导数的计算(一)

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1、一 、 复 习1.导 数 的 几 何 意 义导 数 的 物 理 物 理 意 义2.求 函 数 的 导 数 的 方 法 是 :(1) ( ) ( );y f x x f x 求 函 数 的 增 量(2) :( ) ( );y f x x f xx x 求 函 数 的 增 量 与 自 变 量 的 增 量 的 比 值 0(3) ( ) lim .x yy f x x 求 极 限 ， 得 导 函 数 说 明 :上 面 的 方法 中 把 x换 x0即为 求 函 数 在 点x0处 的 导 数 . 几 种 常 见 函 数 的 导 数基 本 初 等 函 数 的 导 数 公式 及 导 数 的 运 算 法 则 二

2、 、 几 种 常 见 函 数 的 导 数根 据 导 数 的 定 义 可 以 得 出 一 些 常 见 函 数 的 导 数 公 式 .1. 函 数 y=f(x)=c (c为 常 数 )xxfy )(.2 2)(.3 xxfy 3)(.4 xxfy xxfy 1)(.5 xxfy )(.6 1.函 数 y = f (x) =c 的 导 数 y=cy xO ，因 0 xccx xfxxfxy .00limlim 00 xx xyy所 以y=0表 示 函 数 y=x图 象 上 每 一 点 处 的 切 线 的 斜 率 都 为 0.若 y=c表 示 路 程 关 于 时 间 的 函 数 ,则 y=0则 为 某

3、 物 体 的瞬 时 速 度 始 终 为 0,即 一 直 处 于 静 止 状 态 .从 几 何 的 角 度 理 解 ：从 物 理 的 角 度 理 解 ： 2.函 数 y= f (x)=x 的 导 数 ，因 为 1 x xxxx xfxxfxy .11limlim 00 xx xyy所 以 y=xy xOy=1表 示 函 数 y=x图 象 上 每一 点 处 的 切 线 斜 率 都 为 1.若 y=x表 示 路 程 关 于 时 间 的 函 数 ,则 y=1可 以 解 释 为 某物 体 做 瞬 时 速 度 为 1的 匀 速 运 动 .从 几 何 的 角 度 理 解 ：从 物 理 的 角 度 理 解 ：

4、 探 究在 同 一 平 面 直 角 坐 标 系 中 ,画 出 函 数 y=2x,y=3x,y=4x的 图象 ,并 根 据 导 数 定 义 ,求 它 们 的 导 数 .(1)从 图 象 上 看 ,它 们 的 导 数 分 别 表 示 什 么 ?(2)这 三 个 函 数 中 ,哪 一 个 增 加 得 最快 ?哪 一 个 增 加 得 最 慢 ?(3)函 数 y=kx(k0)增 (减 )的 快慢 与 什 么 有 关 ? 21 -1-2-2 -1 1 2 xy y=xy=2xy=3xy=4x 函 数 y= f (x)= kx 的 导 数 x xfxxfxy 因 为 .limlim 00 kkxyy xx

5、所 以 ，kx kxxkkx x kxxxk 3.函 数 y = f (x) = x2 的 导 数 x xxxx xfxxfxy 22 因 为 x xxxxx 222 2 xx 2 .22limlim 00 xxxxyy xx 所 以 y=x2y xO y =2x表 示 函 数 y=x2图 象 上 点 (x,y)处 切 线 的 斜率 为 2x,说 明 随 着 x的 变 化 ,切 线 的 斜 率 也 在 变 化 .从 导 数 作 为 函 数 在 一 点 的 瞬 时 变 化 率 来 看 ,y=2x表 明 : 当 x0时 ,随 着 x的 增 加 ,y=x2增 加 得 越 来 越 快 . 若 y=x2

6、表 示 路 程 关 于 时 间 的 函 数 ,则 y=2x可以 解 释 为 某 物 体 作 变 速 运 动 ,它 在 时 刻 x的 瞬 时 速度 为 2x.从 几 何 的 角 度 理 解 ：从 物 理 的 角 度 理 解 ： 4.函 数 y = f (x) = 的 导 数x1 x xxxx xfxxfxy 11 因 为 ，xxxxxxx xxx 2 1 .11limlim 2200 xxxxxyy xx 所 以 探 究画 出 函 数 的 图 象 .根 据 图 象 ,描 述 它 的 变 化 情 况 ,并求 出 曲 线 在 点 (1,1)处 的 切 线 方 程 .xy 1 21 -1-2-2 -1

