其中其中y yf f( (x x) )在在 5,5,2)2)，1, 3)1, 3)上是减函数，上是减函数，在区间在区间 2, 1)2, 1)，3, 53, 5上是增函数上是增函数图象法图

21、象法解：解：例例1 右图是定义在右图是定义在闭区间闭区间 5, 55, 5上上的函数的函数y yf f( (x x) )的图的图象，根据图象说出象，根据图象说出y yf f( (x x) )的单调区间，的单调区间，以及在每一单调区以及在每一单调区间上，间上， y yf f( (x x) )是增函数还是减函数是增函数还是减函数例例2 用函数单调性的定义证明：函数用函数单调性的定义证明：函数 是减函数。是减函数。上在), 0(,1)(xxf证明：设证明：设 ， 是区间是区间 上的任意两个实数，上的任意两个实数，且且 ，1x2x, 021xx 。，。证明：设证明：设 ， 是区间是区间 上的任意两个实

22、数，上的任意两个实数，且且 ，则，则1x2x, 021xx 2112212111)()(xxxxxxxfxf。，。证明：设证明：设 ， 是区间是区间 上的任意两个实数，上的任意两个实数，且且 ，则，则1x2x, 021xx 2112212111)()(xxxxxxxfxf。021xx，012 xx0)()(21xfxf，即即)()(21xfxf。证明：设证明：设 ， 是区间是区间 上的任意两个实数，上的任意两个实数，且且 ，则，则1x2x, 021xx 2112212111)()(xxxxxxxfxf。021xx，012 xx0)()(21xfxf，即即)()(21xfxf。所以，函数所以，函

23、数 是区间是区间 上的减函数上的减函数 xxf1)(, 0 判定函数在某个区间上的单调性的判定函数在某个区间上的单调性的方法步骤方法步骤: :3. 3. 判断上述差的符号判断上述差的符号; ;4. 4. 下结论下结论1. 1. 设设x x1 1, , x x2 2给定的区间，且给定的区间，且x x1 1x x2 2; ;2. 2. 计算计算f f( (x x1 1) )f f( (x x2 2) ) 至最简至最简; ;( (若差若差0 0，则为增函数，则为增函数; ; 若差若差0 0，则为减函数，则为减函数).).巩固练习：巩固练习：证明函数证明函数 在在 是减函数。是减函数。2xy 0 ,1两个定义：增函数、减函数两个定义：增函数、减函数 课堂小结课堂小结1 1两个定义：增函数、减函数两个定义：增函数、减函数 2 2两种方法：两种方法：判断函数单调性的方法判断函数单调性的方法有图象法、定义法有图象法、定义法课堂小结课堂小结1 1阅读教材阅读教材P.27 -P.30P.27 -P.30；2 23. 3. 探究题：探究题：课后作业课后作业2 , 139P339P