基本初等函数讲义(超级全)

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1、一、一次函数一次k kxb k 0函数k ， bk 0k0符号b 0b 0b 0b 0b 0b 0yyyyyy图象OxOxOx性质y 随 x 的增大而增大二、 二次函数（1）二次函数解析式的三种形式OxOxOxy 随 x 的增大而减小一般式：f ( x)ax2bxc(a0)顶点式：两根式：f ( x)a( xh)2k (a0)f ( x)a(xx1 )( xx2 )(a0)（ 2）求二次函数解析式的方法已知三个点坐标时，宜用一般式已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式若已知抛物线与x 轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求f (x) 更方便（3）二次函数图

2、象的性质f x ax2bx c a 0a 0a 0图像bbxx2a2a定义域,对称轴xb2a顶点坐标b, 4ac b22a4a1值域4acb2, 4acb24a4a,b递减,b递增2a2a单调区间b ,递增b ,递减2a2a. 二次函数 f ( x)ax2bxc(a0) 的图象是一条抛物线，对称轴方程为xb , 顶2a点坐标是b4acb2(,)2a4a当 a0 时，抛物线开口向上，函数在(,b 上递减，在 b ,) 上递增，当2a2axb时， fmin (x)4acb20 时，抛物线开口向下，函数在(,b 上递4a；当 a2a2a增，在 b ,) 上递减，当 xb 时， f max ( x)4

3、ac b22a2a4a三、幂函数（1）幂函数的定义一般地，函数yx叫做幂函数，其中x 为自变量，是常数（2）幂函数的图象过定点：所有的幂函数在(0,) 都有定义，并且图象都通过点(1,1)2四、指数函数（1）根式的概念： 如果 xna, aR, xR, n1，且 nN，那么 x 叫做 a 的 n 次方根（2）分数指数幂的概念mn am ( a正数的 正分数指数幂 的意义是： a n0, m, nN , 且 n1) 0 的正分数指数幂等于 0mm正数的 负分数指数幂 的意义是： an(1 ) nn (1)m (a 0, m, nN , 且 n 1) 0aa的负分数指数幂没有意义（3）运算性质 a

4、rasar s( a0, r , s R) ( ar )sars (a 0, r , s R) (ab)rrbr (a0,b0,r)aR（4）指数函数函数名称指数函数定义函数 yax (a0 且 a1) 叫做指数函数a 10a 1yya xy a xy图象y 1y 1(0,1)(0,1)OxOx定义域R值域(0, )过定点图象过定点(0,1) ，即当 x0 时， y1奇偶性非奇非偶单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数ax1( x 0)a x1(x 0)函数值的ax1( x 0)a x1( x 0)变化情况ax1( x 0)a x1( x 0)a 变化对图象的影响在第一象限内，a 越大图象

5、越高；在第二象限内，a 越大图象越低3五、对数函数（1）对数的定义若 axN (a0, 且 a1) ，则 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作xlog a N ，其中 a叫做底数， N 叫做真数负数和零没有对数对数式与指数式的互化：xlog a Na xN (a 0, a1, N0) （2）几个重要的对数恒等式log a 1 0 ， loga a1 ， log a abb （3）常用对数与自然对数常用对数： lg N ，即 log 10N ；自然对数： ln N ，即 log e N （其中 e 2.71828）（4）对数的运算性质如果 a0, a1,M0, N 0，那么加法： log a

6、Mlog a Nlog a ( MN )减法： log a Mlog a N log aMN数乘： n log a Mlog aM n (nR) alog a NN log ab M n n log a M (b0, nR)b换底公式： log aNlogbN (b0, 且 b1)logb a（ 5）对数函数函数名称对数函数定义函数 ylog a x(a0 且 a1) 叫做对数函数a10a 1x1x1yy log a xyy log a x图象O(1,0)x(1,0)Ox定义域(0,)值域R4过定点图象过定点(1,0) ，即当 x1时， y0 奇偶性非奇非偶单调性在 (0,) 上是增函数在 (

7、0,) 上是减函数log a x0(x1)logax0(x1)函数值的log a x0(x1)logax0( x1)变化情况log a x0(0x 1)logax0(0x 1)a 变化对 图象的影响在第一象限内，a 越大图象越靠低；在第四象限内，a 越大图象越靠高(6) 反函数的概念设函数yf (x) 的定义域为A ，值域为C ，从式子yf (x) 中解出 x ，得式子x( y) 如果对于 y 在 C 中的任何一个值， 通过式子 x( y) ， x 在 A 中都有唯一确定的值和它对应， 那么式子 x( y) 表示 x 是 y 的函数， 函数 x( y) 叫做函数 yf (x) 的反函数，记作

