截面的几何性质

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1、附录附录I 截面的几何性质截面的几何性质 I.1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心I.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积I.3 平行移轴公式平行移轴公式 组合截面惯性矩和惯性积组合截面惯性矩和惯性积I.4 转轴公式转轴公式 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩I.1.1 静矩静矩 （面积矩）（面积矩）I.1 截面的静矩和形心截面的静矩和形心1、定义、定义dA对 y 轴的微静矩:2、量纲：长度、量纲：长度3；单位：；单位：m3、cm3、mm3。dA对 x 轴的微静矩:ddxSy AddySx A3、静矩的值可以是正值、负值、或零。、静矩的值可以是正值、负值、或零。OxydA xydxASy AdyA

2、Sx A4、静矩和形心的关系、静矩和形心的关系 ACACx dAxAy dAyAdyCASx AA xdxCASy AA y平面图形的形心公式平面图形的形心公式结论：结论： 图形对过形心的轴的静矩为零。图形对过形心的轴的静矩为零。 若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。若图形对某轴的静矩为零，则此轴一定过图形的形心。静矩和形心的关系静矩和形心的关系xyO dA xyxCCyC组合图形组合图形: 由若干个基本图形组合而成的图形由若干个基本图形组合而成的图形基本图形基本图形: 面积、形心位置已知的图形面积、形心位置已知的图形I.1.2 组合图形的静矩：组合图形的静矩：xxiiCiSSA

3、yyyiiCiSSA x组合图形组合图形对于对于某一轴某一轴的静矩，的静矩，等于图形各组成部分对于等于图形各组成部分对于同一轴同一轴静矩之代数和静矩之代数和。例例-1 求图示半圆形的静矩求图示半圆形的静矩Sx、Sy。解：解：由对称性由对称性0yS22d2d2dAxyRyy22302d2d3RxASy AyRyyR取平行于取平行于 x 轴的狭长条作为微面积轴的狭长条作为微面积 dAORxyydyI.2 惯性矩惯性矩 惯性积惯性积1、定义、定义：dA 对对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩:dA 对对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩:2、量纲：、量纲：m4、mm4。2dxAIyA2dyAIxA2ddxIyA2d

4、dyIxA3、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。、惯性矩是对轴而言（轴惯性矩）。4、惯性矩的取值恒为正值。、惯性矩的取值恒为正值。5、极惯性矩：、极惯性矩：（对（对O点而言）点而言）2dPAIA图形对图形对 x 轴的惯性矩轴的惯性矩:图形对图形对 y 轴的惯性矩轴的惯性矩:I.2.1 惯性矩惯性矩 OxydA xy 图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的图形对任一对相互垂直的坐标系的惯性矩之和恒等于此图形对该两轴交点的极惯性矩。极惯性矩。22()dAyxA22ddAAyAxAxyIIbhxccyc 圆形截面的惯性矩：圆形截面的惯性矩：实心（直径实心（直径D）空心（外径空

5、心（外径D，内径，内径d） 矩形截面的惯性矩：矩形截面的惯性矩：b dy3112xIbh3121hbIy464xyDII44164xyDIIh dx223221dd12hhxAIyAbyybh223221dd12bbyAIxAhxxhb6、惯性半径：、惯性半径：AIixxAIiyy1、定义：、定义：2、量纲：长度、量纲：长度4，单位：，单位：m4、mm4。3、惯性积是对轴而言。、惯性积是对轴而言。dxyAIxy A4、惯性积的取值为正值、负值、零。、惯性积的取值为正值、负值、零。5、规律：、规律： 两坐标轴中，只要有一个轴为图形的两坐标轴中，只要有一个轴为图形的对称轴对称轴，则图形这一对坐标轴

6、的，则图形这一对坐标轴的惯惯性积为零性积为零。I.2.2 惯性积惯性积 OxydA xyI.3 平行移轴公式平行移轴公式I.3.1 平行移轴公式平行移轴公式 图形截面积图形截面积 A，形心坐标，形心坐标 xc、 yc ，对形心，对形心轴的惯性矩和惯性积分别为轴的惯性矩和惯性积分别为 Ixc、Iyc、 Ixcyc，a、b 已知。已知。xc 轴平行于轴平行于 x 轴；轴；yc 轴平行于轴平行于 y 轴。轴。求：求：Iz、Iy。xyOCbaycxc22222d() ddd2dxcAAccAAAxcIyAyaAyAaAayAIa A2yycIIb AdAycxcxy同理同理xyOCbaycxcdAyc

