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1、第四节第四节 计算弯曲变形的叠加法计算弯曲变形的叠加法 （Beam deflections by superposition Beam deflections by superposition）梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小梁的变形微小,且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时且梁在线弹性范围内工作时,梁在几项荷载梁在几项荷载梁在几项荷载梁在几项荷载(可以是集中力可以是集中力可以是集中力可以是集中力,集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力集中力偶或分布力)同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角同时作用下的挠度和转角,就
2、分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加就分别等于每一荷载单独作用下该截面的挠度和转角的叠加.当当当当每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向每一项荷载所引起的挠度为同一方向(如均沿如均沿如均沿如均沿w w轴方向轴方向轴方向轴方向),),其转角其转角其转角其转角是在同一平面内是在同一平面内是在同一平面内是在同一平面内(如均在如均在如均在如均在 xy xy 平面内平面内平面内平面内)时时时时,则叠加就是代数和则叠加就是代数和则叠
3、加就是代数和则叠加就是代数和.这就这就这就这就是叠加原理是叠加原理是叠加原理是叠加原理.一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理一、叠加原理 （Superposition）第四节 计算弯曲变形的叠加法 梁的变形1.1.1.1.载荷叠加载荷叠加载荷叠加载荷叠加（Superposition of loadsSuperposition of loads）多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于结构而引起多个载荷同时作用于结构而引起的变形等于每个载荷单独作用于
4、结构而引起的变形的代数和的变形的代数和的变形的代数和的变形的代数和.2.2.2.2.结构形式叠加结构形式叠加结构形式叠加结构形式叠加（逐段刚化法）（逐段刚化法）（逐段刚化法）（逐段刚化法）1.载荷叠加（Superposition of loads）例例1 图示示悬臂梁，同臂梁，同时承受集中承受集中载荷荷 F1 和和 F2 的作用。的作用。设梁的梁的抗弯抗弯刚度度为 EI，试用叠加法用叠加法计算自由端算自由端 C 的的挠度度 wC。解：解：1）在）在F1 和和单独作用下独作用下例1 图示悬臂梁，同时承受集中载荷 F1 和 F2 的2）在）在F2 和和单独作用下独作用下2）在F2 和单独作用下例例
5、2 阶梯梯悬臂梁如臂梁如图，试求自由端端求自由端端 C 的的挠度度 wC。已知。已知 BC 段段梁的抗弯梁的抗弯刚度度为为 EI、AB 段梁的抗弯段梁的抗弯刚度度为为 2EI。解：解：该梁可看做由梁可看做由悬臂梁臂梁AB和固定在横截面和固定在横截面B上的上的悬臂梁臂梁BC组成成1）令）令AB不不变形，只考形，只考虑BC变形形2）令）令BC 不不变形，只考形，只考虑AB变形形例2 阶梯悬臂梁如图，试求自由端端 C 的挠度 wC 2）令）令BC 不不变形，只考形，只考虑AB变形形（a）在）在F作用下作用下（b）在）在Me作用下作用下2）令BC 不变形，只考虑AB变形（a）在F作用下（b2）令）令B
6、C 不不变形，只考形，只考虑AB变形形2）令BC 不变形，只考虑AB变形例例3 外伸梁如外伸梁如图，试用叠加法用叠加法计算截面算截面 C 的的挠度度 wC 和和转角角 C，设梁的抗弯梁的抗弯刚度度 EI 为常量。常量。解：解：例3 外伸梁如图，试用叠加法计算截面 C 的挠度 wC例例4 如如图，在，在简支梁的一半跨度内作用均布支梁的一半跨度内作用均布载荷荷 q，试用叠加用叠加法法计算截面算截面 C 的的挠度度 wC。设梁的抗弯梁的抗弯刚度度 EI 为常量。常量。解：解：例4 如图，在简支梁的一半跨度内作用均布载荷 q，试叠加法的要点叠加法的要点 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形）叠加法适用前
