数学文化艺术漫谈 (2)

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1、 13706398383 主 讲 人 : 南 通 大 学 吉 海 兵 “ 诗 人 对 宇 宙 人 生 ， 须 入乎 其 内 ， 又 须 出 乎 其 外 。入 乎 其 内 ， 故 能 写 之 。 出乎 其 外 ， 故 能 观 之 。 入乎 其 内 ， 故 有 生 气 ， 出乎 其 外 ， 故 有 高 致 。 ” 王 国 维 （ 1877-1927）清 末 秀 才 ， 国 学 大 师王 国 维 故 居 庞 加 莱 （ 法 ） 指 出 ：“ 如 果 我 们 想 要 预 见 数 学的 未 来 ， 适 当 的 途 径 是研 究 这 门 科 学 的 历 史 和现 代 （ 现 状 ） 。 ” “ 数 学 课

2、 本 中 的 字 斟 句 酌 的 叙述 ， 未 能 表 现 出 创 造 过 程 中 的斗 争 、 挫 折 ， 以 及 在 建 立 一 个完 美 的 结 构 之 前 ， 数 学 家 所 经历 的 艰 苦 漫 长 的 道 路 。 ” M克 莱 因 （ 美 ） （ 19081992） 伯 特 兰 罗 素 （ 英 ） ： “ 有 一 条 小 路 ， 穿 过 田 野 ，通 向 新 南 盖 特 ， 我 经 常 独 自一 人 到 那 里 去 观 看 落 日 ， 并想 到 自 杀 。 然 而 ， 我 终 于 不曾 自 杀 ， 因 为 我 想 更 多 地 了解 数 学 。 ”伯 特 兰 罗 素 （ 187219

3、70） 1950年 获 诺 贝 尔 文 学 奖 l数 学 使 人 聪 明 ， 读 史 使 人 明 智 ；l以 史 为 鉴 ， 可 以 知 兴 衰 ；l古 为 今 用 ， 洋 为 中 用 ；l他 山 之 石 ， 可 以 攻 玉 。 l以 锄 头 为 代 表 的 农 耕 文 明 （ 17世 纪 前 ）l以 大 机 器 流 水 线 作 业 为 代 表 的 工 业 文 明（ 17世 纪 20世 纪 40年 代 ）l以 计 算 机 为 代 表 的 信 息 文 明 （ 20世 纪 50年 代 至 今 ） l “在 人 类 文 明 中 ， 数 学 一 直 是 一 种 主 要 的 文 化力 量 。 几 乎 每

4、 个 人 都 知 道 ， 数 学 在 工 程 设 计 中 具有 极 其 重 要 的 实 用 价 值 。 但 是 却 很 少 有 人 懂 得 数学 在 科 学 推 理 中 的 重 要 性 ， 以 及 它 在 重 要 的 物 理科 学 理 论 中 所 起 的 核 心 作 用 。 至 于 数 学 决 定 了 大部 分 哲 学 思 想 的 内 容 和 研 究 方 法 ， 摧 毁 和 构 建 了诸 多 宗 教 教 义 ， 为 政 治 学 说 和 经 济 理 论 提 供 了 依据 ， 塑 造 了 众 多 流 派 的 绘 画 、 音 乐 、 建 筑 和 文 学风 格 ， 创 立 了 逻 辑 学 ， 而 且

5、为 我 们 必 须 回 答 的 人与 宇 宙 的 基 本 问 题 提 供 了 最 好 的 答 案 ， 这 些 就 更加 鲜 为 人 知 了 。 作 为 理 性 精 神 的 化 身 ， 数 学 已 经渗 透 到 以 前 由 权 威 、 习 惯 、 风 俗 所 统 治 的 领 域 ，而 且 取 代 它 们 成 为 思 想 和 行 动 的 指 南 。 最 为 重 要的 是 ， 作 为 一 种 宝 贵 的 、 无 可 比 拟 的 人 类 成 就 ，数 学 在 使 人 赏 心 悦 目 和 提 供 审 美 价 值 方 面 ， 至 少可 与 其 他 任 何 一 种 文 化 门 类 媲 美 。 ” M.克 莱

6、 因 l 辞 海 ， 在 “ 文 化 ” 这 一 条 目 中 写 着 ：l “ 广 义 指 人 类 在 社 会 实 践 过 程 中所 获 得 的 物 质 、 精 神 的 生 产 能 力 和创 造 的 物 质 、 精 神 财 富 的 总 和 。 ”l “ 狭 义 指 精 神 生 产 能 力 和 精 神 产品 ， 包 括 一 切 社 会 意 识 形 态 ： 自 然科 学 、 技 术 科 学 、 社 会 意 识 形 态 。 ” l再 看 “ 文 明 ” 这 一 个 条 目 ， 说 “ 犹言 文 化 。 如 ： 物 质 文 明 ； 精 神 文明 。 ” l英 汉 大 辞 典 。 其 中 对 “ Cul

7、ture”的 中 译 为 “ 文 化 ， 文 明 ； 教 养 ， 修养 ； 陶 冶 ， 教 育 ” ， 而 对“ Civilization” 之 中 译 则 为 “ 文明 ； (特 定 地 区 、 国 家 和 时 期 的 )文化 、 社 会 和 生 活 方 式 ； 开 化 ， 教 化(过 程 ) 。 ” l至 于 “ 文 化 ” 的 含 义 ， 综 合 这 两 个 大 辞典 上 的 说 法 ， 我 们 认 为 应 体 现 在 精 神 与意 识 形 态 这 两 个 层 面 上 。l够 得 上 称 为 文 化 ， 特 别 是 够 得 上 称 为 先进 文 化 ， 应 该 在 下 面 的 两 个 方

8、 面 均 有 所体 现 ： l一 是 在 深 化 人 类 对 世 界 的 认 识 或 推 动人 类 对 世 界 的 改 造 方 面 ， 在 推 动 人 类物 质 文 明 和 精 神 文 明 的 发 展 中 ， 起 过或 （ 和 ） 起 着 积 极 的 作 用 ， 甚 至 具 有某 种 里 程 碑 意 义 的 。l二 是 在 这 一 历 史 进 程 中 ， 通 过 长 期 的积 累 与 沉 淀 ， 自 觉 不 自 觉 地 转 化 为 人类 的 素 质 与 教 养 ， 使 人 们 在 精 神 与 品格 上 得 到 升 华 的 。 l人 类 在 认 识 世 界 与 改 造 世 界 的 过 程 中 ，