7、xcxyd()()dxyccAAIxy AyaxbAddddccccAAAAxcycy xAabAaxAbyAIabA22xxcyycxyxcycIIa AIIb AIIabA平行移轴公式平行移轴公式注意注意： xC、yC 为形心轴为形心轴 a、b 为图形形心为图形形心 C 在在 Oxy 坐标系的坐标值，可正可负坐标系的坐标值，可正可负I.3.2 组合截面的惯性矩组合截面的惯性矩 惯性积惯性积根据惯性矩和惯性积的定义易得根据惯性矩和惯性积的定义易得 组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的组合截面对于某轴的惯性矩（或惯性积）等于其各组成部分对于同一轴的惯性矩（或惯性积）

8、之和惯性矩（或惯性积）之和：1nxxiiII1nyyiiII1nxyxiyiiII例例 I-2 求求 T 形截面对其形心轴形截面对其形心轴 yc 的惯性矩的惯性矩。解：将截面分成两个矩形截面。解：将截面分成两个矩形截面。2014010020zcycy12截面的形心必在对称轴截面的形心必在对称轴 zc 上。上。取过矩形取过矩形 2 的形心且平行的形心且平行于底边的于底边的 y 轴作为轴作为参考轴参考轴120 140A 180Cz2100 20A 20Cz形心坐标形心坐标11221246.7mmCCCAzA zzAAzC2131 11123112120 14020 1408046.712ycCCI

9、bhA zz22322223121211002010020046.712ycCCIb hAzz126412.12 10mycycycIII2014010020zcycy12zC例例I-3 求图示直径为求图示直径为 d 的半圆对其自身形心轴的半圆对其自身形心轴 xc 的惯性矩。的惯性矩。解：解：3281223dddASyxcxydycCxcb(y)22d( ) d2dAb yyRyy222301d2d12dxASy AyRyyd取平行于取平行于 x 轴的狭长条作为微面积轴的狭长条作为微面积 dA求对形心轴求对形心轴 xc 的惯性矩的惯性矩12826444ddIx181288)(4422dddyI

10、Icxxc由平行移轴公式得：由平行移轴公式得： 例例I-4 试求图示截面对于对称轴试求图示截面对于对称轴 x 的惯性矩。的惯性矩。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。解：将截面看作一个矩形和两个半圆组成。1、矩形对、矩形对 x 轴的惯性矩：轴的惯性矩：13344280 2005333 10 mm1212xdaI2、一个半圆对其自身形心轴的惯性矩、一个半圆对其自身形心轴的惯性矩4412818cxddIxyCd =8040100a =10040 a +2d3p3、一个半圆对、一个半圆对 x 的惯性矩的惯性矩2224423467 10 mm38cxxddIIa12444425333 102 346

11、7 1012270 10 mmxxxIII 4、整个截面对于对称轴、整个截面对于对称轴 x 的惯性矩的惯性矩I.4.1 转轴公式转轴公式 I.4 转轴公式转轴公式 主惯性轴主惯性轴 主惯性矩主惯性矩dA 在坐标系在坐标系 Oxy 的坐标为（的坐标为（x，y ）1cossinxOEECxy惯性矩定义惯性矩定义121dxAIAyxyOxyAdAx1y1 已知已知：Ix、Iy、Ixy。 求求：Ix1、Iy1、Ix1y1。 x1y1 dA 在坐标系在坐标系Ox1y1 的坐标（的坐标（x1 ， y1 ）BDEC1cossinyADCDyx222222cosdsind 2sincosdcossin2sin

12、cosAAAxyxyyAxAxyAIII 利用二倍角函数，得利用二倍角函数，得 转轴公式转轴公式 ：111 1cos2sin222cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxyxyyxyxyx yxyIIIIIIIIIIIIIIII 的符号的符号为：从为：从 x 轴至轴至 x1 轴轴 逆逆时针为时针为正正，顺顺时针为时针为负负。11xyxyIIII表明表明: : 截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为截面对于通过同一点的任意一对相互垂直的坐标轴的惯性矩之和为 一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩一常数，并等于截面对该坐标原点的极惯性矩前两式相加前两式相加I.4