8、xf 1( y) ，习惯上改写成 y f1 ( x) （7）反函数的求法确定反函数的定义域， 即原函数的值域； 从原函数式 yf ( x) 中反解出 xf 1 ( y) ；将 xf 1 ( y) 改写成 yf1( x) ，并注明反函数的定义域（8）反函数的性质原函数 yf (x) 与反函数 yf 1( x) 的图象关于直线yx 对称函数 yf (x) 的定义域、值域分别是其反函数y f 1 (x) 的值域、定义域若 P(a,b) 在原函数 yf (x) 的图象上，则P (b, a) 在反函数 yf 1( x) 的图象上一般地，函数yf ( x) 要有反函数则它必须为单调函数例题一、求二次函数的

9、解析式例 1.抛物线 yx 24 x4 的顶点坐标是（）A （ 2， 0）B（ 2， -2）C（ 2， -8）D（ -2，-8）例 2已知抛物线的顶点为（1，2），且通过（ 1， 10），则这条抛物线的表达式为（）A y 3 x 12B y 3 x 1222C. y 3 x 12D. y2223 x 15例 3.抛物线 y= x22mx m 2 的顶点在第三象限，试确定m 的取值范围是（）A m 1 或 m 2B m 0 或 m 1C 1 m 0D m 1例 4.已知二次函数fx 同时满足条件： （ 1） f 1 x f 1x ；（ 2） f x 的最大值为15；（3） f x0 的两根立方和

10、等于 17 求 f x的解析式二、二次函数在特定区间上的最值问题例 5. 当2x2 时，求函数yx22x3 的最大值和最小值例 6当 x0 时，求函数yx(2x) 的取值范围例 7当 tx t 1 时，求函数 y1 x2x5的最小值 (其中 t 为常数 )226三、幂函数例 8.下列函数在,0 上为减函数的是（）1 y x2 y x3 y x 2 y x3例 9.下列幂函数中定义域为x x0 的是（）2323 y x 3 yx 2 y x 3 y x 22例 10.讨论函数y x 5 的定义域、值域、奇偶性、单调性，并画出图象的示意图例 10已知函数 y 4 152x x2 （ 1）求函数的定

11、义域、值域；（ 2）判断函数的奇偶性；（ 3）求函数的单调区间7四、指数函数的运算例 11.计算 (2) 212的结果是（）A 、 2 B 、 1 C、 2D 、 12244369639例 12.aa等于（）A 、 a16B、 a8 C、 a4D、 a2例 13.若 3a8,3ba2b5 ，则 33五、指数函数的性质例 14. M y | y2x , P y | yx 1 ，则 MP（）A. y | y1B. y | y1C. y | y 0 D. y | y 0例 15.求下列函数的定义域与值域：4（ 2） y ( 2)|x|（1）y 2x 43例 16.函数 yax 23a 0且a 1 的

12、图像必经过点()A (0， 1)B (1，1)C(2 ，3) D (2， 4)x21例 17 求函数 y=的定义域和值域，并讨论函数的单调性、奇偶性.8五、对数函数的运算例 18.已知 3a2 ，那么 log 3 82log 36 用 a 表示是（）A 、 a 2B、 5a 2C、 3a(1 a) 2D、 3a a2例 19.2log a ( M2N )log a Mlog a N ，则 M的值为（）A 、 1 B、 4 C、 1ND、 4 或 141例 20.已知 log 7 log 3 (log 2 x)0 ，那么 x2 等于（）A 、 1 B、1C、21D 、 1332323例 21.l

13、og a21，则a 的取值范围是（）3A 、 0, 2 U 1,B、 2 ,C、 2 ,1D、 0, 2 U 2 ,33333五、对数函数的性质例 22.下列函数中，在0,2上为增函数的是（）A 、 ylog 1(x1) B、 ylog2x212C、 ylog 21D、 ylog 1 ( x24x5)x2例 23.函数 ylg21的图像关于（）1xA 、 x 轴对称 B、 y 轴对称 C、原点对称 D 、直线 yx 对称例 23.求证函数 f ( x)lgx21x是（奇、偶）函数。9课下作业1.已知二次函数y=ax2+bx+c, 如果 abc,且 a+b+c=0,则它的图象可能是图所示的 (