9、也 自 然 会 加 深 认 识 并 不 断 改 造 着 自 己 ，向 更 高 更 完 善 的 境 界 前 进 。l因 此 ， 这 两 方 面 既 有 区 别 ， 又 密 切 联 系 ，总 起 来 就 组 成 了 人 类 文 明 的 进 程 ， 构 成了 人 类 文 明 的 发 展 史 ， 也 形 成 了 现 今 意义 上 的 文 化 。 l简 言 之 ， “ 文 化 ” 一 词 ， 一 般 有 狭 义 和广 义 的 两 种 解 释 。l狭 义 的 “ 文 化 ” ， 仅 指 知 识 。 说 一 个 人有 文 化 ， 就 是 说 他 有 知 识 。l广 义 的 “ 文 化 ” ， 则 泛 指 人

10、 类 的 物 质 财富 和 精 神 财 富 的 积 淀 ， 是 一 种 上 层 建 筑 ，有 相 对 的 稳 定 性 。 l数 学 文 化 中 的 “ 文 化 ” ， 用 的 是 “ 文化 ” 的 广 义 的 解 释 。l“ 中 华 民 族 的 文 化 ” 、 “ 茶 文 化 ” 、“ 酒 文 化 ” 、 “ 风 筝 文 化 ” 、 “ 校 园文 化 ” 、 “ 旅 游 文 化 ” 等 中 的 “ 文化 ” ， 也 都 是 “ 文 化 ” 的 广 义 的 解 释 。 l一 个 人 的 学 历 教 育 中 ， 从 小 学 一 年 级到 大 学 一 年 级 ， 一 般 要 学 13年 的 数 学课

11、 程 ， 只 有 语 文 课 能 与 之 相 比 ； 但 许多 人 并 未 因 为 学 的 时 间 长 就 掌 握 了 数学 的 精 髓 。 l日 本 数 学 教 育 家 米 山 国 藏 ： “ 在 学 校 学的 数 学 知 识 ， 毕 业 后 若 没 什 么 机 会 去 用 ，不 到 一 两 年 ， 很 快 就 忘 掉 了 。 然 而 ， 不管 他 们 从 事 什 么 工 作 ， 唯 有 深 深 铭 刻 在头 脑 中 的 数 学 的 精 神 、 数 学 的 思 维 方 法 、研 究 方 法 、 推 理 方 法 和 看 问 题 的 着 眼 点等 ， 却 随 时 随 地 发 生 作 用 ， 使

12、他 们 终 身受 益 。 ” （ 数 学 的 精 神 、 思 想 和 方法 ） l这 段 话 说 得 很 中 肯 ， 涉 及 到 数 学 的 精 髓 ，也 涉 及 到 人 的 数 学 素 质 。l现 在 提 倡 素 质 教 育 ， 并 把 人 的 素 质 划 分为 思 想 道 德 素 质 、 专 业 素 质 、 文 化 素 质 、身 体 心 理 素 质 四 个 方 面 。l数 学 文 化 属 于 文 化 素 质 的 一 部 分 l R笛 卡 尔 ： “ 当 我 最 初 潜 心 研 究 数 学 时 ， 如 饥 似 渴地 阅 读 了 数 学 家 们 撰 写 的 大 部 分 著 作 ， 并 迷 上

13、了 算术 和 几 何 ， 因 为 这 两 门 科 学 最 为 简 单 ， 是 通 向 其 他所 有 知 识 的 必 由 之 路 。 然 而 无 论 算 术 还 是 几 何 方 面 ，都 没 有 哪 位 作 者 令 我 十 分 满 意 。 的 确 ， 他 们 的 著 作使 我 学 到 了 许 多 关 于 数 的 命 题 ， 而 且 经 过 计 算 发 现这 些 命 题 是 正 确 的 ； 在 某 种 意 义 上 ， 几 何 图 形 也 在我 面 前 展 示 了 大 量 真 理 ， 这 些 确 定 的 真 理 又 能 导 出各 种 结 论 。 但 是 ， 他 们 并 未 使 我 完 全 清 楚 情

14、 况 为 什么 会 是 这 样 ， 他 们 又 是 如 何 发 现 真 理 的 。 因 此 ， 下述 情 形 丝 毫 也 不 令 我 惊 奇 ： 许 多 人 ， 甚 至 于 天 才 或饱 学 之 士 ， 在 浏 览 这 些 科 学 作 品 之 后 ， 要 么 认 为 它们 空 洞 、 幼 稚 而 不 屑 一 顾 ； 要 么 觉 得 艰 涩 、 难 懂 而望 而 却 步 。 然 而 ， 直 到 后 来 我 才 明 白 ， 在 古 代 ，最 早 的 哲 学 先 驱 们 为 什 么 会 禁 止 任 何 不 精 通 数 学 的人 进 行 学 术 研 究 。 这 更 证 实 了 我 的 怀 疑 ， 古

15、典时 代 的 数 学 与 当 代 数 学 是 多 么 不 同 。 ” lR柯 朗 ： “ 许 多 世 纪 以 来 ， 人 们 一 直 遵循 数 学 是 文 化 的 组 成 部 分 的 传 统 ， 但 在我 们 这 个 教 育 普 及 的 时 代 ， 这 一 传 统 却被 抛 弃 了 。 科 学 家 们 与 世 隔 绝 的 研 究 ，教 师 们 少 的 可 怜 的 热 情 ， 还 有 大 量 枯 燥乏 味 、 商 业 气 十 足 的 教 科 书 和 无 视 智 力训 练 的 教 学 风 气 ， 已 经 在 教 育 界 掀 起 了一 股 反 数 学 的 浪 潮 。 然 而 ， 我 们 深 信 ，公

16、 众 依 然 对 数 学 有 浓 厚 的 兴 趣 。 ” l M克 莱 因 ： “ 在 教 科 书 和 学 校 的 课 程 中 ，都 将 数 学 看 作 是 一 系 列 毫 无 意 义 的 、 充 满 技巧 性 的 程 序 。 把 这 样 的 东 西 作 为 数 学 的 特 征 ， 就如 同 把 人 体 结 构 中 每 一 块 骨 骼 的 名 称 、 位 置 和 功能 当 作 活 生 生 的 、 有 思 想 的 、 富 于 激 情 的 人 一 样 。如 同 一 个 单 词 ， 如 果 脱 离 了 上 下 文 ， 不 是 失 去 了原 来 的 意 义 ， 就 是 有 了 新 的 含 义 一 样

