高等数学--孤立奇点

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1、单击此处编辑母版标题样式,,单击此处编辑母版文本样式,,第二级,,第三级,,第四级,,第五级,,,*,第一节 孤立奇点,一、孤立奇点的概念,二、函数的零点与极点的关系,三、函数在无穷远点的性态,四、小结与思考,,1,,一、孤立奇点的概念,定义,,如果,函数,在,,不解析,,,但,在,的某一去心邻域,内处处解析,,,则称,为,的,孤立奇点,.,例,1,是函数,的孤立奇点,.,是函数,的孤立奇点,.,注意,:,,孤立奇点一定是奇点,,,但奇点不一定是孤,立奇点,.,,2,,例,2,,指出函数,在点,的奇点特性,.,解,即在,的不论怎样小的去心邻域内,,,的奇点存在,,,函数的奇点为,总有,不是

2、孤立奇点,.,所以,,3,,孤立奇点的分类,依据,在其孤立奇点,的去心邻域,内的洛朗级数的情况分为三类,:,1,．,可去奇点,1,．可去奇点,; 2,．极点,; 3,．本性奇点,.,如果洛朗级数中不含,,的负幂项,,,那末孤立奇点,,称为,,的可去奇点,.,1),定义,即：,z0,是,f(z,),而不是其洛朗展式的奇点,,4,,其和函数,为在,解析的函数,.,说明,: (1),(2),无论,在,是否有定义,,,补充定义,则函数,在,解析,.,,5,,,2),可去奇点的判定,(1),由定义判断,:,的洛朗级数无负,在,如果,幂项则,为,的可去奇点,.,(2),,判断极限

3、,若极限存在且为有限值,,,则,为,的可去奇点,.,,6,,如果补充定义,:,时,,,那末,在,解析,.,例,3,中不含负幂项,,,是,的可去奇点,.,,7,,例,4,说明,为,的可去奇点,.,解,,所以,为,的可去奇点,.,无负幂项,另解,,的可去奇点,.,为,,8,,2.,极点,,其中关于,的最高幂为,即,阶极点,.,那末孤立奇点,称为函数,的,或写成,1),定义,,如果洛朗级数中只有有限多个,的,负幂项,,,,9,,说明,:,1.,2.,特点,:,(1),(2),的极点,,,等价于,为函数,如果,例,5,有理分式函数,是二阶极点,,,是一阶极点,.,,10,,2),极点的判定方法,的负幂

4、项为有,的洛朗展开式中含有,限项,.,在点 的某去心邻域内,其中 在 的邻域内解析,,,且,(1),由定义判别,(2),由定义的等价形式判别,(3),利用极限,判断,,.,,11,,课堂练习,求,的奇点,,,如果是极点,,,指出它的,阶数,.,答案,,12,,本性奇点,3.,如果洛朗级数中,含有无穷多个,那末孤立奇点,称为,的本性奇点,.,的负幂项,,,例如，,含有无穷多个,z,的负幂项,特点,:,,在本性奇点的邻域内,不存在且不,为,同时,不存在,.,,13,,综上所述,:,孤立奇点,①,可去奇点,②,m,阶极点,③,本性奇点,洛朗级数特点,存在且为,,有限值,不

5、存在,,且不为,无负幂项,含无穷多个负幂项,含有限个负幂项,关于,的最高幂,为,,14,,二、函数的零点与极点的关系,1.,零点的定义,不恒等于零的解析函数,如果,能表示成,其中,在,解析且,m,为某一正整数,,,那末,称为,的,,m,级零点,.,例,6,注意,:,,不恒等于零的解析函数的零点是,孤立,的,.,,15,,2.,零点的判定,零点的充要条件是,证,,(,必要性,),由定义,:,设,的泰勒展开式为,:,如果,在,解析,,,那末,为,的,级,如果,为,的,级零点,,16,,其中,展开式的前,m,项系数都为零,,,由泰勒级数的系数,公式知,:,并且,充分性证明略,.,,17,,(1),由

6、于,知,是,的一级零点,.,课堂练习,是五级零点,,,是二级零点,.,知,是,的一级零点,.,解,,(2),由于,答案,例,7,求以下函数的零点及级数,:,(1),(2),的零点及级数,.,求,,18,,3.,零点与极点的关系,定理,如果,是,的,m,级极点,,,那末,就是,的,,m,级零点,.,反过来也成立,.,证,如果,是,的,m,级极点,,,则有,当 时,,,函数,在,解析且,,19,,由于,只要令,,那末,的,m,级零点,.,就是,反之如果,,的,m,级零点,,,是,那末,当 时,,,解析且,所以,是,的,m,级极点,.,,20,,说明,此定理为

7、判断函数的极点提供了一个较为,简便的方法,.,例,8,函数,有些什么奇点,,,如果是极点,,,指出,它的级,.,解,,函数的奇点是使,的点,,,这些奇点是,是孤立奇点,.,的一级极点,.,即,,21,,解,,解析且,所以,不是二级极点,,,而是一级极点,.,是,的几级极点,?,思考,例,9,问,是,的二级极点吗,?,注意,:,不能以函数的表面形式作出结论,.,,22,,三、函数在无穷远点的性态,1.,定义,如果函数,在无穷远点,的去心,邻域,内解析,,,则称点,为,的孤,立奇点,.,R,x,y,o,,23,,令变换,规定此变换将,:,映射为,扩充,z,平面,扩充,t,平面,映射为,映射为,映射

8、为,,24,,结论,:,,在去心邻域,内对函数,的研究,在去心邻域,内对函数,的研究,因为,在去心邻域,内是解析的,,,所以,是,的孤立奇点,.,规定,:,,m,级奇点或本性奇点,.,的可去奇点、,m,级奇点或,本性奇点,,,如果,t=,0,,是,是,的可去奇点、,那末就称点,,25,,1),不含正幂项,;,2),含有有限多的正幂项且,为最高正幂,;,3),含有无穷多的正幂项,;,那末,是,的,1),可去奇点,;,2),m,级极点,;,3),本性奇点,.,判别法,1 (,利用洛朗级数的特点,),2.,判别方法,:,在,内的洛朗级数中,:,如果,,26,,例,10 (1),函数,在圆环域,内的

9、洛朗展开式为,:,不含正幂项,所以,是,的可去奇点,.,(2),函数,含有正幂项且,z,为最高正,幂项,,,所以,是,的,m,级极点,(,m,=1).,,27,,(3),函数,的展开式,:,含有无穷多的正幂项,所以,是,的本性奇点,.,课堂练习,的奇点及其,类型,.,说出函数,答案,,28,,判别法,2 : (,利用极限特点,),如果极限,1),存在且为有限值,;,2),无穷大,;,3),不存在且不为无穷大,;,那末,是,的,1),可去奇点,;,2),m,级极点,;,3),本性奇点,.,1),没有正幂次项,2),正幂次项最高次数为,m,次,3),正幂次项有无穷项,对应,f(z,),的洛朗级数：,,29,,例,11,函数,在扩充复平面内,有些什么类型的奇点,?,如果是极点,,,指出它的级,.,解,,函数,除点,外,,,所以这些点都是,的一级零点,,,故这些点中除,1, -1, 2,外,,,都是,的三级极点,.,内解析,.,在,,30,,所以,那末,是,的可去奇点,.,,,因为,,31,,不是,的孤立奇点,.,所以,,32,,四、小结与思考,理解孤立奇点的概念及其分类,;,掌握可去奇点、极点与本性奇点的特征,;,熟悉零点与极点的关系,.,,33,,思考题,,34,,思考题答案,放映结束，按,Esc,退出,.,,35,,