初中几何辅助线大全最全

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1、三角形中作辅助线的常用方法举例一、延长已知边构造三角形：例如：如图 7-1 :已知 AC= BD, AD丄AC于A , BC丄BD于B, 求证：AD= BC分析：欲证_ ad.=.BC先证分别含有.-AD,BC的三角形全等.，有几种方案：ADC与.BCD- AOD与 BOC ABD与 BAC但根据现有条件，均无法证全等，差角的相等，因此可设 法作出新的角，且让此角作为两个三角形的公共角。证明：分别延长 DA CB它们的延长交于 E点,/ AD丄AC BC丄BD （已知）/ CAE=Z DBE = 90 （垂直的定义）在厶DBE与 CAE中E =/E（公共角）T 匸 DBE =. CAE（已证）

2、BD 二 AC（已知） DBEA CAE（ AAS ED= EC EB = EA （全等三角形对应边相等） ED- EA= EC EB即: AD= BC（当条件不足时，可通过添加辅助线得出新的条件，为证题创造条件。）、连接四边形的对角线，把四边形的问题转化成为三角形来解决。三、有和角平分线垂直的线段时，通常把这条线段延长。例如：如图 9-1 :在 Rt ABC中，AB= AC, / BAC= 90,/ 1 = Z 2, CEL BD的延长于 E。 求证：BD= 2CE分析：要证BD=2CE想到要构造线段一.2CE同时CE与 / ABC的平分线垂直，想到要将其延长。证明：分别延长 BA CE交于

3、点F。/ BEL CF （已知）/ BEF=/ BEC= 90（垂直的定义） 在厶BEF与厶BEC中,图9-11/2（已知）BE =BE（公共边）|/BEF =/BEC（已证）1 BEFA BEC（ASA二CE=FE CF （全等三角形对应边相等）2/ BAC=90 BE 丄 CF （已知）/ BAC=Z CAF= 90/ 1 + Z BDA= 90/ 1 + Z BFC= 90/ BDA=/ BFC在厶ABD与 ACF中.BAC CAF （已证）.BDA 二.BFC （已证）AB = AC（已知） ABDA ACF （AAS - BD= CF （全等三角形对应边相等） BD= 2CE四、取线

4、段中点构造全等三有形。例如：如图 11-1 : AB= DC / A=/ D 求证：/ ABC=/ DCB分析：由AB= DC / A=/ D,想到如取 AD的中点N,连接NB NC,再由SAS公理有 ABN- -I- ”-“11- - - - umm = - - - - - - - - - - - - - - - - NMB NCM , （SSS） / NBC =/ NCB （全等三角形对应角相等）/NBC +/ABN =/ NCB +/ DCN 即/ ABC = / DCB。 - =字.一 DCN一故BNk CN，/ AB NL/.DCNL.下面只需证/一NBC一乙NCB再取的中点ML连接

5、.34证明：取 AD, BC的中点 N、M连接 NB NM NC贝U AN=DN BM=C皿在厶ABN和厶DCNAN二DN （辅助线的作法） 中I * NA=ND（已知）AB =DC（已知） ABNA DCN （ SAS / ABNkZ DCN NB = NC （全等三角形对应边、 角相等）图 11 -1#在厶 NBM NCM中NB = NC（已证） BM = CM （辅助线的作法）NM = NM （公共边）巧求三角形中线段的比值例 1.如图 1,在厶 ABC 中，BD DO 1: 3, AE: ED= 2:AF: FG解：过点D作DG/AC,交BF于点G所以DGFC= BD BC因为BDDC

6、= 1 : 3所以 BD BO 1 : 4即 DG FC= 1: 4, FC= 4DG因为 DG AF= DE AE 又因为 AE ED= 2 : 3所以 DG AF= 3 : 2AF = -DG 即 -DG所以 AF: FC=4DG=1 : 65例 2.如图 2, BC= CD AF= FC 求 EF: FD#解：过点C作CG/DE交AB于点G,贝U有 EF: GC= AF: AC#因为 AF= FC所以 AF: AO 1 : 2EF-GC即 EF: GC= 1: 2,因为CG DE= BC: BD又因为BO CD所以 BC: BD= 1 : 2 CG : DE= 1 : 2即 DE= 2G

