双曲线的定义及其标准方程

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1、双 曲 线 及 其 标 准 方 程 1. 椭 圆 的 定 义 和 等 于 常 数2a ( 2a|F1F2|0)的 点 的 轨 迹 .平 面 内 与 两 定 点 F1、 F2的 距 离 的 1F 2F 0,c 0,c XYO yxM ,2. 引 入 问 题 ： 差 等 于 常 数的 点 的 轨 迹 是 什 么 呢 ？平 面 内 与 两 定 点 F1、 F2的 距 离 的 复 习 |MF1|+|MF2|=2a( 2a|F1F2|0) 双 曲 线 在 生 活 中 . 两 个 定 点 F1、 F2双 曲 线 的 焦 点 ; |F1F2|=2c 焦 距 . 1 2a0 ；双 曲 线 定 义思 考 ： 1

2、 假 设 2a= |F1F2|,那 么 轨 迹 是 ？ 2 假 设 2a |F1F2|,那 么 轨 迹 是 ？说 明 3 假 设 2a=0,那 么 轨 迹 是 ？ | |MF1| - |MF2| | = 2a(1)两 条 射 线(2)不 表 示 任 何 轨 迹 如 何 建 立 适 当 的 直 角 坐 标 系 ？原 那 么 ： 尽 可 能 使 方 程 的 形 式 简 单 、 运 算 简 单 ； (一 般 利 用 对 称 轴 或 已 有 的 互 相 垂 直 的 线 段所 在 的 直 线 作 为 坐 标 轴 .) 探 讨 建 立 平 面 直 角 坐 标 系 的 方 案O xy O xy O xy方

3、案 一 O xy (对 称 、 “简 洁 )1F 2F M O xy方 案 二 F2F1 M xOy求曲线方程的步骤：双 曲 线 的 标 准 方 程1. 建 系 .以 F1,F2所 在 的 直 线 为 x轴 ， 线 段F1F2的 中 点 为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系2.设 点 设 M x , y ,那 么 F1(-c,0),F2(c,0)3.列 式 |MF1| - |MF2|=2a4.化 简 aycxycx 2)()( 2222 即 aycxycx 2)()( 2222 222222 )(2)( ycxaycx 222 )( ycxaacx )()( 22222222 acayaxa

4、c 222 bac )0,0(12222 babyax此即为焦点在x轴上的双曲线的标准方程 12222 byax 12222 bxayF2F1 M xOy OM F2F1 xy)00( ba ，假 设 建 系 时 ,焦 点 在 y轴 上 呢 ? 看 前的系数，哪一个为正，则在哪一个轴上22, yx 222 bac | |MF1|-|MF2| | =2a 2a0， b0， 但 a不 一 定 大 于 b， c2=a2+b2ab0， a2=b2+c2 |MF1| |MF2|=2a |MF1|+|MF2|=2a 椭 圆 双 曲 线F 0， c F 0， c2 22 2 1( 0)x y a ba b

5、2 22 2 1( 0)y x a ba b 2 22 2 1( 0, 0)x y a ba b 2 22 2 1( 0, 0)y x a ba b 1. 过 双 曲 线 的 焦 点 且 垂 直 x轴 的 弦 的 长 度 为 . 143 22 yx3382. y2-2x2=1的 焦 点 为 、 焦 距 是 .),( 260 6练 习 稳 固 :3.方 程 (2+)x2+(1+)y2=1表 示 双 曲 线 的 充 要 条件 是 . -2680m,所 以 爆 炸 点 的 轨 迹 是 以 A、 B为 焦 点 的 双 曲 线 在 靠 近 B处的 一 支 上 . 例 3.(课 本 第 54页 例 )A,

6、B两 地 相 距 800m,在 A地 听 到 炮 弹 爆炸 声 比 在 B地 晚 2s,且 声 速 为 340m/s,求 炮 弹 爆 炸 点 的 轨 迹 方程 .如 下 图 ， 建 立 直 角 坐 标 系 xOy,设 爆 炸 点 P的 坐 标 为 (x,y)，那 么 340 2 680PA PB 即 2a=680， a=340 800AB 800 680 0, 0PA PB x 1( 0)115600 44400 x y x 2 22 800, 400,c c xyo PBA因 此 炮 弹 爆 炸 点 的 轨 迹 方 程 为44400b c a 2 2 2 答 :再 增 设 一 个 观 测 点

