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1、1.3.2矩阵的分块矩阵的分块一、矩阵的分块对于行数和列数较高的矩阵对于行数和列数较高的矩阵 ，为了为了简化运算，经常采用简化运算，经常采用分块法分块法，使大矩阵的，使大矩阵的运算化成小矩阵的运算运算化成小矩阵的运算.具体做法是：将具体做法是：将矩阵矩阵 用若干条纵线和横线分成许多个小用若干条纵线和横线分成许多个小矩阵，每一个小矩阵称为矩阵，每一个小矩阵称为 的的子块子块，以子，以子块为元素的形式上的矩阵称为块为元素的形式上的矩阵称为分块矩阵分块矩阵.1.分块矩阵的定义：用若干条贯穿矩阵分块矩阵的定义：用若干条贯穿矩阵A的纵线和横线将的纵线和横线将A分割，分出来的每分割，分出来的每一个小矩阵称
2、为一个小矩阵称为A的子块或子矩阵，以的子块或子矩阵，以子块为元素的矩阵称为分块矩阵子块为元素的矩阵称为分块矩阵。例1：即即二、分块矩阵的运算规则二、分块矩阵的运算规则例例分块分块对角矩阵的行列式具有下述性质对角矩阵的行列式具有下述性质:分块求逆（重点）分块求逆（重点）例例3 3 设设解解(7)反分块对角阵的逆阵：反分块对角阵的逆阵：例题例题2：，求，求A-1因此，有：因此，有：例题例题3：设：设A、B均为均为可逆方阵，试证分可逆方阵，试证分块矩阵块矩阵 也可逆，且也可逆，且（用满足定义的条件证明即可）（用满足定义的条件证明即可）说明：可用此结论，求此类分块矩阵的逆阵。说明：可用此结论，求此类分
3、块矩阵的逆阵。例题例题4：定义定义1下面三种变换称为矩阵的初等行变换下面三种变换称为矩阵的初等行变换:11.4一一.初等（行初等（行/列）变换列）变换矩阵的初等变换与标准形矩阵的初等变换与标准形 同理可定义矩阵的初等列变换同理可定义矩阵的初等列变换(所用记号是所用记号是把把“r”换成换成“c”)定义定义2 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换初等变换 初等变换的逆变换仍为初等变换初等变换的逆变换仍为初等变换,且变换类且变换类型相同型相同逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换逆变换2.矩阵等价矩阵等价等价关系的性质：等价关系的性质：具有上述三条性质的关系称为等价具
4、有上述三条性质的关系称为等价3.初等变换的应用：初等变换的应用：应用应用1：定理定理3（P27）例例.对下列矩阵对下列矩阵B实施初等行变换实施初等行变换特点：特点：（1）、可划出）、可划出一条阶梯线，线一条阶梯线，线的下方全为零；的下方全为零；（2）、每个）、每个台阶台阶 只有一行，只有一行，台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面台阶数即是非零行的行数，阶梯线的竖线后面的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非的第一个元素为非零元，即非零行的第一个非零元零元注意：注意：行最简形矩阵行最简形矩阵是由方程组唯一确定的，行是由方程组唯一确定的，行阶梯形矩阵的行数也是由方程组唯一确定的阶梯形矩阵的行数
5、也是由方程组唯一确定的 行最简形矩阵行最简形矩阵再经过初等列变换，可化成再经过初等列变换，可化成标标准形准形应用应用2：说明：矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性。说明：矩阵的初等变换不改变方阵的可逆性。定理定理4（P27）行最简形矩阵行最简形矩阵例如，例如，特点：特点：所有与矩阵所有与矩阵 等价的矩阵组成的一个集合，等价的矩阵组成的一个集合，称为一个等价类，标准形称为一个等价类，标准形 是这个等价类中最简是这个等价类中最简单的矩阵单的矩阵.二二.初等方阵初等方阵(另作幻灯另作幻灯)使矩阵的初等变换变为符号的运算。使矩阵的初等变换变为符号的运算。1.初等方阵的定义：由单位阵初等方阵的定义：由单位阵
6、E经过一次初等变经过一次初等变换后得到的方阵称为初等方阵。换后得到的方阵称为初等方阵。2.（1）初等对换方阵）初等对换方阵：说明：说明：E(i,j)A 相当于对相当于对A施行互换第施行互换第i、j行行 的初等行变换。的初等行变换。AE(i,j)相当于对相当于对A施行互换第施行互换第i、j列列的初等列变换。的初等列变换。（2）初等倍乘方阵）初等倍乘方阵：（3）初等倍加方阵）初等倍加方阵：定理定理 1.4.7-1.4.81.4.3、矩阵秩的概念、矩阵秩的概念矩阵的秩矩阵的秩例例1解解例例2解解例例3 3解解计算计算A的的3阶子式，阶子式，另解另解显然，非零行的行数为显然，非零行的行数为2，此此方法
7、简单！方法简单！问题：问题：经过变换矩阵的秩变吗？经过变换矩阵的秩变吗？证证二、矩阵秩的求法 经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变有限次初等行变换矩阵的秩仍不变证毕证毕初等变换求矩阵秩的方法：初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例例4解解由阶梯形矩阵有三个非零行可知由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是则这个子式便是 的一个最高阶非零子式的一个最高阶非零子式.例例5 5解解分析：分析：三、小结(2)(2)初等变换法初等变换法1.矩阵秩的概念矩阵秩的概念2.求矩阵秩的方法求矩阵秩的方法(1)1)利用定义利用定义(把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩).(即寻找矩阵中非零子式的最高阶数即寻找矩阵中非零子式的最高阶数);思考题思考题解答答答答答相等相等.即即由此可知由此可知
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