113导数的几何意义

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1、1.1.3 导 数 的 几 何 意 义 1.平 均 变 化 率函 数 y=f(x)从 x1到 x2平 均 变 化 率 为 :2.平 均 变 化 率 的 几 何 意 义 ： O A B xy y=f(x)x1 x2f(x1)f(x2) x2-x1= xf(x2)-f(x1)= y12 1) ( )x f xx x2f(yk x 12 1) ( )x f xx x2f(yx 割 线 的 斜 率 3.导 数 的 概 念函 数 y = f (x) 在 x = x0 处 的 瞬 时 变 化 率 0 0 00 ( ) ( ) ( ) lim x f x x f xf x x 称 为 函 数 y = f (

2、x) 在 x = x0 处 的 导 数 , 记 作或 , 即0| x xy 0( )f x 4.求 函 数 y=f(x)在 x=x0处 的 导 数 的 一 般 步 骤 是 :0 01( ) ( ) ( ); y f x x f x求 函 数 的 增 量 0 02 ( ) ( )( ) ; 求 平 均 变 化 率 f x x f xyx x 0 03( ) ( ) lim . 取 极 限 ， 得 导 数 x yf x x 1.根 据 导 数 的 几 何 意 义 描 述 实 际 问 题 .2.求 曲 线 上 某 点 处 的 切 线 方 程 .（ 重 点 ）3.导 函 数 的 概 念 及 对 导 数

3、 的 几 何 意 义 的 理 解 . （ 难 点 ） 平 面 几 何 中 我 们 是 怎 样 判 断 直 线 是 否 是圆 的 割 线 或 切 线 的 呢 ？探 究 点 1 切 线切 线 割 线 如 图 直 线 l1是 曲 线 C的 切 线 吗 ? l2呢 ? l2 l1 A B0 xyl 1不 是 曲 线 C的 切 线 ， l2是 曲 线 C的 切 线 . 观 察 图 形 你 能 得 到 什 么 结 论 ？切 线 的 定 义 ： 当 点 沿 着 曲 线 趋 近 于 点 ， 即 时 ， 割 线趋 近 于 一 个 确 定 的 位 置 ，这 个 确 定 位 置 的 直 线 PT称 为 点 P处 的

4、 切 线 .nPP 0 x nPP注 ： 曲 线 的 切 线 ,并 不 一 定 与 曲 线 只 有 一 个 交 点 , 可 以 有 多 个 ,甚 至 可 以 有 无 穷 多 个 . xyo y=f(x) 在 上 面 的 研 究 过 程 中 ， 某 点 的 割 线 斜 率 和 切 线斜 率 与 某 点 附 近 的 平 均 变 化 率 和 某 点 的 瞬 时 变 化 率有 何 联 系 ？平 均 变 化 率 割 线 的 斜 率 瞬 时 变 化 率 （ 导 数 ）切 线 的 斜 率0 x 0 x 探 究 点 2 导 数 的 几 何 意 义 函 数 在 处 的 导 数 就 是 曲 线在 点 (x0,f(

5、x0)处 的 切 线 的 斜 率 ， 即 ：( )y f x 0 x x k 0 0 00 ( )lim ( )x f x x f xk f xx 曲 线 在 点 (x0,f(x0)处 的 切 线 的 方 程 为 ： 0 0 0( ) ( )( ).y f x f x x x 导 数 的 几 何 意 义 例 1 求 曲 线 y=f(x)=x2+1在 点 P(1,2)处 的 切 线 方 程 .QPy=x2+1 xy -1 11O j Myx因 此 ,切 线 方 程 为 y-2=2(x-1),即 y=2x. 0 00 20 20 1 1 1 12 2( ) ( )lim ( ) ( )lim (

6、)lim . x xxf x x f xk xx xx xx解 ： 【 总 结 提 升 】求 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 方 程 的 基 本 步 骤 : 求 出 切 点 P的 坐 标 ； 求 切 线 的 斜 率 ， 即 函 数 y=f(x)在 x=x0处 的导 数 ； 利 用 点 斜 式 求 切 线 方 程 . 例 2 如 图 , 它 表 示 跳 水 运 动 中 高 度 随 时 间 变 化 的 函 数105.69.4)( 2 ttth 的 图 象 . 根 据 图 象 , 请 描 述 、比 较 曲 线 在 附 近 的 变 化 情 况 .)(th 210 , ttt toh t0 t1 t

7、2l0 l1l2t4t3 解 :可 用 曲 线 h(t) 在 t0 , t1 , t2处 的 切 线 刻 画 曲 线 h(t)在 上 述 三个 时 刻 附 近 的 变 化 情 况 .(1)当 t = t0时 , 曲 线 h(t) 在 t0 处 的 切 线 l0 平 行 于 t 轴 .故 在 t = t0 附 近 曲 线 比 较 平 坦 , 几 乎 没 有 升 降 . toh l0t0 t1 l1t2 l 2t4t3(2)当 t = t1 时 , 曲 线 h(t) 在 t1 处 的 切 线 l1 的 斜 率 h (t1) 0 .故 在 t = t1 附 近 曲 线 下 降 ,即函 数 h(t)

