412复数的几何意义

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1、4.1.2复 数 的 几 何 意 义 1. 对 虚 数 单 位 i 的 规 定 i 2=-1； 可 以 与 实 数 一 起 进 行 四 则 运 算 ， 并 且 加 、 乘 运 算 律 不 变 . 2. 复 数 z=a+bi(其 中 a、 bR)中 a叫 z 的 、 b叫 z的 . 实 部 虚 部z为 实 数 、 z为 纯 虚 数 .b=0 00ba3. a=0是 z=a+bi(a、 bR)为 纯 虚 数 的 条 件 . 必 要 但 不 充 分课 前 复 习 特 别 地 ， a+bi=0 .a=b=0 4.已 知 x、 yR， (1)若 (2x-1)+i=y-(3-y)i ， 则 x= 、 y=

2、 ； (2) 若 (3x-4)+(2y+3)i=0， 则 x= 、 y= .想一想练一练2.5 44/3 -3/2 在几何上，我们用什么来表示实数?想一想？类比实数的表示，可以用什么来表示复数？实 数 可 以 用 数 轴上 的 点 来 表 示 。实 数 数 轴 上 的 点 (形 )(数 ) 一 一 对 应 回忆复数一般形的式？Z=a+bi(a, b R)实部!虚部!一个复数由什么唯一确定？复 数 z=a+bi有 序 实 数 对 (a,b)直 角 坐 标 系 中 的 点 Z(a,b)（ 数 ） （ 形 ）一 一 对 应 xyo baZ(a,b) 建 立 了 平 面 直 角坐 标 系 来 表 示

3、复 数 的平 面 x轴 -实 轴y轴 -虚 轴-复 数 平 面 (简 称 复 平 面 )z=a+bi其 中 实 轴 上 的 点 都 表 示 实 数 ；除 了 原 点 ， 虚 轴 上 的 点 都 表 示 纯 虚 数 ；象 限 中 的 点 都 表 示 一 般 的 虚 数 （ 非 纯 虚 数 ） 。 O 思 考 1 ： 复 数 与 点 的 对 应 XY（ ） + i ；（ ） + i；（ ） i；（ ） i；（ ） ；（ ） i； G AC F O ED B H 思 考 2： 点 与 复 数 的 对 应 (每 个 小 正 方 格 的 边 长 为 1)XY (A)在 复 平 面 内 ， 对 应 于 实

4、 数 的 点 都 在 实 轴 上 ；(B)在 复 平 面 内 ， 对 应 于 纯 虚 数 的 点 都 在 虚 轴 上 ；(C)在 复 平 面 内 ， 实 轴 上 的 点 所 对 应 的 复 数 都 是 实 数 ；(D)在 复 平 面 内 ， 虚 轴 上 的 点 所 对 应 的 复 数 都 是 纯 虚 数 。例 1.辨 析 ：1 下 列 命 题 中 的 假 命 题 是 （ ）D 2 “ a=0” 是 “ 复 数 a+bi (a , b R)是纯 虚 数 ” 的 （ ） 。 (A)必 要 不 充 分 条 件 (B)充 分 不 必 要 条 件 (C)充 要 条 件 (D)不 充 分 不 必 要 条

5、件C 3 “ a=0” 是 “ 复 数 a+bi (a , b R)所对 应 的 点 在 虚 轴 上 ” 的 （ ） 。 (A)必 要 不 充 分 条 件 (B)充 分 不 必 要 条 件 (C)充 要 条 件 (D)不 充 分 不 必 要 条 件A 例 2 已 知 复 数 z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复 平 面 内 所对 应 的 点 位 于 第 二 象 限 ， 求 实 数 m允 许 的 取 值 范 围 。 表 示 复 数 的 点 所在 象 限 的 问 题 复 数 的 实 部 与 虚 部 所 满足 的 不 等 式 组 的 问 题转 化(几 何 问 题 ) (代 数 问 题 )一

6、 种 重 要 的 数 学 思 想 ： 数 形 结 合 思 想 02 0622 mm mm解 ： 由 12 23 mm m或得 )2,1()2,3( m 变 式 一 ： 已 知 复 数 z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复 平 面 内所 对 应 的 点 在 直 线 x-2y+4=0上 ， 求 实 数 m的 值 。 解 ： 复 数 z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i在 复 平 面内 所 对 应 的 点 是 （ m2+m-6， m2+m-2） ， (m2+m-6)-2(m2+m-2)+4=0， m=1或 m=-2。 例 2 已 知 复 数 z=(m2+m-6)+(m2+m-2)i 变

