&amp#167;94-离散傅立叶变换的性质课件

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1、1三、离散傅立叶变换（三、离散傅立叶变换（DFT)-DFT)-有限长序列的离散频谱表示有限长序列的离散频谱表示2三、离散傅立叶变换（三、离散傅立叶变换（DFT)DFT)-有限长序列的离散频谱表示有限长序列的离散频谱表示n从有限长序列的从有限长序列的DTFT到到DFTn从从DFS到到DFTnDFT的性质的性质31、从有限长序列的从有限长序列的DTFTDTFT到到DFTDFTn非周期信号的频谱都是频率的连续函数，无法用非周期信号的频谱都是频率的连续函数，无法用计算机进行计算。计算机进行计算。n离散信号的离散信号的DTFT，它是，它是 的连续周期函数，尽的连续周期函数，尽管在理论上有重要意义，但在计

2、算机上实现有困管在理论上有重要意义，但在计算机上实现有困难。为此，需要一种时域和频域上都是离散的傅难。为此，需要一种时域和频域上都是离散的傅里叶变换对，实现计算机的快速计算，这就是离里叶变换对，实现计算机的快速计算，这就是离散傅里叶变换散傅里叶变换 DFT。4能量有限、时间长度为能量有限、时间长度为L的有限长序列的的有限长序列的DTFT为为频率采样点数频率采样点数N已知，已知，2/N为定数为定数N点点DFT是有限长序是有限长序列（列（LN)的的DTFT的的N点均匀取点均匀取样值，也，也就是非周期序列就是非周期序列频谱的的样值。频率离散化频率离散化52、从、从DFS到到DFT 为了计算的方便，通

3、常将为了计算的方便，通常将1/N移到移到 中，中，而且二者所具有的物理意义和性质都相同而且二者所具有的物理意义和性质都相同 DFSDFS:62 2、从、从DFSDFS到到DFTDFTn设设 ,令令 nx(n)、X(k)分别称作分别称作 、的主值的主值DFTIDFTDFT又可看作以又可看作以有限长序列有限长序列x(n)为一个周期，进为一个周期，进行周期延拓后所行周期延拓后所形成的周期序列形成的周期序列xp(n)的离散频谱的离散频谱RN(n)为矩为矩形序形序列列 7DFSDFT8DFT小结小结nDFT 是是 DFS 的主值序列的主值序列nDFS 是严格按傅立叶分析的概念得来的是严格按傅立叶分析的概

4、念得来的nDFT 只是一种借用形式，一种算法只是一种借用形式，一种算法n用用DFT 计算信号的频谱时计算信号的频谱时采样频率必须大于两倍的信号最高截止采样频率必须大于两倍的信号最高截止频率频率对周期信号要取一个整周期对周期信号要取一个整周期93、DFT的性质n线性线性n对称性对称性n圆周位移圆周位移n圆周卷积圆周卷积10(1)线性线性n若n那么如果如果x1(n)、x2(n)长度不同，长度不同，长度短的序列要补长度短的序列要补零，使它与另一序零，使它与另一序列长度相同列长度相同 11(2)对称性对称性 n若x(n)为实序列，则X(k)具有共轭对称性：n若x(n)为虚序列，则X(k)具有共轭反对称

5、性：n(N-k)modN 表示“Nk对N取模”，即：如果Nk写成N-k=qN+l，q、l为整数，则有12(3)圆周位移圆周位移n序列x(n)的圆周位移定义 nn0是位移值，RN(n)是矩形序列 13圆周位移的概念圆周位移的概念n有限长序列有限长序列n周期延拓周期延拓n线性位移线性位移n加窗加窗n得到圆周位移序列得到圆周位移序列14时移特性时移特性n若若n则则n时域序列的圆周位移的时域序列的圆周位移的DFT 为原来的为原来的DFT乘以一个因子乘以一个因子15频移特性频移特性n若若n则则nIDFT在时域在时域x(n)乘以一个乘以一个16(4)时域圆周卷积定理时域圆周卷积定理n若n则定义为圆周卷积N