7、C1 32GC-GC= -GC因为 FD= ED- EF=- 所以 EF: FD=1 3-GCi -GC = lr 32 2小结：以上两例中，辅助线都作在了 “已知”条件中出现的两条已知线段的交点处，且所作的辅助线与结论中出现的线段平行。“请再看两 例，让我们感受其中的奥妙！豐例 3.如图 3, BD DO 1 : 3, AE: EB= 2 : 3,求 AF : FDb 解：过点B作BG/AD,交CE延长线于点 G所以 DF: BG= CD CB因为 BD DC= 1 : 3 所以 CD CB= 3 : 46DF = -BG即 DF: BG= 3: 4,7#因为 AF: BG= AE: EB所

8、以 AF: BG= 2: 3又因为AE EB= 2: 32AF=BG即#-BG. -5G= 8： 9所以 AF: DF=14.如图 4, BD DO 1 : 3, AF= FD,求 EF: FG解：过点D作DG/CE,交AB于点G所以 EF : DG= AF: AD因为AF= FD所以 AF: AD= 1 : 2图4EF= -DG即 EF: DG= 1: 2因为 DG CE= BD BC 又因为 BD CD= 1 : 3,即 DG CE= 1: 4, CE= 4DG17 ，亠ADG-DG-DG因为 FC= CE- EF=:17 -DG： -DG所以 EF : FC= ：= 1 : 7所以 BD

9、 B01: 4练习:1.如图 5, BD= DC AE: ED= 1 : 5，求 AF : FB。6, AD:答案:1、1 : 10；2. 9: 18二由角平分线想到的辅助线图中有角平分线，可向两边作垂线。也可将图对折看，对称以后关系现。 角平分线平行线，等腰三角形来添。角平分线加垂线，三线合一试试看。角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相 等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种。 从角平分线上一点向两边作垂线； 利用角平分线，构造对称图形(如作法是在一侧的长边上截取短边)。通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下 考虑构造对称图形

10、。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。与角有关的辅助线()、截取构全等ADC例 1. 如图 1-2，AB/CD, BE平分/ BCD CE平分/ BCD 点 E 在 AD上,求证：BC=AB+CD分析：此题中就涉及到角平分线，可以利 用角平分线来构造全等三角形，即利用解平分 线来构造轴对称图形，同时此题也是证明线段 的和差倍分问题，在证明线段的和差倍分问题 中常用到的方法是延长法或截取法来证明， 延长短的线段或在长的线段长截取一 部分使之等于短的线段。但无论延长还是截取都要证明线段的相等， 延长要证明延长后的线段与某条线段相等，截取要证明截取后剩下的线段与某条线段相等， 进而达到所证明

11、的目的例2. 已知：如图 1-3，AB=2ACZ BAD2 CAD DA=DB 求证 DC!AC9分析：此题还是利用角平分线来构造全等三角形 相等。其它问题自已证明。构造的方法还是截取线段AC图1-310例3. 已知：如图1-4，在 ABC中，/ C=2/ B,AD平分/ BAC求证：AB-AC=CD分析：此题的条件中还有角的平分线，在证明 中还要用到构造全等三角形，此题还是证明线段的 和差倍分问题。用到的是截取法来证明的，在长的 线段上截取短的线段，来证明。试试看可否把短的 延长来证明呢？（二）、角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线， 利用角平分线上的点到两边距离相等

12、的性质来证明 问题。图2-1例 1.如图 2-1，已知 ABAD, / BAC/ FAC,CD=BC 求证：/ ADC/ B=180分析：可由C向/BAD的两边作垂线。近而证/ ADC 与/B之和为平角。例2.如图 2-2，在 ABC中,/ A=90，AB=AC/ ABD/ CBD求证：BC=AB+AD分析：过D作DEL BC于E,则AD=DE=CE则构造出 全等三角形，从而得证。此题是证明线段的和差倍分问题， 从中利用了相当于截取的方法。2图3-4#2图3-4#例3.已知如图2-3， ABC的角平分线BM CN相交于点P。求证：/ BAC2图3-4#的平分线也经过点P。分析：连接AP,证AP