14、)yyyyO 1 xO 1xO 1 xO1 xABCD2.对抛物线 y= 2( x2) 23 与 y= 2(x2)2 4 的说法不正确的是（）A 抛物线的形状相同B抛物线的顶点相同C抛物线对称轴相同D抛物线的开口方向相反3. 二次函数 y= x2 2x 1图像的顶点在（）A 第一象限B 第二象限C第三象限D第四象限4. 如图所示，满足a 0,b 0 的函数 y= ax2bx 的图像是（）5如果抛物线 y= x26xc 的顶点在 x 轴上，那么c 的值为（）A 0B 6C3D 96.一次函数y ax b 与二次函数 y ax2bx c 在同一坐标系中的图象大致是 ()b7.在下列图象中，二次函数

15、y=ax2 bx c 与函数 y=( a)x 的图象可能是（）108若函数 f(x) (a 1)x2 (a2 1)x 1是偶函数，则在区间0， )上 f(x) 是()A 减函数B增函数C常函数D可能是减函数，也可能是常函数9已知函数 yx2 2x 3 在闭区间 0，m上有最大值3，最小值 2，则 m 的取值范围是 ()A 1， ) B 0,2C 1,2D ( ， 210、使 x2 x3 成立的 x 的取值范围是（）A 、 x 1 且 x0B 、 0 x 1C、x 1D 、x 111、若四个幂函数 y x a，y xb ，y xc ，y x d 在同一坐标系中的图象如右图，则 a、b、c、 d

16、的大小关系是（）A 、d c baB 、 a b c dC、 d c a bD、 a b dcf xxm 1()12若幂函数在 (0， +)上是减函数，则A m 1B m 1C m =lD不能确定n13若点 A a, b 在幂函数yxnQ 的图象上，那么下列结论中不能成立的是a0a 0a0a0A b 0B b 0 b 0D b 014若函数 f(x) log 1(x2 6x 5)在 (a， )上是减函数，则a 的取值范围是 ()2A (， 1B (3， )C( ， 3)D 5， )15、设集合 S y | y3x, x R, T y | yx21, x R ，则 S I T 是（）A 、B 、

17、 TC、 SD、有限集16、函数 y 2log 2x( x 1) 的值域为（）2,B、,2A 、y140.9 , y2 80.48 , y3117、设22,3,C、D、1.5，则（）A 、 y3y1y2B、 y2y1y3C、 y1 y3 y2D、 y1 y2y31118、在blog ( a 2)(5a) 中，实数 a 的取值范围是（）A 、 a5或a 2B、 2 a3或3 a 5C、 2 a 5D、 3 a 419、计算 (lg2 ) 2(lg5)22lg2 ? lg5 等于（）A 、 0B 、 1C、2D 、320、已知 alog 3 2 ，那么 log 3 82log 3 6 用 a 表示

18、是（）A 、 5a 2B、 a 2C、 3a(1 a) 2D、 3a a2 121、已知幂函数f(x) 过点（ 2，2），则 f(4)的值为（）2A 、 1B、 1C、 2D 、 82二、填空题1. 抛物线 y8x2(m 1)xm 7 的顶点在 x 轴上，则 m_.32.函数 yx2的定义域为 _.3.设 fxm2xm 1，如果 fx 是正比例函数，则m=_ , 如果 fx 是反比例函数，则 m=_, 如果 f(x) 是幂函数，则 m=_ 14.若 ( x 1)4 有意义，则 x_5.当 3x5 y时，25 y230xy9x2_6.若 5x25x25 y ，则 y 的最小值为 _ 7、若 lo

19、g a 2m,log a 3n, a2 mn。8、函数 ylog ( x-1) (3- x) 的定义域是。9、 lg 25lg 2glg 50(lg 2) 2。10.不等式 6x 2 x 21的解集是 _.281x11.不等式32x 的解集是 _.312.若 10x3,10 y4 ，则 10 x y_.log3 x，0)1(x13、已知函数f (x)2x，0), 则 ff( )的值为(x914、函数 f (x )lg (3x2)2 恒过定点12三、简答题1.求下列各式中的x 的值(2) 11 x(1)ln (x 1) 12 031p23f（ x） x 2p2、已知幂函数2（p Z）在（ 0， ）上是增函数，且在其定义域内是偶函数，求 p的值，并写出相应的函数f（ x）、2x2的定义域； (2)判断的奇偶性。已知函数f (x 3) lg2， (1)求f ( x)f (x)3.6x13aR ，a 2xa 2，试确定 a 的值，使为奇函数。设f ( x)( x R)f (x)4.12x5. 已知函数 f (x)log 1 (1x，（ 1）求 f(x) 的定义域；（ 2）讨论函数 f(x) 的增减性。)12214