理论力学(第9章)ppt课件

《理论力学(第9章)ppt课件》由会员分享，可在线阅读，更多相关《理论力学(第9章)ppt课件（43页珍藏版）》请在装配图网上搜索。

1、第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理理理理理 论论论论 力力力力 学学学学第9章 动量矩定理理 论 力 学第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.2 动动 量量 矩矩9.3 动量矩定理的推导和举例动量矩定理的推导和举例9.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程第第9章章 动动量量矩矩定定理理9.5 相对质心的动量矩定理相对质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程动动 力力 学学9.1 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量9.3 动量矩定理的推导和举例9.4 刚体定轴转动微分方程第第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.1 刚体对轴的转动

2、惯量刚体对轴的转动惯量9.1.1 转动惯量的一般公式转动惯量的一般公式 如如图所示，已知所示，已知刚体上任一点的体上任一点的质量量为mi，与与轴z的距离的距离为ri，则各点各点质量量mi与与ri2的乘的乘积之和之和定定义为刚体体对轴的的转动惯量，量，记为Jz。即。即对于质量连续体，可写成积分形式，即对于质量连续体，可写成积分形式，即转动惯量是一恒为正值的标量，单位：转动惯量是一恒为正值的标量，单位：kg m2。1.1.转动惯量转动惯量9.1 刚体对轴的转动惯量9.1.1 转动惯量的一般公式 第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.1 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量9.1.1 转动惯量的一

3、般公式转动惯量的一般公式2.2.回转半径（或称惯性半径）回转半径（或称惯性半径）刚体对任一轴刚体对任一轴z的回转半径或惯性半径为的回转半径或惯性半径为 若已知刚体对某轴若已知刚体对某轴z的回转半径的回转半径z和刚体的质量和刚体的质量m，则其转动惯量可按下式计算则其转动惯量可按下式计算9.1 刚体对轴的转动惯量9.1.1 转动惯量的一般公式2第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理北京建筑工程学院 唐晓雯3.3.简单形体绕质心轴的转动惯量简单形体绕质心轴的转动惯量 均质细圆环均质细圆环 均质薄圆盘均质薄圆盘 均质细长杆均质细长杆CmrCmrCml9.1 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量9.1.1

4、 转动惯量的一般公式转动惯量的一般公式北京建筑工程学院 唐晓雯3.简单形体绕质心轴的转动惯量第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.1 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量9.1.2 转动惯量的平行移轴定理转动惯量的平行移轴定理 刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴刚体对任一轴的转动惯量，等于刚体对过质心且与该轴平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的平行的轴的转动惯量，加上刚体的质量与两轴间距离平方的乘积。即乘积。即 式中，式中，Jz表示刚体对任一轴表示刚体对任一轴z的转动惯量；的转动惯量；JzC 为刚体对通过质心为刚体对通过质心C且与且与z轴平行的轴平行的轴轴zC的

5、转动惯量；的转动惯量；m 为刚体的质量；为刚体的质量；d 为为z与与zC轴之之间的距离。的距离。9.1 刚体对轴的转动惯量9.1.2 转动惯量的平行移轴定第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.1 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量 例例9-1 均质细圆环质量为均质细圆环质量为m1，半径为，半径为r，其上固结一质，其上固结一质量为量为m2的均质细杆的均质细杆AB，系统在铅垂面内以角速度，系统在铅垂面内以角速度，绕过点，绕过点O并垂直于图面的并垂直于图面的z轴转动。已知轴转动。已知C1AB=60，求系统对求系统对z轴的转动惯量轴的转动惯量。9.1 刚体对轴的转动惯量第第9 9章章 动量矩定理动

6、量矩定理9.1 刚体对轴的转动惯量刚体对轴的转动惯量1.圆环对圆环对z轴的转动惯量轴的转动惯量解解：2.杆对杆对z轴的转动惯量轴的转动惯量3.系统对系统对z轴的转动惯量轴的转动惯量9.1 刚体对轴的转动惯量1.圆环对z轴的转动惯量解：2第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.2 动 量 矩 质点质点Q的动量的动量 mv 对点对点 O 的矩，定的矩，定义为质点义为质点Q 对点对点 O 的的动量动量 矩矩。即。即上式投影到各坐标轴可得动量上式投影到各坐标轴可得动量 mv 对各对各坐标轴的矩坐标轴的矩。9.2.1 质点的动量矩质点的动量矩 1.1.对点的动量矩对点的动量矩2.2.对轴的动量矩对轴的动