13、平分/ BAC即可，也就是证P到ABAM F图2-3AC的距离相等。（三）：作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边相交，则截得一个等腰三角形,垂足为底边上的中点， 该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三 角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另 边相交）。例 1. 已知：如图 3-1，/ BAD2 DAC ABAC,Ct!AD于 D, H是 BC中点。1求证：DHd （AB-AC2分析：延长CD交AB于点E,则可得全等三角形。问题可证例2.已知：如图 3-2 , AB=ACZ BAC=90,

14、AD为/ ABC的平分线，CEL BE求证：BD=2CE分析：给出了角平分线给出了边上的一点作角平分线的垂线，可延长此垂线与另外一边相交，近而构造出等腰三角例3.已知：如图3-3在厶ABC中，AD AE分别/ BAC的内、外角平分线,过顶点B作BFAD交AD的延长线于F,连结FC并延长交AE于M求证：AM=MEN 图 3-3分析：由AD AE是/ BAC内外角平分线，可得EA 丄AF,从而有BF/AE，所以想到利用比例线段证相等。2图3-4122图3-4#例4.已知：如图3-4，在 ABC中，AD平分/ BACAD=AB CML AD 交 AD2图3-4131延长线于 M 求证：AM= （AB

15、+AC2分析：题设中给出了角平分线AD,自然想到以AD为轴作对称变换，作 AB1D关于AD的对称 AED然后只需证DM=EC,另外21由求证的结果AM= （AB+AC,即2AM=AB+AC也可2图3-4#尝试作 ACM关于CM的对称 FCM然后只需证DF=CF即可三由线段和差想到的辅助线线段和差及倍半，延长缩短可试验。线段和差不等式，移到同一三角去。 遇到求证一条线段等于另两条线段之和时，一般方法是截长补短法：1、截长：在长线段中截取一段等于另两条中的一条，然后证明剩下部分等 于另一条；2、补短：将一条短线段延长，延长部分等于另一条短线段，然后证明新线 段等于长线段。对于证明有关线段和差的不等

16、式，通常会联系到三角形中两线段之和大于第 三边、之差小于第三边，故可想办法放在一个三角形中证明。注意：利用三角形外角定理证明不等关系时，通常将大角放在某三角形的外 角位置上，小角放在这个三角形的内角位置上，再利用不等式性质证明。例4如图，已知 Rt ABC中，/ ACB=90，AD是/ CAB的平分线，DMILAB丄于 M 且 AM=MB求证：CD=2 DB1. 如图，AB/ CD AE DE分别平分/ BAD各/ ADE 求证：AD=AB+C。n c15#2. 如图， ABC中，/ BAC=90 , AB=AC AE是过 A的一条直线，且 B, C在AE的异侧，BDL AE于 D, CELA

17、E于 E。求证：BD=DE+CE四由中点想到的辅助线三角形中两中点，连接则成中位线。三角形中有中线，延长中线等中线。（一）、由中点应想到利用三角形的中位线例2如图3,在四边形ABCD中，AB=CDE、F分别是BC AD的中点，BACD的延长线分别交EF的延长线 G 耳求证：/ BGEM CHE证明：连结BD并取BD的中点为M连结ME MF ME是 BCD勺中位线,二 ME1CD -r MEFM CHE MF是 ABD中位线,二 MF, 一r MFEM BGE AB=CD- ME=M, / MEFM MFE从而/ BGEM CHE（二）、由中线应想到延长中线例3.图4,已知 ABC中, AB=5

18、 AC=3连BC上的中线AD=2求BC的长。 解：延长 AD至U E,使 DE=AD 贝U AE=2AD=2=4。在 ACD和 EBD中, AD=ED / ADCh EDB CD=BD ACDA EBD 二 AC=BE从而 BE=AC=3在 A ABE中,因 A+bE=42+32=25=aB,故/ E=90 ,-BD二匸L ；二子=,二匸故 BC=2BD=2。AD又是BC边上的中例4.如图5,已知 ABC中, AD是/BAC的平分线,线。求证： ABC是等腰三角形。证明：延长 AD到E,使DE=AD仿例3可证： BE医 CAD故 EB=ACZ E=Z2,又/仁/2,/ 仁/ E, AB=EB从

