传统考点(中值定理)

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1、微分中值定理证明中辅助函数的构造摘要： 本文总结了证明微分中值命题时常用的六种构造辅助函数的方法，并给出了具体的应用.关键词： 辅助函数；原函数；不定积分；罗尔定理利用微分中值定理解决问题时，通常需要构造一个辅助函数， 由这个辅助函数满足某个中值定理的条件而得到要证明的结论，而构造性方法是高等数学中一个重要的分析技巧，这往往成为解题的难点所在 本文主要介绍证明微分中值命题时常用的六种构造辅助函数的方法1 原函数法此法是将结论变形并向罗尔定理的结论靠拢，凑出适当的原函数作为辅助函数，主要思想分为四点： (1)将要证的结论中的 换成 x ；(2)通过恒等变形将结论化为易消除导数符号的形式； (3)

2、用观察法或积分法求出原函数（等式中不含导数符号） ，并取积分常数为零； (4)移项使等式一边为零，另一边即为所求辅助函数 F ( x) 例 1：证明柯西中值定理分 析 ： 在 柯 西 中 值 定 理 的 结 论 f (b)f ( a)f () 中 令x ， 得g (b)g(a)g ()f ( b)f ( a)f ( x )f ( b)f ( a)再两边同时积分得，先变形为g ( x ) fg( b)g( a)g ( x )g ( b) (x )g( a)f ( b)f ( a)f ( x)C，令C0 ， 有f ( b)f ( a)g( b)g( x)f ( x)g ( x)故 0g( a)g(

3、 b)g( a)F ( x)f (x)f (b)f ( a)g ( x) 为所求辅助函数g (b)g (a)例2：若 a0 , a1 , a2 , , an 是使得 a0a1a2an0的实数证明方程23n1a0 a1xa2 x2an xn0 在（ 0，1）内至少有一实根【第1页共8页】证：由于 (a0 a1x a2 x2an xn )dx a0 xa1 x2a2 x3anxn 1C23n1并且这一积分结果与题设条件和要证明的结论有联系，所以设F ( x) a0 xa1 x2a2 x3anxn 1 （取 C0 ），则23n11） F (x) 在0，1 上连续2） F (x) 在（ 0，1）内可导

4、3） F (0)=0， F (1)a0a1a2an023n 1故 F (x) 满 足 罗 尔 定 理 的 条 件 ， 由 罗 尔 定 理 ， 存在(0,1)使F( )0 ，即a12a2x3anxn 12ann0(a0 xx3n 1) x0 亦即 a0 a1 a22这说明方程 a0a1 xa2 x2an xn0 在（ 0， 1）内至少有实根x2 积分法对一些不易凑出原函数的问题， 可用积分法找相应的辅助函数例 3：设 f ( x) 在1 ，2上连续，在（ 1， 2）内可导， f (1)1 ， f (2) 2 证明存2在(1,2) 使 f ( )2 f ( ) 分析：结论变形为f ( ) 2 f

5、( )0，不易凑成( )0 我们将换为 x ，F x x结论变形为 f (x)20 ，积分得： lnf ( x)2lnx lnf ( x)ln c ，即 f ( x)c ，从而f ( x)xx2x2可设辅助函数为f ( x)1x2 ，有 F (1)F (2)2本题获证F ( x)例 4：设函数 f ( x) ， g( x) 在 a,b 上连续，在 ( a, b) 内可微， f (a) f (b)0 证明存在(a,b) ，使得： f ( ) f ( ) g ( )0 【第2页共7页】证：将 f ( )f ()g ( ) 0 变形为 f ()f ( ) g ()f ()g ( ) ，将 换f ()

6、为 x， 则f x ()，) 两 边 关 于 x积分，得：f (x)g x (f (x)g ( dx)1d f (x ) dg x ( ) f lxn (g )x， 所 以f (x)dxf ( x)C ( )f ( x)ex( p( g ) x)C ex p ( gx( K e x pC g(x，(其 中 Ke x pC( ，) 由f ( x)K e x( p可得f (x)exp( g (x)由上面积分的推导可知，f (x)exp( g( x)(g ) x K为一常数 K ，故其导数必为零，从整个变形过程知，满足这样结论的的存在是不成问题的因而令 F ( x)f (x)exp( g( x) ，