7、量矩9.2 动 量 矩 质点Q的动量 mv 对点第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理LO=MO(mv)=rmv类似的可得类似的可得质点系对各坐标轴的动量矩质点系对各坐标轴的动量矩表达式表达式 质点系内各质点对某点质点系内各质点对某点 O 的动量矩的矢量和，称为这质的动量矩的矢量和，称为这质点系对该点点系对该点 O 的的动量主矩或动量矩动量主矩或动量矩。用。用 LO 表示，有表示，有 1.1.对点的动量矩对点的动量矩2.2.对轴的动量矩对轴的动量矩9.2.2 9.2.2 质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩质点系的动量矩Lx=Mx(mv)=m(yvz zvy)Ly=My(mv)=m(zvx

8、 xvz)Lz=Mz(mv)=m(x vy yvx)9.2 动 量 矩LO=MO(mv)=rmv类似的可得质点系对各坐第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理平动刚体对质心的为动量矩平动刚体对质心的为动量矩LC=0，故由故由1.1.1.1.平动刚体平动刚体平动刚体平动刚体得得9.2.3 刚体的动量矩刚体的动量矩即即，平动刚体任一点的动量矩，等于将其质量集中在质心时，质心的动量对该点的矩。9.2 动 量 矩平动刚体对质心的为动量矩LC=0，故由1.平动刚体得9.第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理Cmix xz zy yO Ov vi ir ri ir rC Cm1.1.平动刚体平动刚体9.2.3

9、刚体的动量矩刚体的动量矩9.2 动 量 矩CmixzyOvirirCm1.平动刚体9.2.3 刚体的第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理 设设刚刚体体以以角角速速度度 绕绕固固定定轴轴 z 转转动动，刚刚体体内内任任一一点点A的的质质量量为为m，转转动动半半径径为为ri，则则刚刚体体对对轴轴 z 的动量矩为的动量矩为即即可见，可见，作作定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于定轴转动的刚体对转轴的动量矩，等于该刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积该刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积。2.2.2.2.定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体定轴转动刚体9.2 动 量 矩9.2.3 刚体的动量矩刚体的动量矩

10、设刚体以角速度 绕固定轴 z 转动，刚体内任第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理 设设平平面面运运动动刚刚体体具具有有质质量量对对称称平平面面Cxy，且且该该对对称称平平面面在在固固定定平平面面Oxy内内运运动动，则则刚刚体体对对点点O动动量量矩矩的的动动量量矩矩等等于于对对轴轴 z 的动量矩。的动量矩。由由其中其中 LC=JC ，最后可得最后可得3.3.平面运动刚体平面运动刚体 可得可得13.1 动 量 矩9.2.3 刚体的动量矩刚体的动量矩 设平面运动刚体具有质量对称平面Cxy，且该第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理 例例9-2 如图所示，系统由滑轮如图所示，系统由滑轮A、B及物块及物块

11、C组成。已知：滑轮组成。已知：滑轮A的质量的质量为为m1、半径为、半径为R、转动惯量为、转动惯量为J1，滑轮，滑轮B的质量为的质量为m2、半径为、半径为r、转动惯量为、转动惯量为J2，且，且R=2r，物块，物块C 的质量为的质量为m3、速、速度为度为v，绳与滑轮之间不打滑。求图示，绳与滑轮之间不打滑。求图示瞬时系统对瞬时系统对O轴的动量矩。轴的动量矩。9.2 动 量 矩 例9-2 如图所示，系统由滑轮A、B及第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理解：解：9.2 动 量 矩滑轮滑轮A绕绕O做定轴转做定轴转动，其动量矩为动，其动量矩为：滑轮滑轮B做平面运动，做平面运动，其动量矩为：其动量矩为：物块物