17、， 在 人 类 文明 中 ， 数 学 如 果 脱 离 了 其 丰 富 的 文 化 基 础 ， 就 会被 简 化 成 一 系 列 的 技 巧 ， 它 的 形 象 也 就 被 完 全 歪曲 了 。 由 于 外 行 人 很 少 使 用 数 学 技 巧 及 其 知 识 ，因 此 他 们 对 这 些 通 常 显 得 枯 燥 无 味 的 东 西 很 反 感 。这 样 一 来 产 生 的 结 果 是 ， 对 于 数 学 这 样 一 门 基 础性 的 、 富 有 生 命 力 的 、 崇 高 的 学 科 ， 就 连 一 些 受过 良 好 教 育 的 人 也 持 无 视 甚 至 轻 蔑 的 态 度 。 的 确 ，

18、对 数 学 的 无 知 已 经 成 了 一 种 社 会 风 尚 。 ” l教 育 部 在 课 程 改 革 过 程 中 做 过 的 一 项 调查 ， 这 项 调 查 涉 及 中 学 生 对 各 门 课 程 的态 度 。 调 查 结 果 显 示 ,中 学 生 对 数 学 课 的态 度 概 而 言 之 是 :又 爱 又 恨 ， 意 思 是 又 喜欢 又 讨 厌 ,或 者 是 有 的 喜 欢 ,有 的 讨 厌 。l中 央 电 视 台 在 配 合 国 际 数 学 家 大 会 而 制作 数 学 传 播 节 目 时 所 作 的 公 众 问 答 也 反映 ： 数 学 在 大 多 数 公 众 的 心 目 中 是

19、 一 堆数 字 、 公 式 ， 抽 象 、 深 奥 甚 至 神 秘 ， 对数 学 的 应 用 价 值 也 不 甚 了 了 。 l数 学 是 一 门 基 础 学 科 ， 数 学 教 育 是 基 础教 育 。l数 学 的 这 种 公 众 形 象 从 发 展 现 代 教 育 与科 学 的 角 度 看 是 堪 忧 的 。 l21世 纪 是 知 识 经 济 的 时 代 ， 是 信 息 化 的时 代 。 21世 纪 所 需 要 的 人 才 ， 不 可 能 是没 有 或 缺 乏 数 学 素 质 的 人 才 。l为 了 切 实 地 将 我 国 的 教 育 提 高 到 现 代 的先 进 的 水 准 ， 使 人

20、们 树 立 起 正 确 的 数 学观 和 数 学 价 值 观 ， 具 有 十 分 重 要 的 意 义 。 l 英 国 的 罗 素 说 ： “ 数 学是 我 们 永 远 不 知 道 我 们在 说 什 么 ， 也 不 知 道 我们 说 的 是 否 对 的 一 门 科学 。 ” 法 国 数 学 家 E波 莱 尔 （ 1871-1956）英 国 数 学 家 罗 素（ 1872-1970）l 法 国 的 E波 莱 尔 说 ： “ 数学 是 我 们 确 切 知 道 我 们 在 说什 么 ， 并 肯 定 我 们 说 的 是 否对 的 唯 一 的 一 门 科 学 。 ” l 美 国 著 名 数 学 家 R柯

21、朗（ 1888-1972） 与 H罗 宾斯 为 此 专 门 合 著 数 学是 什 么 （ 1941）l R柯 朗 在 书 中 写 道 ：“ 数 学 ， 作 为 人 类 智 慧的 一 种 表 达 形 式 ， 反 映生 动 活 泼 的 意 念 ， 深 入细 致 的 思 考 ， 以 及 完 美和 谐 的 愿 望 ， 它 的 基 础是 逻 辑 和 直 觉 ， 分 析 和推 进 ， 共 性 与 个 性 。 ” lC.S.皮 尔 斯 （ 美 国 1839-1914） 讲 ：“ 数 学 是 研 究 什 么 是 逻 辑 地 可 能 的 或 逻辑 地 不 可 能 的 ， 数 学 家 不 必 关 心 什 么 是实

22、 际 存 在 。 ” “ 数 学 是 得 出 必 要 结 论的 科 学 。 ”l庞 加 莱 （ 法 国 1854-1912） 说 ： “ 数 学是 给 予 不 同 东 西 以 相 同 名 称 的 技 术 。 ”l米 山 国 藏 （ 日 ） 讲 ： “ 与 其 定 义 不 好 ，还 不 如 暂 不 定 义 。 ” l筹 算 或算 筹 算 筹 (1971年 陕 西 千 阳 县 西 汉 墓 出 土 )“其 算 法 用 竹 。 ” 汉 书 律 历 志算“一 纵 十 横 ， 百 立 千 僵 ” 。 周 髀 算 经 最 古 老 的 天 文 数 学 著 作赵 爽 周 髀 注 周 髀 算 经 内 容 概 要全

23、 书 由 三 部 分 组 成 ：第 一 部 分 ： 共 264个 字 ， 记 述 了 周公 与 大 夫 商 高 的 问 答 记 录 。 提 到 ：“ 勾 广 三 ， 股 修 四 ， 径 隅 五 ” 。第 二 部 分 ： 是 荣 方 与 陈 子 的 对 话 。 “ 以 日 下 为 勾 ， 日 高 为 股 ， 勾 股各 自 乘 ， 并 而 开 方 除 之 ， 得 邪 至日 。 ” 第 三 部 分 ： 是 讲 计 算 问 题 的 ， 有“ 术 ” 13条 ， 书 写 形 式 和 内 容 与 九 章 算 术 基 本 一 致 。 股 勾弦 日 l春 秋 战 国 ， 百 家 争 鸣 。 实 行 谋 士 向

24、 君 王建 议 治 国 之 道 。 与 古 希 腊 统 治 阶 级 实 行民 主 政 治 不 同 ， 中 国 古 代 数 学 是 官 方 管理 数 学 。l数 学 教 育 开 始 于 周 代 ： 周 礼 保 氏 称“ 教 国 子 以 六 艺 ： 一 曰 礼 ， 二 曰 乐 ， 三曰 射 ， 四 曰 御 ， 五 曰 书 ， 六 曰 数 。 ” 并还 称 ： “ 六 年 教 之 数 ， 十 年 学 书 计 ” 西 汉 年 间 ， 中 国 有 了 专 门 的 数 学 著 作 ： 许 商 算 术 、 杜 忠 算 术 、 算 数 书 、 九 章 算 术 ， 其 中 前 两 部 著 作 早 已 失 传 。

25、 l1984年 从 湖 北 张家 山 古 墓 中 发 掘出 土 ， 是 公 元 前206年 前 179年的 数 学 著 作 ， 它以 实 际 应 用 问 题的 形 式 编 纂 。 l中 国 数 学 为 帝 王 的 统 治 服 务l 九 章 算 术 ： 丈 量 田 亩 、计 算 税 收 、 分 摊 徭 役 、 计 算土 方 、 运 输 计 费 没 有 “ 对顶 角 相 等 ” 。 l刘 微 校 注 九 章 算 术 刘 徽 （ 生 于 公 元 250年 左 右 ） ， 是 中 国 数 学 史 上 一个 非 常 伟 大 的 数 学 家 ， 在 世 界 数 学 史 上 ， 也 占 有杰 出 的 地 位