8、在 t = t1 附 近 单 调 递 减 . toh l0t0 t1 l1t2 l2t4t3 从 图 可 以 看 出 ， 直 线 l1 的 倾 斜 程 度 小 于 直 线 l2 的 倾 斜 程 度 ， 这 说 明 曲 线 h(t) 在 t1 附 近 比 在 t2 附近 下 降 得 缓 慢 .(3)当 t = t2 时 , 曲 线 h(t) 在 t2处 的 切 线 l2 的 斜 率 h (t2) 0 .故 在 t = t2 附 近 曲 线 下降 ,即 函 数 h(t) 在 t = t2 附近 也 单 调 递 减 . 【 总 结 提 升 】通 过 观 察 跳 水 问 题 中 导 数 的 变 化 情

9、 况 ,你 得 到 了 哪些 结 论 ?(1)以 直 代 曲 ： 大 多 数 函 数 就 一 小 段 范 围 看 ， 大 致可 以 看 作 直 线 ， 某 点 附 近 的 曲 线 可 以 用 过 该 点 的切 线 近 似 代 替 ；(2)函 数 的 单 调 性 与 其 导 函 数 正 负 的 关 系 ；(3)曲 线 的 变 化 快 慢 及 切 线 的 倾 斜 角 的 内 在 联 系 . 例 3 如 图 表 示 人 体 血 管 中 的 药 物 浓 度 c=f(t)（ 单 位 ：mg/ml） 随 时 间 t（ 单 位 ： min） 变 化 的 函 数 图 象 ， 根据 图 象 ， 估 计 t=0.

10、2,0.4,0.6,0.8 min时 ， 血 管 中 药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率 ， 把 数 据 用 表 格 的 形 式 列 出 。(精 确 到 0.1) 解 ： 血 管 中 某 一 时 刻 药 物 浓 度 的 瞬 时 变 化 率 ,就 是药 物 浓 度 函 数 f(t)在 此 时 刻 的 导 数 , （ 数 形 结 合 ，以 直 代 曲 ） 从 图 象 上 看 ,它 表 示 曲 线 在 该 点 处 的 切线 的 斜 率 . 下 表 给 出 了 药 物 浓 度 瞬 时 变 化 率 的 估 计 值 ， 验 证 一 下 ，这 些 值 是 否 正 确 . t 0.2 0.4 0.6 0.

11、8药 物 浓 度 的瞬 时 变 化 率f (t) 0 4.10.4 -0.7 00 0 0 , , ., , ,(derivativefunction)( )., lim . x f x x xx x f xx f x xf xy f x f x x f xy f x y x 从 求 函 数 在 处 导 数 的 过 程 可 以看 到 当 时 是 一 个 确 定 的 数 这样 当 变 化 时 便 是 的 一 个 函 数 我们 称 它 为 的简 称 的 导 函 数 有 时 也 记 作即 导 函 数导 数 一 、 选 择 题1.曲 线 y 2x2 1在 点 (0,1)处 的 切 线 的 斜 率是 (

12、 )A 4 B 0C 4 D 不 存 在B 2 曲 线 y 12x2 2 在 点 (1， 32)处 切 线 的 倾 斜 角 为 ( ) A 1 B.4 C.54 D 4 B 3 若 曲 线 y h(x)在 点 P(a， h(a)处 的 切 线 方 程为 2x y 1 0， 那 么 ( )A h (a) 0 B h (a)0 D h (a)不 确 定B 4.曲 线 y x3在 点 P处 的 切 线 斜 率 为 3， 则 点 P的 坐标 为 ( )A.( 2， 8) B.(1,1)， ( 1， 1)C.( 2 , 8) D.B 1 12 8（ - ， - ） 二 、 填 空 题 5 已 知 曲 线

13、 y 1x 1 上 两 点 A(2， 12)， B(2 x， 12 y)， 当 x 1 时 ， 割 线 AB 的 斜 率 为 _ 16- 6 P 是 抛 物 线 y x2上 一 点 ， 若 过 点 P 的 切 线 与 直 线y 12x 1 垂 直 ， 则 过 点 P 的 切 线 方 程 为 _ y 2x 1 2.函 数 在 处 的 导 数 的 几 何 意 义 ，就 是 函 数 的 图 象 在 点 处 的 切 线 的 斜率 （ 数 形 结 合 ） )(xf 0 xx 0/ xf)(xf 0 0, ( )P x f x0 0 0 0/ ( ) ( )( ) lim x f x x f xf x x 切 线 的 斜 率 k 1.曲 线 的 切 线 定 义 4.导 函 数 (简 称 导 数 ) 0 ( ) ( )( ) limx f x x f xf x x 3.利 用 导 数 的 几 何 意 义 解 释 实 际 生 活 问 题 ， 体 会 “ 数 形 结 合 ” ， “ 以 直 代 曲 ” 的 数 学 思 想 方 法 . 以简单对象刻画复杂的对象 聪 明 在 于 勤 奋 ， 天 才 在 于 积 累 . 华 罗 庚