19、而AB=AC 即卩 ABC是等腰三角形（三）、直角三角形斜边中线的性质例 5.如图 6 ,已知梯形 ABCD中 , AB/DC , AC丄BC, ADLBD,求证：AC=BD 证明：取 AB的中点E,连结DE CE贝U DE CE分别为Rt ABD Rt ABC 斜边AB上的中线,故 DE=CE=AB,因此/ CDEM DCEL_ AB/DC ,/ CDEM 1, / DCEN 2 ,/ 仁/2 ,在 ADE和 BCE中 ,v DE=CE / 仁/ 2 , AE=BE ADEA BCE二AD=BC从而梯形 ABCD是等腰梯形,因此 AC=BD（四）、角平分线且垂直一线段，应想到等腰三角形的中线

20、例6.如图7 , ABC是等腰直角三角形,/ BAC=90 , BD平分/ ABC交AC于点D, CE垂直于BD交BD的延长线于点E。求证：BD=2CE证明：延长BA CE交于点F,在 BEF和 BEC中 ,v/ 仁/ 2 , BE=BE / BEF=/ BEC=90 , BEF BEC 二 EF=EC 从而 CF=2CE又/ 1+Z F=Z 3+Z F=90,故/ 仁/3。在 ABD和 ACF中，I / 仁/ 3, AB=AC / BAD2 CAF=90, ABD A ACF 二 BD=CF 二 BD=2CE注：此例中BE是等腰A BCF的底边CF的中线。（五）中线延长口诀：三角形中有中线，

21、延长中线等中线。题目中如果出现了三角形的中线，常延长加倍此线段，再将端点连结，便可 得到全等三角形。AB E C1 如图，AB=CD E为 BC的中点，/ BAC/ BCA 求证：AD=2AE19#ADA3 如图，AB=ACAD=AEM为 BE中点，/ BAC/ DAE=90。求证：AML DC5.已知：如图ABC的中线，AE=EF求证：BF=AC五全等三角形辅助线（一）、倍长中线（线段）造全等1:（“希望杯”试题）已知，如图ABC中，AB=5, AC=3贝忡线AD的取值范围是20#2:如图， ABC中, E、F分别在AB AC上, DEIDF, D是中点，试比较 BE+CF与 EF的大小.#

22、3:如图， ABC中, BD=DC=ACE是DC的中点，求证：AD平分/ BAE.#中考应用例题：以BC的两边ABAC为腰分别向外作等腰Rt ABD和等腰Rt丄ACE，NBAD =CAE =90：连接DE, M N分别是BC DE的中点.探究：AM与 DE的位置关系及数量关系.（1）如图 当BC为直角三角形时，AM与 DE的位置关系是?线段AM与DE的数量关系是（2）将图中的等腰RtBD绕点A沿逆时针方向旋转二（090）后,如图所示，（1）问中得到的两个结论是否发生改变？并说明理由.22#（二）、截长补短1. 如图，AABC 中，AB=2AC AD平分 NBAC ,且 AD=BD 求证：CDA

23、C2:如图,BDCAC/ BD,#T 0 03:如图，已知在ABC 内，N BAC=60 , Z C=40 , p, Q 分别在 BC, CA上，并且AP, BQ分别是 BAC ,ABC的角平分线。求证：BBQ+AQCQ=AB+BP#4:如图，在四边形 ABCD中，BC BA,AD= CD BD平分NABC，求证:如图、在四边 ABCD中tAb/BC,点E是朋 上一个动虑.若zL/f = 60%4B = ZJCt flZ DEC = 60 T n断40 + AE !扌BC的关系并ffi朋你的结论. 解:；（三）、借助角平分线造全等1:如图，已知在厶 ABC中，/ B=60, ABC的角平分线

24、AD,CE相交于点 O,求证：OE=OD2: （06郑州市中考题）如图， ABC中, AD平分/ BAC DGL BC且平分 BC, DEI AB于 E，DF丄 AC于 F.(1)说明 BE=CF的理由；（2）如果 AB=a，AC=b，求 AE、BE的长.D233. 如图，OP是/ MON勺平分线，请你利用该图形画一对以 0P所在直线为 对称轴的全等三角形。请你参考这个作全等三角形的方法，解答下列问题：(1)如图，在 ABC中，/ ACB是直角，/ B=60, AD CE分别是/ BAC / BCA的平分线，AD CE相交于点F。请你判断并写出FE与FD之间的数量关系；(2)如图，在 ABC中