26、 他 的 杰 作 九 章 算 术 注 和 海 岛算 经 ， 是 我 国 最 宝 贵 的 数 学 遗 产 是 中 国 传 统数 学 的 代 表 作 。 成 书 年代 无 法 确 知 ， 只 知 在 汉代 曾 经 过 北 汉 平 侯 张 苍和 大 司 农 中 丞 耿 寿 昌 的整 理 。 现 在 的 版 本 是 三国 时 代 刘 徽 于 263年 完 成的 注 释 本 。明 代 刊 印 的 九 章 算 术 注 一 、 方 田 （ 与 田 亩 丈 量 有 关 的 面 积 、 分 数 问 题 ） 二 、 粟 米 （ 以 谷 物 粮 食 交 易 为 例 的 各 类 比 例问 题 ） 三 、 衰 分 （

27、差 分 ） （ 按 比 例 分 配 和 等 差 数 列 问 题 ） 四 、 少 广 （ 由 田 亩 计 算 引 出 的 分 数 、 开 方 问 题 ） 五 、 商 功 （ 与 土 方 工 程 有 关 的 体 积 问 题 ） 六 、 均 输 （ 与 摊 派 劳 役 及 运 输 中 的 均 匀 负 担 和 税 收有 关 的 加 权 比 例 等 问 题 ） 七 、 盈 不 足 （ 盈 亏 类 问 题 ） 八 、 方 程 （ 线 性 方 程 组 问 题 ） 九 、 勾 股 （ 勾 股 定 理 及 其 应 用 ） 编 排 方 式 ： 九 章 的 渊 源 九 数 孔 子 的 “ 六 艺 ” 中 的 “ 周

28、 官 九 数 ” （ 方 田、 粟 米 、 差 分 、 少 广 、 商 功 、 均 输 、 赢 不足 、 旁 要 、 方 程 ） 是 九 章 算 术 的 雏 形。 24届 国 际 数 学 家 大 会 的 会 标 是 中 国 古 老 的 “ 弦 图 ” 割 之 弥 细 ， 所 失 弥 少 ， 割 之 又 割 ， 以 至 于 不可 割 ， 则 与 圆 周 合 体 而 无 所 失 矣 刘 徽 (魏 晋 , 公 元 3世 纪 ) 古 之 九 数 ， 圆 周 率 三 ， 圆 径 率 一 ， 其术 疏 舛 。 宋 末 ， 南 徐 州 从 事 史 祖 冲 之 ， 更 开 密法 ， 以 圆 径 一 亿 为 一

29、 丈 ， 圆 周 盈 数 三丈 一 尺 四 寸 一 分 五 厘 九 毫 二 秒 七 忽 ，朒 数 三 丈 一 尺 四 寸 一 分 五 厘 九 毫 二 秒六 忽 ， 正 数 在 盈 朒 二 限 之 间 。 密 率 ， 圆 径 一 百 一 十 三 ， 圆 周 三 百 五十 五 。 约 率 ， 圆 径 七 ， 周 二 十 二 。祖 冲 之 (南 朝 宋 、 齐 , 429-500年 ) u 圆 内 接 正 12288边 形 和 24576边 形 u3.14159261 清 泉 自 然 景 物 不 变l 明 -清 （ 形 容 词 ） ；l 月 -泉 （ 名 词 ）l 变 中 有 不 变 。 道 理 是

30、 一 样 的 ！明月松间照清泉石上流 l无 限 是 数 学 文 化 中 的 奇 葩 。l数 学 ， 只 有 数 学 ， 正 面 向 无 限 进 军 。l有 限 过 渡 到 无 限 ： 数 学 归 纳 法 ， 极 限 ， 有 理 式 到 无 理 数 。l潜 无 限 和 实 无 限 。l函 数 处 理 无 限 的 关 系 ， 影 响 深 远 。l函 数 单 调 性 的 学 习 困 难 在 于 无 限 。 l“孤 帆 远 影 碧 空 尽 ， 惟 见 长 江 天 际 流 ” （ 极 限 的 意 境 ）l “ 满 园 春 色 关 不 住 ， 一 枝 红 杏 出 墙 来 ”（ 无 界 变 量 的 意 境

31、） 英 国 I.牛 顿（ 1643-1727） 德 国 莱 布 尼 兹（ 1646-1716） l“ 君 不 见 长 江 之 水 天 上 来 ， 奔 流 到 海 不复 还 。 ” l “ 桃 花 潭 水 深 千 尺 ， 不 及 汪 伦 送 我 情 。 ” l “ 昨 夜 西 风 凋 碧 树 ， 独 上 高 楼 ， 望 尽 天涯 路 。 ” （ 蝶 恋 花 晏 殊 ）l “ 衣 带 渐 宽 终 不 悔 ， 为 伊 消 得 人 憔 悴 。 ”（ 蝶 恋 花 柳 永 ）l “ 众 里 寻 他 千 百 度 ,蓦 然 回 首 ,那 人 正 在 ,灯 火 阑 珊 处 。 ” （ 青 玉 案 辛 弃 疾 ）

32、 l万 无 一 失 -小 概 率 事 件l中 彩 票 ， 大 约 是 百 万 分 之 一 。l卖 韭 菜 ： “ 一 根 黄 不 算 黄 ”l航 天 火 箭 的 设 计 ， 每 个 零 件 “ 万 仅 一 失 ”不 行 。 l数 学 思 维 和 日 常 行 为 的 碰 撞 ！ l 波 莱 尔 (法 )： “ 数 学 只 是 一门 艺 术 ， 或 者 只 是 一 门 科 学 、科 学 的 皇 后 ， 只 是 科 学 的 仆人 ， 或 者 甚 至 是 艺 术 与 科 学的 结 合 。 ”l “ 数 学 是 一 门 艺 术 ， 因 为 它主 要 是 思 维 的 创 造 ， 靠 才 智取 得 进 展

33、， 很 多 进 展 出 自 人类 脑 海 深 处 ， 只 有 美 学 标 准才 是 最 后 的 鉴 定 者 。 ” 法 国 波 莱 尔（ 1871-1956） l 波 莱 尔 非 常 强 调 ： “ 我 已 经 提 到 了 数 学 作 为 一门 艺 术 的 观 念 ， 即 概 念 构 成 的 诗 情 画 意 这 个 观念 ， 以 此 作 为 出 发 点 就 能 断 言 ： 要 能 鉴 赏 数 学 ，要 能 欣 赏 数 学 ， 就 能 对 一 个 很 特 殊 的 思 维 世 界里 的 种 种 概 念 在 精 神 上 的 雅 与 美 有 一 种 独 特 的感 受 力 。 非 数 学 家 很 少 有