7、 C， 利 用 B、 C 或 A、 C 两 处 测得 的 爆 炸 声 的 时 间 差 ， 可 以 求 出 另 一 个 双 曲 线 的 方 程 ，解 这 两 个 方 程 组 成 的 方 程 组 ， 就 能 确 定 爆 炸 点 的 准 确位 置 .这 是 双 曲 线 的 一 个 重 要 应 用 . 例 2:如 果 方 程 表 示 双曲 线 ， 求 m的 取 值 范 围 .2 2 12 1x ym m 解 : 2 2 12 1x ym m 思 考 ： 2 1m m 得 或(2 )( 1) 0m m 由 例 3 【 名 师 点 评 】 双 曲 线 的 定 义 是 解 决 与 双 曲 线 有 关 的 问

8、 题的 主 要 依 据 ， 在 应 用 时 ， 一 是 注 意 条 件 |PF1| |PF2|2a(02a|F1F2|)的 使 用 ， 二 是 注 意 与 三 角 形 知 识 相 结 合 ，经 常 利 用 正 、 余 弦 定 理 ， 同 时 要 注 意 整 体 运 算 思 想 的 应用 跟 踪 训 练 1 对 双 曲 线 定 义 的 理 解双 曲 线 定 义 中 |PF1| |PF2| 2a(2a|F1F2|)， 不 要 漏 了 绝对 值 符 号 ， 当 2a |F1F2|时 表 示 两 条 射 线 解 题 时 ， 也 要 注 意 “绝 对 值 这 一 个 条 件 ， 假 设 去 掉 定 义

9、中 的绝 对 值 那 么 轨 迹 仅 表 示 双 曲 线 的 一 支 2 双 曲 线 方 程 的 求 法求 双 曲 线 的 标 准 方 程 包 括 “定 位 和 “定 量 “定 位 是 指 除了 中 心 在 原 点 之 外 ， 判 断 焦 点 在 哪 个 坐 标 轴 上 ， 以 便 使 方 程的 右 边 为 1时 ， 确 定 方 程 的 左 边 哪 一 项 为 正 ， 哪 一 项 为 负 ，“定 量 是 指 确 定 a2， b2的 值 ， 即 根 据 条 件 列 出 关 于 a2和 b2的 方 程 组 ， 解 得 a2和 b2的 具 体 数 值 后 ， 再 按 位 置 特 征 写 出 标准 方

10、 程 精 彩 推 荐 典 例 展 示易 错 警 示 双 曲 线 定 义 运 用 中 的 误 区例 4 【 常 见 错 误 】 (1)利 用 双 曲 线 定 义 |PF1| |PF2| 8求 |PF2|时 ， 易 忽 略 绝 对 值 号 ， 而 错 选 A.(2)根 据 双 曲 线 的 定 义 可 得 到 答 案 C， 但 由 于 双 曲 线 上 的 点 到双 曲 线 焦 点 的 最 小 距 离 是 c a 6 4 2， 而 |PF2| 1 2，不 合 题 意 ， 所 以 应 该 舍 去 ， 造 成 错 误 的 原 因 是 忽 略 双 曲 线 的相 关 性 质 ， 没 有 检 验 |PF1| |

11、PF2| 10 |F1F2|造 成 的 【 解 析 】 双 曲 线 的 实 轴 长 为 8， 由 双 曲 线 的 定 义 得|PF1| |PF2| 8，所 以 |9 |PF2| 8，所 以 |PF2| 1或 17.因 为 |F1F2| 12， 当 |PF2| 1时 ，|PF1| |PF2| 10 |F1F2|，不 符 合 公 理 “两 点 之 间 线 段 最 短 ， 应 舍 去 所 以 |PF2| 17.【 答 案 】 B 【 失 误 防 范 】 运 用 双 曲 线 的 定 义 解 决 相 关 问 题 时 ， (1)不 能 忽 略 “绝 对 值 号 ， 以 免 造 成 漏 解 ， (2)求 出 解 后 ， 要注 意 检 验 根 的 合 理 性 ， 以 免 出 现 增 根 跟 踪 训 练 * * * 小 结 * * * 感 谢 您 的 聆 听 ！THANKS FOR YOUR KIND ATTENTION ！ LOVELL