12、块C做平动，其做平动，其动量矩为：动量矩为：所以所以，系统对系统对O轴的动量矩为轴的动量矩为：因因为：解：9.2 动 量 矩滑轮A绕O做定轴转动，其动量矩为：第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理9.3.1 质点的动量矩定理质点的动量矩定理右边右边=将其两端用质点的矢径将其两端用质点的矢径r 作矢积，得作矢积，得左边左边 可改写为可改写为 9.3 动量矩定理9.3.1 质点的动量矩定理右边=将其两端第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理9.3.1 质点的动量矩定理质点的动量矩定理因而上式第二项等于零，于是得到因而上式第二项等于零，于是得到当矩心当矩心O固定时固定

13、时9.3 动量矩定理9.3.1 质点的动量矩定理因而上式第二项第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理9.3.1 质点的动量矩定理质点的动量矩定理将上式投影到固定坐标轴系上，则得将上式投影到固定坐标轴系上，则得结结结结 论论论论 质质点点对对某某固固定定点点（或或固固定定轴轴）的的动动量量矩矩对对时时间间的的导导数数,等等于于作作用于质点的力对该点（或该轴）的矩。用于质点的力对该点（或该轴）的矩。质点的动量矩定理。质点的动量矩定理。9.3 动量矩定理9.3.1 质点的动量矩定理将上式投影到固第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理对于质点系有对于质点系有其中其中 可分为外力对可分为外

14、力对O点的矩和内力对点的矩和内力对O点的矩二项点的矩二项即即而内力对而内力对O点的矩点的矩所以有所以有9.3 动量矩定理9.3.2 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理对于质点系有其中 可第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理注意到注意到所以有所以有将上式投影到固定坐标轴系上，则得将上式投影到固定坐标轴系上，则得9.3.2 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理9.3 动量矩定理注意到所以有将上式投影到固定坐标轴系上，则第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理13.2 动量矩定理的推导和举例结结结结 论论论论 质质点点系系对对某某固固定定点点（或或固固定定轴轴）的的动动量量矩矩对对时

15、时间间的的导导数数,等等于于作作用用于于质质点点系系的的全全部部外外力力对对该该点点（或或该该轴轴）的的矩矩的的矢矢量量和和（或或代代数数和和）质质点点系系的的动量矩定理。动量矩定理。9.3.2 质点系的动量矩定理质点系的动量矩定理13.2 动量矩定理的推导和举例结 论 质点系对某固第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理北京建筑工程学院 唐晓雯则则 若作用于质点上的力对某定点若作用于质点上的力对某定点(或某定轴）的矩为零，则或某定轴）的矩为零，则质点对该点（或轴）的动量矩保持不变质点对该点（或轴）的动量矩保持不变质点动量矩守恒质点动量矩守恒定律定律。1.1.质点动量矩守恒定理质点动量矩守恒定理或

16、或若若9.3 动量矩定理9.3.3 动量矩守恒定理动量矩守恒定理结结结结 论论论论北京建筑工程学院 唐晓雯则 若作用于质点上的力对某定点第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理(1)如果如果MO(Fi（e)0，则由上面第一式，则由上面第一式 可知，可知，LO=常矢量。常矢量。(2)如果如果Mz(Fi（e）)0，则由上面第二式，则由上面第二式 可知，可知，Lz=常量。常量。对定点的动量矩定理对定点的动量矩定理对定轴的动量矩定理对定轴的动量矩定理结结结结 论论论论 当作用于质点系的所有外力对某固定点当作用于质点系的所有外力对某固定点(或固定轴或固定轴)的的主矩始终等于零主矩始终等于零

17、,则质点系对该点则质点系对该点(或该轴或该轴)的动量矩保持不的动量矩保持不变变质点系的动量矩守恒定理。质点系的动量矩守恒定理。9.3.3 动量矩守恒定理动量矩守恒定理2.2.质点系动量矩守恒定理质点系动量矩守恒定理9.3 动量矩定理(1)如果MO(Fi（e)第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理 例例9-3 半径半径为r的定滑的定滑轮可可绕过质心的固定心的固定轴O(z)转动，该轮对轴O(z)的的转动惯量量为Jz。在滑在滑轮上上绕一柔一柔软的的绳子，其子，其两端各系一重两端各系一重为W1和和W2的重物的重物A和和B，且，且WlW2，如，如图所示。所示。求此两重物的加速度和滑求此两