34、 这 种 感 受 力 ， 这 是 好不 足 怪 的 ： 我 们 的 诗 是 用 高 度 专 门 化 的 语 言 数 学 语 言 写 成 的 ； 虽 然 它 是 用 许 多 较 为 熟 悉的 语 言 来 表 达 的 ， 但 却 是 独 具 一 格 、 不 能 翻 译成 任 何 其 他 语 言 的 。 ” l 哈 代 (英 )： “ 如 果 数 学 有什 么 存 在 权 利 的 话 ， 那 就是 只 是 作 为 艺 术 而 存 在 。 ” 英 国 数 学 家 哈 代（ 1877 1947） l 庞 加 莱 (法 )： “ 一 个 名 副 其 实 的科 学 家 ， 尤 其 是 数 学 家 ， 在 自

35、 己的 工 作 中 应 当 体 验 到 一 种 与 艺 术家 共 有 的 感 觉 ， 其 乐 趣 和 艺 术 家的 乐 趣 之 间 存 在 着 一 种 共 同 的 性质 ， 一 种 同 样 伟 大 的 力 。 ”l 庞 加 莱 将 数 学 美 的 内 容 和 基 本 特征 概 括 为 ： “ 统 一 性 、 简 洁 性 、对 称 性 、 协 调 性 和 奇 异 性 。 ” 法 国 庞 加 莱（ 1854-1912） l美 国 数 学 家 哈 尔 莫 斯 (19162006 )：“ 在 数 学 和 绘 画 中 ， 美 有 客 观 的 标 准 ，画 家 讲 究 结 构 、 线 条 、 造 型 、

36、肌 理 ，而 数 学 家 则 讲 究 真 实 、 正 确 、 新 奇 、普 遍 。 ”l他 又 说 ： “ 数 学 是 创 造 性 的 艺 术 ， 它创 造 了 美 好 的 概 念 ， 数 学 家 和 艺 术 家类 同 的 生 活 、 工 作 和 思 索 。 ” l 罗 素 (英 ) ： “ 数 学 ， 如 果正 确 地 看 待 它 ， 则 不 但 拥 有真 理 ， 而 且 还 具 有 至 高 的 美 ，这 是 一 种 雕 塑 式 的 冷 而 严 肃的 美 ， 这 种 美 既 不 投 合 人 类之 天 性 的 微 弱 方 面 ， 也 不 具有 绘 画 或 音 乐 的 那 种 华 丽 的装 饰

37、， 而 是 一 种 纯 净 而 崇 高的 美 ， 以 致 能 够 达 到 一 种 只有 伟 大 的 艺 术 才 能 显 现 的 那种 完 美 的 境 地 。 ” 英 国 哲 学 家 罗 素（ 1872-1970） l诗 歌l音 乐l造 型 艺 术l数 学l科 学 价 值 的 评 价 标 准 ：l 美 学 标 准 实 用 标 准 l判 美l析 理l庄 子 ： “ 判 天 地 之 美 ， 析 万 物 之理 。 ” l赫 胥 黎 （ 美 ） ： “ 科 学 和 艺 术 是 自 然 奖章 的 两 面 ， 一 面 是 用 感 情 来 表 达 事 物 的秩 序 ， 一 面 用 思 想 的 形 式 ， 来

38、表 达 事 物的 永 恒 秩 序 。 ”l希 腊 箴 言 ： “ 美 是 真 理 的 光 辉 ！ ”l济 慈 （ 英 ） ： “ 美 就 是 真 ， 真 就 是 美 ，这 就 是 你 所 知 道 的 和 你 应 该 知 道 的 。 ” 数 学 美 的 欣 赏l 美 观l 美 好l 美 妙l 美 思 l1 1/2+ 1/3 = 2/5 ？ （ 和 谐 的 天 性 ）l2 sin2x + cos2x =1 （ 美 观 ）l3 数 学 的 体 系 （ 完 美 ） 数 学 的 发 展 ， 人 类 的 数 学 追 求 。 1 ( )1 ( )0 ErotH c t HrotE c tdiv Ediv H

39、 麦克斯韦 文 学 作 品 中 的 数 学l 金 庸 射 雕 英 雄 传 第 29回 和 31回 中 通 过宋 元 数 学 （ 如 开 方 、幻 方 、 天 元 术 、 四 元术 、 同 余 问 题 等 ） 来刻 画 黄 蓉 才 智 过 人 的形 象 。 l 达 芬 奇 （ 意 ） 坚 持 认 为 ，绘 画 的 目 的 是 再 现 自 然 界 ，而 绘 画 的 价 值 就 在 于 精 确地 再 现 。 因 此 ， 绘 画 是 一门 科 学 ， 和 其 它 科 学 一 样 ，其 基 础 是 数 学 。l 他 指 出 ， “ 任 何 人 类 的 探究 活 动 也 不 能 成 为 科 学 ，除 非

40、这 种 活 动 通 过 数 学 表达 方 式 ， 或 者 经 过 数 学 证明 为 自 己 开 辟 道 路 。 ” 意 大 利 达 芬 奇（ 1452-1519） （ 1503）画 中 人 为 佛 罗 伦 萨 银 行家 弗 朗 斯 柯 捷 列 佐 贡多 的 妻 子 丽 莎 。 她 出 生于 1479年 ， 达 芬 奇 为她 画 像 时 正 值 丽 莎 24岁的 时 候 。 画 中 人 的 主 要神 情 是 “ 微 笑 ” ， 世 人称 之 为 “ 神 秘 的 微 笑 ” 。 （ 1494） 德 国 丢 勒（ 1471 1528） “几 何 是 一 切 绘 画的 基 础 。 ” 丢 勒 圣 徒

41、杰 罗 姆 在 书 房 (1514) 1483年 4月 6日 1520年 4月 6日 l俄 罗 斯 数 学 家 佛 明 科 作 品 随 机 过 程 l无 限 的 数l数 学 想 象 l另 外 的 世 界 l(a+b)2 = a2+ b2 (2ab) l 二 次 方 程 求 根 公 式 ， 丑 陋 但 美 好l 韦 达 定 理 ， 根 与 系 数 的 关 系l ei + 1 =0 （ 数 学 最 美 的 公 式 ） 瑞 士 数 学 家 欧 拉 （ 1707-1783） l三 条 高 交 于 一 点 （ 美 妙 ） 辅 助 线 ， 代 换 ， 变 形 ， 对 人 的 冲 击 。l 不 等 式 a