7、提：线弹性、小变形3）必须画出叠加变形图）必须画出叠加变形图2）记住常用结论）记住常用结论4）掌握叠加法的常用技巧）掌握叠加法的常用技巧叠加法的要点 1）叠加法适用前提：线弹性、小变形3）必须第五节第五节 弯曲刚度计算弯曲刚度计算 一、梁的刚度条件一、梁的刚度条件 式中，式中，w 为梁的梁的许用用挠度度第五节 弯曲刚度计算 一、梁的刚度条件 式中，w2.采用合理的截面形状采用合理的截面形状选用具有用具有较高高 Iz/A 比比值的截面形状的截面形状3.减小梁的跨度减小梁的跨度结论：工字形截面较为合理结论：工字形截面较为合理二、提高梁的弯曲刚度的措施二、提高梁的弯曲刚度的措施1.合理合理选材材选用
8、用弹性模量性模量 E 较高的材料高的材料结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义结论：用高强度合金钢取代普通碳钢对于提高弯曲刚度没有意义2.采用合理的截面形状选用具有较高 Iz/A 比值的例例5 图示简支梁由图示简支梁由 No.18 工字钢制成，长度工字钢制成，长度 l=3 m，受，受 q=24 kN/m 的均布载荷作用。材料的弹性模量的均布载荷作用。材料的弹性模量 E=210 GPa，许用应，许用应力力 =150 MPa，梁的许可挠度，梁的许可挠度 w =l/400。试校核梁的强度。试校核梁的强度和刚度。和刚度。解：解：1）强度校核）强度校核最大弯矩最大弯矩查型钢表，查型钢表
9、，Wz=186 cm3，故梁的强度满足要求故梁的强度满足要求根据弯曲正应力强度条件根据弯曲正应力强度条件例5 图示简支梁由 No.18 工字钢制成，长度 l2）梁的刚度校核）梁的刚度校核查型钢表，得查型钢表，得 Iz=1660 cm4梁的最大挠度发生在中间截梁的最大挠度发生在中间截面，为面，为由于由于故梁的故梁的刚度度满足要求足要求2）梁的刚度校核查型钢表，得 Iz=1660 cm4梁的例例2 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用作用。已知。已知 F=35 kN，跨度，跨度 l=4 m，许用应力，许用应力 =160 MPa，许用挠度，许用挠度 w =l
10、/500，弹性模量，弹性模量 E=200 GPa。试选择工字钢型号。试选择工字钢型号。解：解：1）强度计算）强度计算最大弯矩最大弯矩根据梁的正根据梁的正应力力强强度条件，得梁的抗弯截面系数度条件，得梁的抗弯截面系数例2 图示工字钢简支梁，在跨中承受集中力 F 作用。已2）刚度计算）刚度计算最大挠度发生于跨中截面，为最大挠度发生于跨中截面，为根据梁的根据梁的刚度条件度条件得梁截面得梁截面对中性中性轴的的惯性矩性矩查型钢表，查型钢表，No.22a 工字钢的工字钢的 Wz=3.09 10 4 m3、Iz=3.40 10 5 m4，同时满足梁的强度和刚度要求，故可选取同时满足梁的强度和刚度要求，故可选
11、取No.22a 工字钢。工字钢。2）刚度计算最大挠度发生于跨中截面，为根据梁的刚度条件得梁截 第六节第六节 简单超静定梁简单超静定梁 4.由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。由补充方程求出多余未知力，即转为静定问题。求解简单超静定梁的基本步骤求解简单超静定梁的基本步骤 1.解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静解除多余约束，以相应的多余未知力代之作用，得到原超静定梁的相当系统；定梁的相当系统；2.根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；根据多余约束处的位移条件，建立变形协调方程；3.计算相当系统在多余约束处的相应位移，由变形协调方程得计算相当系统在多余约束处的相应位移，
12、由变形协调方程得补充方程；补充方程；第六节 简单超静定梁 4.由补充方程求出多余未知例例3 图示圆形截面梁，承受集中力图示圆形截面梁，承受集中力 F 作用作用。已知。已知 F=20 kN，跨度，跨度 l=500 mm，截面直径，截面直径 d=60 mm，材料的许用应力，材料的许用应力 =100 MPa，试校核该梁的强度。试校核该梁的强度。解：解：1）解除多余约束）解除多余约束2）建立变形协调方程）建立变形协调方程3）建立补充方程）建立补充方程4）求解多余未知力）求解多余未知力解得解得例3 图示圆形截面梁，承受集中力 F 作用。已知 F 作弯矩图作弯矩图5）强度计算强度计算最大弯矩最大弯矩根据梁的弯曲正应力根据梁的弯曲正应力强度条件强度条件 结论：该梁的强度符合要求结论：该梁的强度符合要求作弯矩图5）强度计算最大弯矩根据梁的弯曲正应力结论：该梁的
第七章弯曲变形第二节叠加法课件