18、重物的加速度和滑轮的的角加速度。角加速度。9.3 动量矩定理第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理解解:取取滑滑轮轮、重重物物 A、B 和和绳绳索索为为研研究究对对象象,受受力如图力如图。对滑轮的转轴对滑轮的转轴O 应用动量矩定理，有应用动量矩定理，有系统的动量矩由三部分组成：系统的动量矩由三部分组成：系统的外力主矩为系统的外力主矩为(1)(2)(3)9.3 动量矩定理解:取滑轮、重物 A、B 第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理由由动量矩定理量矩定理 得得两重物的加速度为两重物的加速度为：滑轮的角加速度为滑轮的角加速度为：9.3 动量矩定理由动量矩定理 第第

19、9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理例例9-4 如如图所示，已知主所示，已知主动力偶矩力偶矩为M，求：，求：（1）例）例9-2中物中物块C 的加速度，的加速度，（2）AB段段绳索的拉力。索的拉力。9.3 动量矩定理第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理解：解：（1）例）例9-2中物中物块C 的加速度。的加速度。取系取系统为研究研究对象，受力如象，受力如图所示，其外力所示，其外力对轴O的力矩的力矩为:在例在例9-2中已求出系中已求出系统的的动量矩量矩为：代入动量矩定理，代入动量矩定理，得得9.3 动量矩定理 取系统为研究对象，受力如图所示，其第第9 9章章 动量矩定

20、理动量矩定理9.3 动量矩定理解：解：（1）例）例9-2中物中物块C 的加速度。的加速度。物物块C 的加速度的加速度为:9.3 动量矩定理 物块C 的加速度为:第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.3 动量矩定理解：解：（2）AB段段绳索的拉力。索的拉力。取滑取滑轮A为研究研究对象，受力象，受力如如图所示所示,其外力其外力对轴O的力矩的力矩为而滑而滑轮A对轴O的的动量矩量矩为 据据 得得AB段段绳索的拉力索的拉力为：9.3 动量矩定理 取滑轮A为研究对象，受力如图所示,第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理 设设刚刚体体在在主主动动力力 F1,F2,Fn 作作用用下下绕绕定定轴轴 z z 转转

21、动动，与与此同时，轴承上产生了约束力此同时，轴承上产生了约束力 FA 和和 FB。用用 Mz=Mz(F(e)表表示示作作用用在在刚刚体体上上的的外外力力对对转转轴轴 z z 的的主主矩矩(约束力约束力 FA,FB 自动消去自动消去)。刚体对转轴刚体对转轴 z 的动量矩的动量矩 Lz=Jz于是根据动量矩定理于是根据动量矩定理可得可得9.4 9.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 设刚体在主动力 F1,F2,第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理考虑到考虑到则上式可写成则上式可写成或或即，即，定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角速度的乘积,等于作用等于

22、作用于刚体的外力对转轴的主矩于刚体的外力对转轴的主矩刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程。9.4 9.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程考虑到则上式可写成或即，定轴转动刚体对转轴的转动惯量与角速度第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.4 9.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 例例9-5 已知定滑已知定滑轮半径半径为R，转动惯量量为JO，带动定滑定滑轮的胶的胶带拉力拉力为FT1和和FT2。求定滑求定滑轮的角加速度的角加速度。解：解：（2 2）根据）根据刚体定体定轴转动微分方程有微分方程有所以所以 （1）定滑）定滑轮受力如受力如图（b）9.4 刚体定轴转动微分方程 例9

23、-5 已知定滑轮第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.4 9.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 例例9-6 图示一质量为图示一质量为m的物的物理摆理摆(也称复摆也称复摆)在铅垂平面内摆在铅垂平面内摆动，点动，点C为其质心，质心为其质心，质心C到悬到悬挂点挂点O的距离为的距离为a，摆对悬挂点，摆对悬挂点O的转动惯量为的转动惯量为JO。求物理摆微。求物理摆微小摆动的周期。小摆动的周期。9.4 刚体定轴转动微分方程 例9-6 图示一质量第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.4 9.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 解：解：（2）物理摆的转动微分方程为：）物理摆的转动微分方

24、程为：（1）物理摆受力如图所示）物理摆受力如图所示因因为是微小是微小摆动，有，有所以，上式所以，上式又可写又可写为这是简谐运动的标准微分方程，其通解为：这是简谐运动的标准微分方程，其通解为：9.4 刚体定轴转动微分方程 解：（2）物理摆的转动第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理 解：解：9.4 9.4 刚体定轴转动微分方程刚体定轴转动微分方程 式中：式中：0称称为角振幅角振幅，是是初位相初位相，其其值可由运可由运动初始条件确定。初始条件确定。复复摆的的摆动周期周期为:解：9.4 刚体定轴转动微分方程 式中：0称为角第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.5 相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动