7、 1 2 xy 5.函 数 y = f (x) = 的 导 数x x xxxx xfxxfxy 因 为 xxxx xxxxxx ，xxx 1 .211limlim 00 xxxxxyy xx 所 以 小 结 1.若 f (x)=c（ c为 常 数 ） , 则 f (x)=0 ；2.若 f (x)=x, 则 f (x)=1 ；3.若 f (x)=x2 ,则 f (x)=2x ； ；则若 21,1.4 xxfxxf .21,.5 xxfxxf 则若 )(1 是 常 数 xx 这 个 公 式 称 为 幂 函 数 的 导 数 公 式 .事 实 上 可 以 是 任 意 实 数 . )()( Qxxfy

8、1/ xy推 广 : 基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式1.2. ( )3.4.5. ln6. 7.8. n Ra n n-1x xx xa 若 f(x)=c， 则 f(x)=0若 f(x)=x ， 则 f(x)=nx若 f(x)=sinx， 则 f(x)=cosx若 f(x)=cosx， 则 f(x)=-sinx若 f(x)=a， 则 f(x)=a若 f(x)=e， 则 f(x)=e 1若 f(x)=log x， 则 f(x)=xlna1若 f(x)=lnx， 则 f(x)=x 练 习 ： 1 求 下 列 幂 函 数 的 导 数 3 53 2 5)4( )3( 1)2(1 xy xy

9、 xy xy）（ ).2(,2)2( 3 fxy 求已 知 ).1(,)1( 2 fxxy 求已 知2: 法 则 1:两 个 函 数 的 和 (差 )的 导 数 ,等 于 这 两 个 函 数 的 导 数 的和 (差 ),即 : ( ) ( ) ( ) ( )f x gx f x g x 法 则 2:两 个 函 数 的 积 的 导 数 ,等 于 第 一 个 函 数 的 导 数 乘 第 二 个函 数 ,加 上 第 一 个 函 数 乘 第 二 个 函 数 的 导 数 ,即 : ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )f x g x f x g x f x g x 法 则 3:两 个 函 数 的

10、 积 的 导 数 ,等 于 第 一 个 函 数 的 导 数 乘 第 二 个函 数 ,减 去 第 一 个 函 数 乘 第 二 个 函 数 的 导 数 ,再 除 以 第 二 个 函数 的 平 方 .即 : 2( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ( ) 0)( ) ( )f x f x g x f x g x g xg x g x 例 . 求 函 数 y=x3-2x2+3的 导 数 . 推 论 : )()( / xcfxcf 1.已 知 曲 线 C： f(x)=x3求 曲 线 C上 横 坐 标 为 1的 点 处 的 切 线 方 程2.求 过 点 （ 2,0） 与 曲 线 相 切 的 切 线方

11、程 xy 1 3.已 知 P（ -1， 1） ， Q（ 2， 4） 是 曲 线y=x2上 的 两 点 ， 求 与 直 线 PQ平 行 的 曲 线y=x2的 切 线 方 程 。 看 几 个 例 子 : 2log2 .yx 例 3.已 知 x， 求 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程1 2 ( 2)2 2ln2y x cos5 .6y xx 例 4.已 知 ， 求 曲 线 在 点 处 的 切 线 方 程3 1 5( )2 2 6y x 41(1). ;(2). .y xy x x例 5： 求 下 列 函 数 的 导 数 54y x 1 232y x 10 p例 6.假 设 某 国 家 在 20

12、年 期 间 的 年 平 均 通 货 膨胀 率 为 5%,物 价 p(元 )与 时 间 t(年 )有 如 下 函数 关 系 ,其 中 为 t=0时 的物 价 .假 定 某 种 商 品 的 ,那 么 在 第 10个年 头 ,这 种 商 品 的 价 格 上 涨 的 速 度 大 约 是 多少 ?(精 确 到 0.01) tptp %)51()( 0 0p 50 p思 考 :如 果 上 式 中 某 种 商 品 的 ,那 么 在第 10个 年 头 ,这 种 商 品 的 价 格 上 涨 的 速 度 大约 是 多 少 ? 练 习 :求 下 列 函 数 的 导 数 :221 2(1) ;(2) ;1(3) tan ;y x xxy xy x 答 案 : ;41)1( 32 xxy ;)1(1)2( 222xxy ;cos1)3( 2 xy 四 、 小 结 :知 识 点 :基 本 初 等 函 数 的 导 数 公 式 、 导 数 的 运 算 法 则能 力 要 求 ：（ 1） 熟 记 这 些 公 式 、 法 则 ；（ 2） 会 求 简 单 函 数 的 导 数 ；（ 3） 会 求 曲 线 在 某 点 处 的 切 线 方 程 。 如 何 求 函 数 的 导 数 ?)52sin(2 xxy