6、点的圆周卷积x(n)和h(n)都需是N点17例6 计算x1(n)、x2(n)的N点圆周乘积，其中n解：x1(n)、x2(n)的N点DFT为n因此，有nx1(n)、x2(n)的N点圆周卷积是X(k)的反DFT变换18频域圆周卷积定理频域圆周卷积定理n若若n则则19四、快速傅立叶变换（四、快速傅立叶变换（FFTFFT）nDFT的计算量的计算量nDFT的特点及的特点及FFT的思想的思想n基基-2算法的算法的FFT的基本思路的基本思路nFFT算法的特点算法的特点201、DFT的计算量nDFTnN点DFT的计算量：n每计算一个X(k)值需要进行N次复数相乘，N-1次复数相加；n对于N个X(k)点，完成全

7、部DFT运算共需N2次复数相乘和N(N-1)次复数加法。212、DFT的特点及的特点及FFT的思想的思想n（1）Wr 的周期性的周期性n（2）Wr的对称性的对称性222、DFT的特点及的特点及FFT的思想的思想n（3）由于DFT计算量与N成几何级数增长，可以将长序列分解成多个短序列信号，然后分别求各个短序列的DFT，最后将它们组合，得到原序列的DFT。n利用以上DFT运算的特点，即可得到序列的FFT算法。233、基基-2算法的算法的FFT的基本思路的基本思路n 序列的长度是序列的长度是2的整数幂时的整数幂时,将将x(n)分解（抽取）成较短的序列，然后从这分解（抽取）成较短的序列，然后从这些序列

8、的些序列的DFT中求得中求得X(k)的方法。的方法。24(1)按时间抽取的按时间抽取的FFT算法算法 n以以 为例的为例的DFT2526第二行和第三行互换第二列和第三列互换x(1)和x(2)互换矩阵等式不变只和 有关只和 有关27N点的点的DFT是否可以分成两组是否可以分成两组N/2点的点的DFT?n设序列x(n)的长度为N=2r，x(n)被分解（抽取）成两个子序列，每个长度为N/2.n第一个序列g(n)由x(n)的偶数项组成：n第二个序列h(n)由x(n)的奇数项组成 28nx(n)的的N点的点的DFT表示为：表示为：N/2点的DFTN/2点的DFT主值周期为主值周期为N/2的的X（k）29

9、另外主值周期还有N/2点的X(k)如果如果N/2为偶数，为偶数，还可以再次进行还可以再次进行分解，分解，直到只剩直到只剩下下2点的点的DFT 30N=4为例为例DFT分组分组 N/2 点的DFT(n 为偶数）N/2 点的DFT(n 为奇数）N点的 DFT31N=4为例为例DFT的信号流图的信号流图324、FFT算法的特点算法的特点基本运算单元为一个蝶形，第基本运算单元为一个蝶形，第m级的蝶形级的蝶形上节点下节点n每一蝶形是独立的每一蝶形是独立的n每一级中有每一级中有N/2个蝶形个蝶形 338点按时间抽取点按时间抽取FFT第一阶段的运算框图第一阶段的运算框图 34按时间抽取按时间抽取FFT将将4点点DFT分解为两个分解为两个2点点DFT 35一个完整的一个完整的8点基点基2按时间抽取按时间抽取FFT 36FFT应用中的注意事项应用中的注意事项n信号离散时，采样频率要满足奈奎斯特信号离散时，采样频率要满足奈奎斯特频率频率nN一定是一定是2的整数次幂，若不是，要补若的整数次幂，若不是，要补若干个零，凑成干个零，凑成2的整数次幂。的整数次幂。n数据长度要取得足够长数据长度要取得足够长是数据的实际长度是数据的实际长度是频率分辨率是频率分辨率37