13、.2 主惯性轴和主惯性矩主惯性轴和主惯性矩11 12sin22cos22(sin2cos2 )222xyxyxxyxyx yIIIIdIIIId 010 xdId 令0111 1cos2sin222cos2sin222sin2cos22xyxyxxyxyxyyxyxyx yxyIIIIIIIIIIIIIIII可求得可求得 0 和和 0 + 90 两个角度，从而确定两根轴两个角度，从而确定两根轴 x0 ，y0 ，且，且000 x yI02tan2xyxyIII由求出 代入转轴公式可得：002cos,2sin02tan2xyxyIII20max20min22xxyxyxyyIIIIIIIII2、主

14、惯性矩（主矩）：、主惯性矩（主矩）： 图形对主轴的惯性矩图形对主轴的惯性矩 Ix0、Iy0 称为称为主惯性矩主惯性矩，主惯性矩为图形对过该点的，主惯性矩为图形对过该点的所有轴的惯性矩中的最大和最小值。所有轴的惯性矩中的最大和最小值。由此引出几个由此引出几个概念概念：1、主惯性轴（主轴）：、主惯性轴（主轴）： 如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该如果图形对过某点的某一对坐标轴的惯性积为零，则该对轴为图形过该点的点的主惯性轴主惯性轴。（。（Ix0y0 =0 ，x0，y0 轴为主轴）。轴为主轴）。3、形心主惯性轴（形心主轴）：、形心主惯性轴（形心主轴）： 如果图形的两个主轴

15、为图形的形心轴，则此两轴为如果图形的两个主轴为图形的形心轴，则此两轴为形心主惯轴形心主惯轴。（。（ Ixcyc = 0。 xc、yc 为形心轴。为形心轴。xc、yc 为形心主轴）。为形心主轴）。 4、形心主惯性矩：、形心主惯性矩：图形对形心主轴的惯性矩。（图形对形心主轴的惯性矩。（Ixc、Iyc）。几个结论几个结论: :l 若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性若截面有一根对称轴，则此轴即为形心主惯性轴之一，另一形心主惯性轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。轴为通过形心并与对称轴垂直的轴。l 若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心主惯性轴。若截面有二根对称轴，则此二轴即为形心

16、主惯性轴。l 若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯若截面有三根对称轴，则通过形心的任一轴均为形心主惯性轴，且主惯性矩相等。性矩相等。求截面形心主惯性矩的基本步骤求截面形心主惯性矩的基本步骤1)、建立坐标系。、建立坐标系。2)、求形心位置。、求形心位置。3)、建立形心坐标系，并求：、建立形心坐标系，并求：Iyc ， Ixc ， IxcycyiiiixcSA xA ySxyAAAA4)、确定形心主轴位置、确定形心主轴位置 0 ：5)、求形心主惯性矩求形心主惯性矩02tan2xyxyIII20max20min22xxyxyxyyIIIIIIIII例例I-5 确定图示截面的形

17、心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。确定图示截面的形心主惯性轴位置，并计算形心主惯性矩。(1)首先确定图形的形心。首先确定图形的形心。123241110.0590.011 ( 0.035)0.011 0.059 98.2cm12CyyIIb A 11707080801111IIIIII11Cxy 利用平行移轴公式分别求出各矩形对利用平行移轴公式分别求出各矩形对 x 轴和轴和 y 轴的惯性矩和惯性积。轴的惯性矩和惯性积。121132410.059 0.0110.07450.011 0.05912360.9cmCxxIIa A1141 1 10 ( 0.035) 0.0745 0.011 0.05

18、9169cmCCxyx yIIabA 11707080801111IIIIII11CxyIII4III4III4360.9cm98.2cm169cmIxxIyyIxyxyIIIIII 44IIIII41097.3cm198cm338.4cmxxxxyyyyxyxyxyxyIIIIIIIIIIII 1IIII3410.011 0.163769cm12CxxII1IIII3410.16 0.0111.78cm12CyyIIII0 xyI11707080801111IIIIII11Cxy44IIIII41097.3cm198cm338.4cmxxxxyyyyxyxyxyxyIIIIIIIIIIII (2) 求求 0：0018.5108.5或752. 01983 .1097)338(222tan0yxxyIII 0 0 的两个值分别确定了形心主惯性轴的两个值分别确定了形心主惯性轴 x0 和和 y0 的位置的位置041097.3 198 1097.3 198cos37( 338)sin371210cm22xI x0y0018.5则：则：041097.3 198 1097.3 198cos217( 338)sin21785cm22yI