42、+ b 2 ab l高 斯 的 证 明 1+2+3+100 = 50 100 +50 =5050l赵 爽 的 勾 股 定 理 证 明 l 除 了 透 视 ， 还 有 对 称 、 黄 金 分 割 、 分 形 曲 线 等等 数 学 概 念 ， 也 都 是 绘 画 与 建 筑 等 艺 术 中 美 的源 泉 。l 尤 其 是 对 称 ， 作 为 美 的 艺 术 标 准 ， 可 以 说 是 超越 时 代 和 地 域 的 。 请 看 从 中 国 古 代 敦 煌 壁 画 到荷 兰 现 代 画 家 埃 舍 尔 的 作 品 ， 从 中 国 的 天 坛 到印 度 的 泰 姬 陵 ， 都 是 完 美 的 对 称 的

43、 杰 作 。 数 学上 刻 画 对 称 的 工 具 是 群 ， 群 论 是 现 代 数 学 的 重要 分 支 。 l分 形 曲 线 即 自 相 似 曲 线 ， 其 最 简 单 的 模型 是 所 谓 雪 花 曲 线 ， 可 以 从 一 个 正 三 角形 各 边 无 限 三 等 分 折 曲 而 得 。 通 过 计 算机 迭 代 可 以 得 到 更 为 复 杂 的 分 形 图 形 。 l分 形 几 何 是 描 述 不 规 则 现 象 的 数 学 工 具 ，而 在 计 算 机 上 产 生 出 来 的 千 变 万 化 、 美妙 神 奇 的 分 形 图 案 ， 正 在 给 人 们 带 来 高度 的 现 代

44、 艺 术 享 受 。 l 国 家 的 繁 荣 富 强 ， 关 键 在 于 高 新 的 科 技 和 高效 率 的 经 济 管 理 。l 高 技 术 是 保 持 国 家 竞 争 力 的 关 键 因 素 。l 高 新 技 术 的 基 础 是 应 用 科 学 ， 而 应 用 科 学 的 基础 是 数 学 。l 数 学 科 学 对 经 济 发 展 和 竞 争 十 分 重 要 。l 数 学 科 学 不 仅 帮 助 人 们 在 经 营 中 获 利 ， 而 且 给予 人 们 以 能 力 ， 包 括 直 观 思 维 、 逻 辑 推 理 、 精确 计 算 以 及 明 确 无 误 的 判 断 。 l 高 技 术 本

45、 质 上 是 一 种 数 学 技 术 。 l J.G.Glimm(美 )不 仅 称 数 学 为 非 常 重 要 的 科学 ， 而 且 说 它 是 授 予 人 以 能 力 的 技 术 。l 他 说 ： “ 数 学 对 经 济 竞 争 力 至 为 重 要 ， 数 学是 一 种 关 键 的 普 遍 适 用 的 ， 并 授 予 人 以 能 力的 技 术 。 ”l 时 至 今 日 ， 数 学 已 兼 有 科 学 与 技 术 双 重 品 质 ，这 是 其 它 学 科 所 难 的 ， 不 可 不 知 。 l不 同 的 解 释l对 于 同 样 的 数 据 ， 可 以 得 出 不 同 的 函 数 ，画 出 不

46、同 的 图 像 。l香 港 某 厂 业 绩 年 份 90 91 92股 东 红 利 5万 7.5万 10万工 资 总 额 10万 12.5万 15万 老 板 ： 工 资 与 股 红 同 步 平 行 增 长 工 会 主 席 ： 股 红 增 长 100%， 而 工 资 只 增 长 50%工 人 ： 工 资 增 长 远 低 于 股 红 增 长 l数 学 不 仅 是 自 然 科 学 的 基 础 ， 而 且 也 是一 切 重 大 技 术 革 命 的 基 础 。 20世 纪 最 伟大 的 技 术 成 就 之 一 是 电 子 计 算 机 的 发 明与 应 用 ， 它 使 人 类 进 入 了 信 息 时 代

47、。 然而 ， 无 论 是 计 算 机 的 发 明 ， 还 是 它 的 广泛 使 用 ， 数 学 都 起 着 基 础 作 用 。 l例 如 ， 在 当 今 的 计 算 机 的 重 大 应 用 中 都包 含 着 数 学 的 理 论 与 技 术 。 数 学 和 计 算机 技 术 的 结 合 形 成 了 数 学 技 术 ， 数 学 技术 成 了 许 多 高 科 技 的 核 心 。 甚 至 像 数 论这 样 过 去 认 为 没 有 实 际 应 用 的 学 科 ， 在信 息 安 全 中 也 有 了 突 破 性 的 应 用 ， 如 公开 密 钥 体 制 的 建 立 等 等 。 l密 码 研 究 涉 及 国

48、家 核心 利 益l数 学 是 密 码 学 的 根 基 l 日 本 的 “ 帝 国 海 军 之 花l 海 军 大 将l 1943年 被 美 军 战 机 击 落l 日 本 人 用 JN25密 码 发 出 ：“ 联 合 舰 队 司 令 官 依 照 以 下 日 程 视 察 美 国 已 经 能 够 破 译 慈 密 码4月 17日 ， 罗 斯 福 午 餐 桌 上 放 着 破 译 的 电 报 ：“ 在 战 场 上 大 将 和 士 兵 没 有 区 别 ” 4月 18日 ， 按 照 电 报 的 时 间 ， 美 国 战 机 击 落 山 本的 座 机 。 战 斗 历 时 3分 钟 。 英 国 布 莱 奇 利 庄 园

49、 英 国 数 学 家 图 灵（ 1912-1954） l 1949年 香 农 （ 美 ） 1916-2001） 发 表 保 密 系统 的 信 息 理 论 ， 宣 告 “ 科 学 密 码 学 ” 的 诞 生 。l 1975年 出 现 DES（ Data Encryption Standard)的 美 国 国 家 标 准 。 用 于 非 军 事 用 途 的 密 码 保 护 。它 公 开 加 密 算 法 ， 只 保 留 解 密 的 钥 匙 。l 64位 二 进 数 码 ， 8个 字 节 ， 最 后 一 位 是 检 验 码实 际 上 是 7个 数 码 ， 一 共 7X8 =56位 。l 加 密 方 法

50、 公 开 ， 你 仍 然 找 不 到 解 密 钥 匙 。l 1997年 ， M桑 德 斯 动 员 大 量 电 脑 爱 好 者 ， 226台 计 算 机 联 合 工 作 ， 终 于 破 译 了 。 l2004年 ， 山 东 大 学 王 小 云 教 授 （ 数 论 专家 ） 她 破 解 了 一 直 在 国 际 上 被 广 泛 应 用的 两 大 密 码 算 法 MD5、 SHA-1 l王 选 的 汉 字 激 光 照 排 印 刷 技 术l数 字 化 电 视 大 战l小 波 分 析 l模 拟 电 视 ： 电 信 号 （ 强 弱 ） 传 送 到 用 户 。l数 字 电 视 ： 将 电 视 画 面 用 一