25、,如果/ ACB不是直角，而 中的其它条件不变, 请问，你在(1)中所得结论是否仍然成立？若成立，请证明；理由。A24#(四) 、旋转1:正方形ABCD中,E为BC上的一点,F为CD上的一点,BE+DF=EF 求/ EAF的度数.#2: D为等腰RtBC斜边ab的中点，DML DN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。(1)(2)3.如图,#BDC胡2。0，以d为顶点做一个60角，使其两边分别交AB于点M,交AC于点N,连接MN则UMN的周长为AC/o4 .已知四边形 ABCD 中，AB_AD , BC CD , AB = BC , / ABC =120 , / MBN =60 , / MB

26、N绕B点旋转，它的两边分别交 AD, DC （或它们的延长 线）于E，F .当/ MBN绕B点旋转到AE=CF时（如图1）,易证AE+CF = EF .当/ MBN绕B点旋转到AE =CF时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段AE，CF，EF又有怎样的25#数量关系？请写出你的猜想，不需证明.（图1）（图2）（图3）#ABCD使 P、D两点落在直线AB5.已知:PA= 2 ,PB=4,以AB为一边作正方形的两侧.（1）如图,当/ APB=45时,求AB及PD的长;当/ APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应/ APB的大小.7?6.在等

27、边 ABC的两边AB AC所在直线上分别有两点 M N, D为丁 ABC外一点，且 MDN =60 , . BDC 20 ,BD=DC.探究：当M N分别在直线AB AC上移动时，BM NC MN之间的数量关系及 AMN的周长Q与等边 ABC的周长L的关系.图1图2(I )如图1,当点 M N边AB AC上，且DM=D时，BM NC MN之间的数量关系是；此时：；L (II )如图2,点M N边AB AC上，且当DM- DN时，猜想(I )问的两个 结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；(III )如图3,当M N分别在边AB CA的延长线上时,若AN=x，则Q= (用x、L表示).26梯形中

28、的辅助线1、平移一腰:例1.如图所示，在直角梯形 ABCD中，/ A= 90, AB/ DC； AD= 15, A吐16, BO 17.求 CD的长.解：过点D作DE/ BC交AB于点E.又AB/CD所以四边形BCDE!平行四边形.所以 DE= BO 17, CD= BE.在Rt DAE中，由勾股定理，得aE= dE-aD,即卩 aU= 172- 152= 64.所以AE= 8.所以 BE= AB-AE= 16-8 = 8.即 CD= 8.例2如图，梯形ABCD勺上底AB=3下底CD=8腰AD=4求另一腰BC的取值范围解：过点B作BM/AD交CD于点在厶 BCM中, BM=AD=,4A BCM

29、=C- DM=C- AB=8- 3=5,所以BC的取值范围是：5-4BC屏 4, 即 卩 1BC92、平移两腰：例 3 如图，在梯形 ABCD中, AD/BC,/ B+Z C=90 , AD=1 BC=3 E、F分别是AD BC的中点，连接EF,求EF的长。A E D解：过点E分别作AB CD的平行线，交BC于点G H,可得2728/ EGH-Z EHGM B+Z C=90则厶EGH是直角三角形因为E、F分别是AD BC的中点，容易证得F是GH的中点11所以 EF GH (BC - BG - CH )2211(BC -AE - DE) BC -(AE DE)2211(BC - AD)(3 -1

30、) =1223、平移对角线：例 4、已知：梯形 ABC冲，AD/BC，AD=1 BC=4 BD=3 AC=4 求梯形 ABCD的面积.解：如图，作DE/ AC,交BC的延长线于E点. AD/ BC 二四边形ACED是平行四边形 BE=BC+CE=BC+AD=4+1=E5E=AC=4在 DBE中, BD=3, DE=4 BE=5Z BDE=90 .作 DHL BC于 H,贝U DHBD ED _ 12BE - 5S梯形ABCD(AD BC) DH2例5如图，在等腰梯形 ABCD中, AD/BC，AD=3 BC=7 BD=52，求证:CL BDD解：过点C作BD的平行线交AD的延长线于点E,易得四