7、易验证其满足罗尔定理的条件，原题得证3 几何直观法此法是通过几何图形考查两函数在区间端点处函数值的关系， 从而建立适当的辅助函数例 5：证明拉格朗日中值定理分析：通过弦AB 两个端点的直线方程为y f (a)f (b)f (a) ( x a) ，则函数 f ( x) 与ba直线AB的方程之差即函数F ( x) f (x) f (a)f (b)f ( a) ( x a) 在 两ba个端点处的函数值均为零，从而满足罗尔定理的条件故上式即为要做辅助函数例 6：若 f ( x) 在 a,b 上连续且 f (a)a, f (b)b 试证在 (a, b) 内至少有一点，使 f ( )分析：由图可看出，此题

8、的几何意义是说，连续函数yf ( x) 的图形曲线必跨越yx 这一条直线，而两者的交点的横坐标，恰满足 f ( )进而还可由图知道，【第3页共7页】对 a, b 上的同一自变量值 x ，这两条曲线纵坐标之差 f ( x) x 构 成 一个 新 的 函 数 g( x) ， 它 满 足g(a) 0,因而符合介值定理的条件当为g(x) 的一个零点时， g ( )0 恰等价于f ()因此即知证明的关键是构造辅助函数g( x)f (x)x 4 常数 k 值法此方法构造辅助函数的步骤分为以下四点：1）将结论变形，使常数部分分离出来并令为k 2）恒等变形使等式一端为a 及 f (a) 构成的代数式，另一端为

9、b 及 f (b) 构成的代数式3）观察分析关于端点的表达式是否为对称式若是，则把其中一个端点设为x ，相应的函数值改为f (x) 4）端点换变量 x 的表达式即为辅助函数 F (x) 例 7：设f ( x)在a, b上连续，在(a, b)内可导，试证存在一点(a, b)，(0 a b)使等式()() ln af()成立f bf abf (b) f (a)f ( b)f ( a)分析：将结论变形为f ( ) ， 令 klan， 则 有ln b ln al nbf ( b)k ln bf ( a)k，l令nabx ，可得辅助函数 F ( x)f ( x) k ln x 例 8：设f在上存 在，在

10、 ac b，试证明存在(a ,b )， 使得(x ) a,bf ( a)f ( b)f ( c)1( ab) (ac)(b a) (bc)(c a) (cb)f ()2分析：令f (a)f (b)f (c)于是有b)(ac)(ba) (bk，(ac)(ca)(cb)(bc) f ( a)(ab) f ( c)(ca) f ( b，)上式k为关a于 a b，b ，ac 三点c bc【第4页共7页】的 轮 换 对 称 式 ， 令 bx （ or ： cx ， or ： ax ）， 则 得 辅 助 函 数F ( x)(xc) f (a)(ax) f (c)(ca) f ( x)k(ax)(ac)(

11、xc) 5 分析法分析法又叫倒推法， 就是从欲证的结论出发借助于逻辑关系导出已知的条件和结论例 9：设函数 F ( x) 在0， 1上连续，在（ 0，1）内可导，证明在（ 0，1）内存在一点 C ，使得 F (1) F (0)(e1 ce c ) F (C ) 分析：所要证的结论可变形为：F (1)F (0)(e1 ce c )F (c)e c1 F (c) ，即F (1)F (0) F (c )ex，则对 F ( x) 与 G (x) 在0，1上应用柯e1ec，因此可构造函数 G ( x)e西中值定理即可得到证明例 10：设函数 f ( x) 在 0,1 上连续，在（0，1）内可导，且 f

12、(0) =0，对任意 x (0,1)有 f ( x)0 证明存在一点(0,1)使 nf ()f (1) （ n 为自然数）成立f ()f (1)分析：欲证其成立，只需证 nf ( ) f (1)f (1) f ()0 由于对任意 x(0,1) 有f (x)0，故只需证：n( f( n 1 )f)f( f )(f1n)即(1)( f (x) n f (1x) x0 ，于是引入辅助函数F (x)( f (x)n f (1x)（ n 为自然数）例11 ： 设函 数 f ( x) 在 区 间 0 ， +上 可导 ，且 有 n 个不 同零 点：0x1x2xn 试证 af ( x)f (x) 在0，+ 内