51、串 数 字 传 送给 用 户 ， 用 户 根 据 这 些 数 字 恢 复 画 面 。l日 本 投 资 100亿 美 圆 ， 搞 模 拟 高 清 晰 度 电视 。l 1995年 ， 美 国 麻 省 理 工 学 院 公 布 数 字 电视 方 案 ， 电 视 制 式 领 导 权 落 入 美 国 手 中 。 l比 利 时 女 数 学 家Daubechies 发 现 20世 纪 末的 一 项 重 大 数 学 技 术 。 l PAL制 的 扫 描 格 式 确 定 为 ： 水 平 像 素 垂 直 方 向 的 水 平 扫 描 线 720 625 = 45万 个 点 。l 每 秒 需 要 传 送 20个 画 面

52、 。 如 果 每 点传 过 去 ， 时 间 不 允 许 。l 数 据 压 缩 是 一 个 关 键 的 课 题 。l 王 选 的 汉 字 印 刷 革 命 ， 是 将 汉 字 排版 中 的 数 据 作 了 压 缩 ， 才 能 取 得 成功 。 王 选 （ 1937-2006） l定 义 域 ： 45 万 个 点l每 个 点 x 对 应 f(x) 色 彩 亮 度 （ 二 进制 的 8个 数 字 ）l传 送 一 个 画 面 ， 要 将 45万 个 （ 二 进 制数 组 ） 传 过 去 。 太 难 了 。l怎 样 压 缩 呢 ？ l 一 个 函 数 f(x)是 一 条 曲 线 （ 例 如 45万 个 点

53、 ）l如 果 能 用 10次 多 项 式 a10 x10 + a9 x9 +a8 x8 + +a1x + a0 加 以 近 似 ， 而 且 近 似 得 很 好 。 那 么 我 只要 传 送 11个 数 字 就 够 了 。 100次 多 项 式 也只 要 101个 数 字 就 够 了 。 雷 达 接 受 的 信 号 仪 器 分 析 频 谱l 其 实 是 两 个 波 迭 加 的 结 果 （ 来 自 航 母 和 潜 艇 ）l f(x) = sin (2 50 x) + sin (2 100 x) + 噪 声l 描 写 上 述 图 形 ， 基 本 上 只 要 两 个 数 据 就 行 了（ 50， 10

54、0） 。 l 多 项 式 可 以 近 似 ， 但 是 非 常 慢l 三 角 函 数 （ 波 ） 很 好 ， 可 是 在 一 些 节 点 误 差很 大 。 l 比 利 时 女 数 学 家 Daubechies 给 出 了 一 族 曲 线作 基 础 ， 用 它 们 很 快 就 能 近 似 ， 而 且 贴 近 得非 常 好 。 这 族 函 数 叫 做 小 波 。 把 一 个 函 数 分解 为 若 干 个 小 波 的 组 合 ， 只 要 传 送 这 几 个 数据 过 去 ， 对 方 接 收 以 后 ， 立 即 恢 复 就 行 了 。l 电 视 革 命 依 赖 数 学 的 进 步 ！ l1992年 联

55、合 国 教 科 文 组 织 在 里 约 热 内 卢宣 布 “ 2000年 是 世 界 数 学 年 ” ， 其 目 的在 于 加 强 数 学 与 社 会 的 联 系 。l里 约 热 内 卢 宣 言 指 出 ： “ 纯 粹 数 学 与 应用 数 学 是 理 解 世 界 及 其 发 展 的 一 把 主 要钥 匙 。 ” lA.Kaplan说 ： “ 由 于 最 近 20年 的 进 步 ，社 会 科 学 的 许 多 领 域 已 经 发 展 到 不 懂 数学 的 人 望 尘 莫 及 的 阶 段 。 ”lA.N.Rao更 指 出 ： “ 一 个 国 家 的 科 学 的 进步 可 以 用 它 消 耗 的 数

56、 学 来 度 量 。 ” l科 学 技 术 的 发 展 ， 已 造 成 了 巧 干 比 仅 仅苦 干 更 为 重 要 的 世 界 经 济 。 而 巧 干 对 人们 的 智 力 则 提 出 了 更 高 的 要 求 。 他 们 要能 吸 收 新 的 想 法 、 能 适 应 各 种 变 化 。 对复 杂 性 事 件 能 发 觉 其 模 式 并 且 能 解 决 非常 规 的 问 题 。 这 些 要 求 不 只 是 需 要 会 计算 （ 现 在 这 主 要 由 机 器 来 做 ） ， 而 是 要能 够 数 学 地 思 考 一 切 。 数 学 成 为 各 种 工作 的 先 决 条 件 。 l美 国 人 已

57、 经 意 识 到 ： 如 今 人 们 比 过 去 任何 时 候 都 需 要 为 生 活 而 思 考 ， 人 们 比 过去 任 何 时 候 都 更 需 要 数 学 地 思 考 。 高 新技 术 的 迅 速 发 展 ， 已 经 使 当 今 的 工 作 场所 “ 数 学 化 ” 。l然 而 ， 由 于 缺 乏 数 学 能 力 ， 许 多 现 在 的人 们 （ 包 括 学 生 ） 没 有 为 未 来 的 工 作 做好 准 备 ， 甚 至 没 有 为 现 在 的 工 作 做 好 准备 。 但 是 ， 数 学 已 经 成 为 并 将 更 加 成 为机 遇 和 职 业 的 关 键 。 l 包 括 ： 建 立

58、 模 型 、 抽 象 化 、 最 优 化 、 逻 辑 分 析 、从 数 据 进 行 推 断 ， 以 及 运 用 符 号 等 。l 它 们 是 普 遍 适 用 并 且 强 有 力 的 思 考 方 式 。l 应 用 这 些 数 学 思 考 的 方 式 的 经 验 构 成 了 数 学 能力 在 当 今 这 个 技 术 时 代 日 益 重 要 的 一 种 智力 ， 它 使 人 们 能 批 判 地 阅 读 ， 能 识 别 谬 误 ， 能探 察 偏 见 ， 能 估 计 风 险 ， 能 提 出 变 通 办 法 。 数学 能 使 我 们 更 好 地 了 解 我 们 生 活 在 其 中 的 充 满信 息 的 世