31、边形BCED是平行四边形，贝U DE=BC CE=BD=2 ,所以 AE=A+ DE=A+ BC=3 7=10。在等腰梯形ABCD中，AC=BD= -2 ,所以在 ACE中, AC $ +CE $ = (5j2)2 + (512)2 二。= ae ?,从而ACL CE于是ACL BD例 6 如图，在梯形 ABCD中, AD/BC, AC=15crp BD=20cm 高 DH=12cm 求梯形ABC的面积。解：过点D作DE/AC,交BC的延长线于点E，则四边形ACED是平行四边形，即 S.abd =S ACD =S.QCE 。所以S 梯形ABCD =S D BE由勾股定理得EHDE2 - DH

32、2 = AC2 - DH 2h；15? -讶=9（cm）BH = . BD2 -DH 2 二、202 -122 = 16(cm)1 1 2SDBE BE DH (9 - 16) 12=150(cm2)所以22，即梯形ABCD勺面积是2150cm。（二）、延长即延长两腰相交于一点，可使梯形转化为三角形。例 7 女口图，在梯形 ABCD中, AD/BC,/ B=50,Z C=80 , AD=2 BC=5求CD的长。解：延长BA CD交于点E。在厶 BCE中, Z B=50，/ C=80。所以/ E=50,从而 BC=EC=5同理可得AD=ED=2所以 CD=EGED=5- 2=3例8.如图所示，四

33、边形 ABCD中, AD不平行于BC，AO BD, AD= BC.判断四边形ABCD勺形状，并证明你的结论.解：四边形ABCD1等腰梯形.证明：延长AD BC相交于点E,如图所示. AO BD AD= BC，A吐 BA DABA CBA.Z DAB=Z CBA. EA= EB.又 AD= BC， DE= CE Z EDC=Z ECD.而Z E+Z EABZ EBA=Z E+Z EDCbZ ECD= 180 Z EDC=Z EAB - DC/ AB.nctt-r又AD不平行于BC四边形ABCD是等腰梯形（三）、作对角线即通过作对角线，使梯形转化为三角形。例9女口图6,在直角梯形 ABC冲，AD/

34、BC，AB丄AD, BC=CD BE! CD于点E， 求证：AD=DE解：连结BD由 AD/BC，得Z ADBZ DBE由 BC=CD 得/ DBCM BDC所以/ ADB BDE又/ BAD DEB=90 , BD=BD 所以 Rt BA医 Rt BED 得 AD=DE（四）、作梯形的高1、作一条高例10女口图，在直角梯形 ABC冲，AB/DC, ABC=90 , AB=2DC对角线AC丄BD,垂足为F,过点F作EF/AB，交AD于点E,求证：四边形 ABFE是等腰 梯形。31#证：过点D作DGL AB于点G,则易知四边形DGB（是矩形，所以DC=BG因为AB=2DC所以AG=GB从而 DA

35、=DB 于是DAB DBA又EF/AB,所以四边形ABFE是等腰梯形。2、作两条高例 11、在等腰梯形 ABCD中, AD/BC, AB=CD ABC=60 , AD=3crp BC=5c求： 腰AB的长； 梯形ABCD勺面积.解:作 AEBC于 E, DFL BC于 F,又；AD/ BC,四边形 AEFD是矩形， EF=AD=3cm AB=DC1BE =FC (BC - EF) =1cm2在 Rt ABE中，B=60 , BE=1cm# AB=2BE=2cm AE = 3BE 二 BDG勺中位线1从而 EF/BG，且 EF BG因为 AD/BG, BG =BC _CG =BC AD1 所以

36、EF/AD, EF (BC - AD)23、在梯形中出现一腰上的中点时，过这点构造出两个全等的三角形达到解题的目的。例15、在梯形 ABCD中, AD/ BC / BAD=90, E是DC上的中点，连接 AE 和 BE 求/ AEB=N CBELa解：分别延长AE与BC，并交于F点vZ BAD=90且 AD/ BC/ FBA=180-Z BAD=90又 v AD/ BCZ DAEZ F（两直线平行内错角相等）Z AEDZ FEC（对顶角相等）DE=EC（E点是CD的中点） ADEA FCE （AAS AE=FE在厶 ABF中 Z FBA=90 且 AE=FEBE=FE (直角三角形斜边上的中线