13、至少有 n1个不同零点（其中，a 为任意实数）证明：欲证af ( x)f ( x)在 0 ， +）内至少有n1 个不同零点，只需证方程af ( x)f ( x)=0 在0，+ 内至少有 n1个不同实根因为， x0,+) ，eax0 ，故只需证方程 eax af ( x)f ( x)0 在 0,+) 内至少有n1个不同实根【第5页共7页】引入辅助函数F ( x)eax f (x) ，易验证 F (x) 在区间 x1 , x2 ， x2 , x3 ， ， xn 1 , xn 上满 足罗 尔定 理的 条件 ，所 以， 分别 在这 n1 个区 间上 应用 罗尔 定理 ，得F( 1)F ( 2 )F (

14、 n 1)0 ， 其 中 1 ( x 1, x 2 ) , 2x( 2 x, 3 n) ,1n x (n 且x , )0 12n 1以上说明方程 F ( x) 0在 x1, x2 x2 , x3 xn1 , xn 0， + 内至少有个不同实根，从而证明了方程af (x)f ( x)=0 在0，+ 内至少有个不同实n 1n 1根6 待定系数法在用待定系数法时，一般选取所证等式中含的部分为 M ，再将等式中一个端点的值 b 换成变量 x ，使其成为函数关系，等式两端做差构造辅助函数(x) ，这样首先可以保证(b) =0，而由等式关系 (a) =0 自然满足，从而保证 (x) 满足罗尔定理条件，再应

15、用罗尔定理最终得到待定常数M 与 f () 之间的关系例12 ： 设 f (x) 是 a,b 上 的 正 值 可 微 函 数 ， 试 证 存 在( a,b) ， 使f ( b)f ()l nf(b( a )f (a )证明：设 lnf (b)M (b a) ，令 ( x)ln f ( x)M ( x a) 容易验证 ( x) 在 a, b 上f (a)f (a)满足罗尔定理条件，由罗尔定理，存在(a, b) 使 ( ) 0 ，解得 Mf ( ) ，故f ( )ln f ( b)f() (b a )f (a)f()例 13：设函数 f ( x) 在 a,b 上连续，在 (a, b) 内可导，则在

16、 (a,b) 内至少存在一点使 2 f (b) f (a) (b2a2 ) f ( ) 证明：将所证等式看作 f (b) f (a)(b2a2 )f ( ) ，设 f (b) f ( a)M (b2a2 ) ，2【第6页共7页】令 ( x)f (x) f (a)M(x2a2 ) ，则( x) 满足罗尔定理条件，由罗尔定理得，存在一点(a,b) ，使 () 0，即 f () 2M ，若=0，则 f () 0，结论成立；若0 ，则 Mf ( ) ，从而有 2 f (b) f (a)f ( )(b2a2 ) 2例 14：设 0 x1x2，则存在( x1 , x2 ) 使 x1ex2x2ex1e (1

17、 )( x1 x2 ) 分析：对于此题设 x1ex2x2ex1M ( x1x2 ) 作函数( x)x1exxex1M ( x1x) 应用罗尔定理可得存在xe ex10M ex1x e(x1, x2 ) ，使 () 0M，从而，即 11这样并不能证明原结论， 遇到这种情况， 说明所作的辅助函数不合适， 则需要将所证明的等式变形，重新构造辅助函数证明：将所证等式变形为ex2ex1e (1)(11) ，设 ex2ex1M ( 11 ) ，x2x1x2x1x2x1x2x1令( x)exex1M (11) ，则( x) 满足罗尔定理条件，用罗尔定理可得存在xx1xx1(x1, x2 ) ， 使 ()，0ee10，于是M( 1 e)即2M2， 故x1ex2x2 ex1e (1)( x1x2 ) 总之，证明微分中值命题的技巧在于：一是要仔细观察，适当变换待证式子；二是要认真分析，巧妙构造辅助函数抓住这两点，即可顺利完成证明【第7页共7页】