25、微分方程刚体平面运动微分方程9.5.1 9.5.1 质点系相对质心的动量矩定理质点系相对质心的动量矩定理 即质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用即质点系相对于质心的动量矩对时间的一阶导数，等于作用于质点系的外力对质心的主矩于质点系的外力对质心的主矩相对于质心的动量矩定理。相对于质心的动量矩定理。对对于于刚刚体体，质质心心运运动动定定理理建建立立了了外外力力与与质质心心运运动动的的关关系系；质质点点系系相相对对质质心心的的动动量量矩矩定定理理建建立立了了外外力力与与刚刚体体在在平平移移参参考考系系内内绕绕质质心心转转动动的的关关系系；二二者者完完全全确确定定了了刚刚体体一一般般运运

26、动动的的动动力力学学方程，为研究刚体运动奠定了基础。方程，为研究刚体运动奠定了基础。9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程9.5.第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.5.2 9.5.2 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 9.5 相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 图示为一具有质量对称面（平行于运动平面）的刚体，在等价于图示为一具有质量对称面（平行于运动平面）的刚体，在等价于质量对称面的平面力系（质量对称面的平面力系（F1、F2、Fn）的作用下作）的作用下作平面运动，其质平面运动，其质心心C位于平面图形位于平面图形S内。内。由运动学知识，可将

27、平面运动看作随由运动学知识，可将平面运动看作随同质心的平动与绕通过质心而垂直于图平同质心的平动与绕通过质心而垂直于图平面的轴转动的合成。于是，由质心运动定面的轴转动的合成。于是，由质心运动定理和相对于质心的动量矩定理有：理和相对于质心的动量矩定理有：9.5.2 刚体平面运动微分方程 9.5 相对于质心的动量矩第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理 这两个方程都是刚体平面运动的微分方程。这两个方程都是刚体平面运动的微分方程。或者或者 需需要要指指出出的的是是，若若上上述述投投影影方方程程中中各各式式等等号号的的左左侧侧各各项项均均恒恒等等于于零零，则则得得到到静静力力学学中中平平面面力力系系的的平

28、平衡衡方方程程，即即外外力力系系的的主主矢矢、主主矩矩均均等等于于零零。因因此此，质质点点系系动动量量定定理理与与动动量量矩矩定定理理，不不但但完完全全确确定定了了刚刚体体一一般般运运动动的的动动力力学学方方程程，而而且且还还完完成成了了对对刚刚体体平平面面运运动动的的特特例例 平平衡衡情情形形的的静静力学描述。力学描述。9.5.2 9.5.2 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 9.5 相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程 这两个方程都是刚体平面运动的微分方程。或者 需第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.5 相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚

29、体平面运动微分方程 例例9-7 如如图所示，半径所示，半径为r、质量量为m的匀的匀质圆轮在常力在常力偶矩偶矩M的作用下沿平直路面作的作用下沿平直路面作纯滚动，已知，已知轮与路面与路面间的静的静摩擦因数摩擦因数为fs，试求求轮心心C 的加速度以及的加速度以及轮受到的受到的实际摩擦摩擦力。力。9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.5 相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程解：解：（1）取轮为研究对象，受力如图所示。）取轮为研究对象，受力如图所示。（2）根据）根据刚体平面运动的微分方刚体平面运动的微分方程，有程，有 （a）(c)(b)(a)根据运根据运动学关系，建立学关系，建立补充方程充方程 aC=r (d)9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程（1）取第第9 9章章 动量矩定理动量矩定理9.5 相对于质心的动量矩定理 刚体平面运动微分方程刚体平面运动微分方程解：解：将式（将式（d）代入式（）代入式（a）与（）与（c），可得），可得轮心心C的加速度的加速度为轮受到的受到的实际摩擦力摩擦力为：（3）讨论）讨论故可得到故可得到圆轮沿平直路沿平直路面作面作纯滚动的条件的条件为：由于由于9.5 相对于质心的动量矩定理刚体平面运动微分方程