37、等于斜边的一半) 心 FEB中 Z EBFZ FEBZ AEBZ EBF+ Z FEB=2/ CBE例16、已知：如图，在梯形ABC冲，AD/BC, AB丄BC, E是CD中点，试问:线段AE和BE之间有怎样的大小关系？F解：AE=BE理由如下：延长AE,与BC延长线交于点F.v DE=CEZ AEDZ CEFZ DAEZ F ADEA FCE AE=EFv AB丄 BC, BE=AE例17、已知：梯形 ABCD中，AD/BC, E为DC中点，EF丄AB于F点，AB=3cm EF=5cm求梯形ABCD勺面积.解：如图,过E点作MN/ AB分别交AD的延长线于M点，交BC于N点.35#v DE=

38、EC AD/ BC四边形ABNMH平行四边形v EF丄 AB2S梯形 abc=Sabn=ABX EF=15cm【模拟试题】（答题时间：40分钟）2.如图所示，已知等腰梯形ABCDKAD/ BC ZB= 60，AD= 2, BO8,#则此等腰梯形的周长为（A. 19B. 20C. 21D. 22C#*8.如图所示，梯形 ABCD中 AD/ BC （1）若E是AB的中点，且AM BC=CD则DE与CE有何位置关系？（ 2） E是/ ADC与Z BCD勺角平分线的交点，则DE与CE有何位置关系？A圆中作辅助线的常用方法：例题1:如图2,在圆0中，B为川的中点，BD为AB的延长线，/ OAB=50求/

39、 CBD勺度数。解：如图，连结OB 0C的圆0的半径, B是弧AC的中点弧 AB= BC AB=BC又 OA=OB=OC AOBA BOC( S.S.S ) / OBCM ABO=50vZ ABOM OBCM CBD=180 M CBD=180- 50 0- 50 Z CBD=80答：Z CBD勺度数是800.例题2:如图3,在圆O中,弦AB CD相交于点P，求证：Z APD的度数=-（弧AD+弧 BC的度数。2证明：连接AC,则Z DPAZ C+Z A Z C的度数=-弧AD的度数2Z A的度数=-弧BC的度数2 Z APD（弧 AD-弧 BC 的度数。2、造直角三角形法1构成Rt ,常连接

40、半径例1.过O O内一点M ,最长弦AB = 26cm,最短弦CD = 10cm ,求AM 长；2遇有直径，常作直径上的圆周角例2. AB是O O的直径,AC切O O于A,CB交O O于D,过D作O O的 切线,交AC于 E.求证：CE = AE;3. 遇有切线，常作过切点的半径例 3 .割线 AB 交O O于 C D,且 AC=BD,AE切O O于 E,BF 切O O于 F. 求证:Z OAE = Z OBF;DA 0 B,另一直角边为公切线4. 遇有公切线，常构造Rt （斜边长为圆心距，一直角边为两半径的差长)例4 .小O O与大O O2外切于点A,外公切线BC DE分别和O O、O Q切

41、于点B、C和D E, 并相交于P,/ P = 60 。求证：O 0与O Q的半径之比为1 : 3 ；5. 正多边形相关计算常构造Rt 例5. O 0的半径为6,求其内接正方形ABCD与内接正六边形AEFCGH勺公共部分的面积二、欲用垂径定理常作弦的垂线段 例 6. AB 是O 0 的直径,CD 是弦,AE 丄 CD于 E,BF 丄 CD于 F.(1)求证:EC = DF; 若AE = 2,CD=BF=6,求O O的面积；三、转换割线与弦相交的角，常构成圆的内接四边形 例7. AB是O O直径，弦CDL AB,M是AC上一点,AM延长线交DC延长线于F. 求证：/ F = / ACM;1已知过圆上的点，常 例8.如图，已知：OO 于A,交OO 2于C,过点四、切线的综合运用1与OO2外切于P, AC是过P点的割线交OOO的直线 AB丄BC于B.求证：BC与OO2相切.六、开放性题目例17.已知：如图，以 ABC的边AB为直径的 O交边AC于点D，且过点D的切线DE平分边BC .(1) BC与丁 O是否相切？请说明理由；(2 )当厶ABC满足什么条件时，以点 O , B , E , D为顶点的四边形是平行四边形？并38说明理由.#