59、 界 。 l数 学 的 观 念 也 在 众 多 的 不 同 层 次 上 影响 着 我 们 的 生 活 方 式 和 工 作 方 式 。l首 先 ， 诸 如 比 较 货 款 的 优 劣 ， 计 算 保险 金 额 ， 计 算 单 价 ， 看 懂 按 比 例 尺 画的 图 ， 理 解 各 种 通 货 膨 胀 率 的 后 果 等等 。 这 些 能 力 会 直 接 带 来 实 际 利 益 。 l又 如 ， 风 险 评 估 （ 疾 病 、 汽 车 事 故等 ） ， 对 于 个 人 、 群 体 ， 乃 至 对 于 作为 整 体 的 人 类 来 说 ， 已 成 为 不 可 缺 少的 生 活 内 容 ， 有 了

60、数 学 我 们 才 能 作 出合 理 的 决 策 。l概 率 方 法 是 进 行 这 类 评 价 的 一 种 行 之有 效 的 手 段 。 概 率 概 念 使 我 们 得 以 用一 种 批 评 的 眼 光 来 检 查 数 据 和 进 行 推测 。 寻 求 概 率 意 义 上 的 理 解 应 该 是 发展 一 般 性 评 判 技 能 的 一 个 关 键 因 素 。 l其 次 ， 关 于 物 价 、 税 率 、 交 通 和 公 共 卫生 的 重 大 问 题 的 争 论 常 常 集 中 在 用 数 字表 述 出 来 的 科 学 问 题 上 。 害 怕 数 字 或 不能 从 数 字 作 出 推 理 的

61、 公 众 是 不 能 辨 别 公共 政 策 中 的 合 理 主 张 和 不 顾 后 果 的 主 张的 。l理 想 地 说 ， 数 学 教 育 和 数 学 大 众 化 应 有助 于 创 造 “ 有 见 识 的 公 民 ” 。 美 国 第 三任 总 统 曾 称 “ 有 见 识 的 公 民 ” 为 民 主 的唯 一 适 当 的 基 础 。 l再 次 ， 能 改 善 思 维 的 品 质 ， 提 高 思 维 的技 能 。l通 常 人 们 对 事 物 的 认 识 都 是 凭 借 自 己 已有 的 经 验 对 事 物 进 行 一 种 定 性 的 思 考 ，很 少 考 虑 事 物 中 量 的 关 系 。 然

62、而 ， 不 知道 事 物 中 所 包 含 的 量 的 关 系 ， 就 很 容 易构 想 出 表 面 上 合 乎 逻 辑 而 实 际 上 荒 谬 无理 的 论 点 来 。 l最 后 ， 数 学 作 为 一 种 主 要 的 智 力 活 动的 传 统 ， 作 为 一 门 因 其 优 美 不 亚 于 别的 任 何 一 门 科 学 而 受 到 赏 识 。 它 是 我们 必 须 传 给 后 代 的 人 类 文 化 遗 产 的 最美 好 的 部 分 。l只 有 把 数 学 看 成 人 类 探 索 的 一 部 分 ，人 们 才 能 正 确 地 认 识 21世 纪 的 深 奥 的研 究 工 作 的 价 值 。

63、如 同 语 言 、 宗 教 和音 乐 一 样 ， 数 学 也 是 人 类 文 化 的 一 个影 响 全 局 的 部 分 。 l对 于 社 会 的 经 济 和 政 治 结 构 来 说 ， 数 学经 验 的 这 些 层 次 形 成 了 一 种 数 学 文 化 的源 泉 ， 尽 管 这 种 源 泉 一 般 说 是 隐 藏 在 公众 视 线 之 外 的 ， 它 与 科 学 和 社 会 提 出 的挑 战 相 呼 应 ， 而 且 经 常 地 改 变 着 。l我 们 现 在 正 处 于 一 个 变 化 最 活 跃 的 时 期 。数 学 的 力 量 提 供 给 人 们 抓 住 机 会 ， 迎 接挑 战 的 钥

64、 匙 。 l20世 纪 70年 代 末 ， 美 国 国 家 研 究 委 员 会正 式 提 出 ， 美 国 的 扫 盲 任 务 已 转 变 为 扫数 学 盲 。l1989年 ， 美 国 国 家 研 究 委 员 会 发 表 人人 关 心 数 学 教 育 的 未 来 一 书 ， 书 中 重点 强 调 ： “ 我 们 正 处 在 国 家 由 于 数 学 知识 而 变 得 在 经 济 上 和 种 族 上 都 被 分 裂 的危 险 之 中 。 ” l 并 解 释 道 ： “ 除 了 经 济 以 外 ， 对 数 学 无 知 的社 会 和 政 治 后 果 给 美 国 民 主 政 治 的 生 存 提 出 了惊

65、恐 的 信 号 。 因 为 数 学 掌 握 着 我 们 的 基 于 信 息的 社 会 的 领 导 能 力 的 关 键 ， 具 有 数 学 读 写 能 力的 人 与 不 具 有 这 种 能 力 的 人 之 间 的 差 距 越 来 越大 ， 从 种 族 和 经 济 的 范 围 上 ， 其 程 度 是 惊 人 地一 致 。 我 们 冒 着 变 成 一 个 分 裂 的 国 家 的 危 险 ，其 中 数 学 知 识 支 持 着 多 产 的 、 技 术 强 大 的 精 英阶 层 ， 而 受 赡 养 着 、 半 文 盲 的 成 年 人 、 不 相 称的 西 班 牙 人 和 黑 人 ， 却 发 现 他 们 远

66、 远 不 具 备 经济 和 政 治 的 能 力 。 这 必 须 纠 正 过 来 ， 否 则 没 有数 学 基 本 能 力 的 人 和 文 盲 将 迫 使 美 国 崩 溃 。 ” l我 们 知 道 ， 语 言 的 读 写 能 力 是 非 常 重 要的 。 一 个 文 盲 是 没 有 读 写 能 力 的 ， 或 者只 会 写 自 己 的 名 字 。 他 很 难 在 社 会 上 找到 重 要 的 工 作 。 现 在 数 学 的 读 写 能 力 ，也 就 是 量 的 读 写 能 力 正 在 提 到 我 们 的 眼前 。 现 代 社 会 的 许 多 信 息 是 用 量 的 方 式提 供 的 ， 因 而 作 为 一 个 现 代 人 ， 用 量 的方 式 去 思 维 ， 去 推 理 和 判 断 成 为 一 种 基本 能 力 。 l1999年 美 国 出 版 了 一 本 教 材 名 叫 “ 应 用与 理 解 数 学 ” （ Using and Understanding Mathematics.by Jeffrey O.Bennett,and William L.Briggs） 。 在 书 的 第 三