7、 式 二 ： 证 明 对 一 切 m， 此 复 数 所 对 应 的 点 不 可 能位 于 第 四 象 限 。 点 位 于 第 四 象 限 ，证 明 ： 若 复 数 所 对 应 的 02 06 22 mm mm则 3 22 1m mm 或即不 等 式 解 集 为 空 集所 以 复 数 所 对 应 的 点 不 可 能 位 于 第 四 象 限 . 小 结 复 数 z=a+bi 直 角 坐 标 系 中 的 点 Z(a,b)一 一 对 应平 面 向 量 OZ 一 一 对 应一 一 对 应 xyo baZ(a,b)z=a+bi 小 结 xOz=a+bi y复 数 的 绝 对 值 (复 数 的 模 )的 几

8、 何 意 义 :Z (a,b) 22 ba 对 应 平 面 向 量 的 模 | |， 即 复 数 z=a+bi在 复 平 面 上 对 应 的 点 Z(a,b)到 原 点 的距 离 。 OZ OZ| z | = | |OZ 小 结 实 数 绝 对 值 的 几 何 意 义 :复 数 的 模 其 实 是 实 数 绝 对 值 概 念 的 推 广xO Aa|a| = |OA| 实 数 a在 数 轴 上 所对 应 的 点 A到 原 点 O的距 离 . a aa a( 0)( 0) xOz=a+bi y|z|=|OZ| 复 数 的 模 复 数 z=a+bi在 复 平面 上 对 应 的 点 Z(a,b)到原

9、点 的 距 离 .的 几 何 意 义 :Z(a,b) a b2 2 例 3 求 下 列 复 数 的 模 ： (1)z1=-5i (2)z2=-3+4i (3)z3=5-5i(2)满 足 |z|=5(z C)的 z值 有 几 个 ？思 考 ：(1)满 足 |z|=5(z R)的 z值 有 几 个 ？(4)z4=1+mi(m R) (5)z5=4a-3ai(a0,则 a的 值 。 2 31, ?, ?ni i i 思考 ： 1 ,i i2 1,i 3 ,i i 4 1,i 5 4 ,i i i i 6 4 2 1,i i i 7 4 3 ,i i i i 8 4 4 1.i i i i结 论 ：

10、的 指 数 运 算 是 以 4为 周 期 的 5 xyO设 z=x+yi(x,y R) 满 足 3|z|5(z C)的 复 数 z对 应 的 点 在 复平 面 上 将 构 成 怎 样 的 图形 ？ 5555 33 3 353 22 yx 259 22 yx图 形 : 以 原 点 为 圆 心 , 半 径 3至 5的 圆 环 内 (1)|z (1+2i)|(2)|z+(1+2i)| 例 5 已 知 复 数 z对 应 点 A,说 明 下 列 各式 所 表 示 的 几 何 意 义 .点 A到 点 (1,2)的 距 离点 A到 点 ( 1, 2)的 距 离 (3)|z 1|(4)|z+2i|点 A到 点

11、 (1,0)的 距 离点 A到 点 (0, 2)的 距 离 已 知 复 数 m=2 3i,若 复 数 z满 足 等 式|z m|=1,则 z所 对 应 的 点 的 集 合 是 什 么图 形 ?以 点 (2, 3)为 圆 心 ,1为 半 径 的 圆 . 小 结 :复 数 的 几 何 意义 是 什 么 ？ 复 数 z=a+bi 直 角 坐 标 系 中 的 点 Z(a,b)一 一 对 应平 面 向 量 OZ 一 一 对 应一 一 对 应 一、作业 课本P106 (4)、（5）、（6）二、思考题1、如果复数z满足|z+i|+|z-i|=2，那么|z+i+1|的最小值是_2、在复平面上的复数z=（a2-

12、2a+4）-（a2-2a+2）i (a R)求复数z对应点的轨迹方程。 例 4、 设 复 数 z=x+yi,(x,y R),在 下 列 条 件下 求 动 点 Z(x,y)的 轨 迹 . 1.|z-2|=1 2.|z-i|+|z+i|=4 3.|z-2|=|z+4| xyo Z2 ZZZ当 |z-z1|=r时 , 复 数 z对 应 的 点 的 轨 迹 是 以Z1对 应 的 点 为 圆 心 ,半 径 为 r的 圆 . 1-1Z ZZy xo |z z1|+|z z2|=2a|z1 z2|2a 椭 圆线 段无 轨 迹 y xo 2-4 x=-1当 | z- z1|= | z- z2|时 , 复 数 z对 应 的 点 的 轨 迹 是线 段 Z1Z2的 中 垂 线 .-1 1、 |z1|= |z2|平 行 四 边 形 OABC是2、 | z1+ z2|= | z1- z2|平 行 四 边 形 OABC是3、 |z1|= |z2|， | z1+ z2|= | z1- z2|平 行 四 边 形 OABC是 z1z2 z1+z2o z2-z1A BC菱 形矩 形正 方 形练 习 1：