实复有理多项式理论0511

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1、多项式的根多项式的根,复数域上的不可约多项式复数域上的不可约多项式定理定理()在在 中，用中，用 去除去除 所得的余所得的余式是式是 。注注（1）整除整除 当且仅当当且仅当 ；（2）对对 ，若，若 ，则称，则称 是是 在中的一个在中的一个根根；（3）若若 是是 的的k重因式，则称重因式，则称 是是 的的k重根重根；时称，时称，时称时称重根重根。（4）中的中的 次多项式在次多项式在 中至多有中至多有 个个根；根；1 （5）设设 是是 中次数不超过中次数不超过 的多项式，的多项式，若存在若存在 中中 个互不相同的数个互不相同的数使得使得 ，那么那么例例 证明证明2 证明证明 情况情况1 中至少有两

2、个相同中至少有两个相同 此时，该行列式的第此时，该行列式的第2、3、4行至少有两行相行至少有两行相同，所以行列式等于零。同，所以行列式等于零。情况情况2 互不相同互不相同令令3则 是次数不超是次数不超过2 2的多的多项式。因式。因为故故 有有3个不同的根。根据个不同的根。根据注注(5)，因，因此此 4多项式函数多项式函数设设，据此可构造，据此可构造到自身的映射到自身的映射称之为称之为上的上的多项式函数多项式函数。此函数是由。此函数是由中中的多项式的多项式确定的确定的上的函数。上的函数。定理定理数域数域上的两个多项式上的两个多项式如果不如果不相等，那么它们确定的相等，那么它们确定的上的多项式函数

3、上的多项式函数也不相等。也不相等。5我们将数域我们将数域上的上的多项式函数多项式函数组成的集合记为组成的集合记为。那么。那么是一个双射。是一个双射。进一步，我们在进一步，我们在中规定加法和乘法：中规定加法和乘法：6可以验证可以验证对于定义的加法和乘法构成一个对于定义的加法和乘法构成一个环环，而且是一个含有单位元，而且是一个含有单位元1的的交换环交换环。两个环两个环的关系如下：的关系如下：这表明：这表明：在环的同构意义下二者完全一样在环的同构意义下二者完全一样。从而我们可以用多项式函数来刻画从而我们可以用多项式函数来刻画多项式的根多项式的根。是多项式是多项式在在中的的根当且中的的根当且仅当多项式

4、函数仅当多项式函数在在处的函数值处的函数值7定理定理(代数基本定理代数基本定理)每个次数大于零的复系数多每个次数大于零的复系数多项式在复数域中至少有一个根。项式在复数域中至少有一个根。复数域上的不可约多项式是一次因式。复数域上的不可约多项式是一次因式。复数域是复数域是一个典型的代数闭域一个典型的代数闭域.algebraic closure field设设 ，那么，那么8并且这种分解形式是唯一的。于是我们有下面的并且这种分解形式是唯一的。于是我们有下面的定理定理定理定理(复系数多项式唯一因式分解定理复系数多项式唯一因式分解定理)每个次每个次数大于零的复系数多项式在复数域上都可唯一地数大于零的复系

5、数多项式在复数域上都可唯一地分解成一次因式的乘积。分解成一次因式的乘积。标准分解式标准分解式？运用复系数多项式唯一分解定理可以给出运用复系数多项式唯一分解定理可以给出 Vieta公式：设公式：设 是一个首项系数为是一个首项系数为1 1的的 次多项式，那么次多项式，那么 有有 个复根个复根，这里可能有相同的，这里可能有相同的9于是在复数域上有分解式于是在复数域上有分解式另外我们可以假设另外我们可以假设比较两端的多项式系数立刻有结论：比较两端的多项式系数立刻有结论：1011例例 已知已知求参数求参数 使得使得 有重根，并且求重根及其重数。有重根，并且求重根及其重数。12解解h1=1 3f=6 -2

6、1 12 3a =6 -14 4 6-144 -7-7 8 3a =-7h2=1 r1=-3r1=-18r1=13那要使得那要使得有重根有重根，那么，那么与与一定是彼此相伴的一次因式。从而一定是彼此相伴的一次因式。从而解的解的14当当当当所以其重根为所以其重根为，重数均为，重数均为2。15例例已知已知这里这里，证明，证明16首先注意到首先注意到17例例设多项式设多项式有有证明：证明：是是的一个公因式的一个公因式18例例 已知已知试确定参数试确定参数 使得使得 有重根，并且求其所有的有重根，并且求其所有的根。根。19例例 分别在实数域和复数域两个数域上面求分别在实数域和复数域两个数域上面求的标准

7、分解式。的标准分解式。8P38 这里这里于是有于是有 20这是这是 在复数域上的标准分解式在复数域上的标准分解式下面来看在实数域上的情形，在复根成对共轭出现下面来看在实数域上的情形，在复根成对共轭出现首先注意到首先注意到当当 为偶数时，有为偶数时，有 21我们可以我们可以 为例检验一下此分解表达式。为例检验一下此分解表达式。当当 为奇数时，有为奇数时，有 22我们可以我们可以 为例检验一下此分解表达式。为例检验一下此分解表达式。例例 在在 中，如果中，如果 ，那么，那么 23例例 7P38 7P38 在在 中，如果中，如果 那么那么 在复数域中的根只能为零或者单位根。在复数域中的根只能为零或者

8、单位根。那么一定有那么一定有 ，因此，因此 为零或者是单位根。为零或者是单位根。24实数域上的不可数域上的不可约多多项式式定理定理 设设 是实系数多项式，若复数是实系数多项式，若复数 是是 的根，则的根，则 的共轭的共轭 也是也是 的根。的根。定理定理 实数域上的不可约多项式都是一次实数域上的不可约多项式都是一次因式或判别式小于零的二次多项式。因式或判别式小于零的二次多项式。定理定理(实系数多项式唯一因式分解定理实系数多项式唯一因式分解定理)每个次数大于零的实系数多项式在实数域每个次数大于零的实系数多项式在实数域上都可唯一地分解成一次因式与判别式小上都可唯一地分解成一次因式与判别式小于零的二次

9、因式的乘积。于零的二次因式的乘积。25根据此定理可知每个次数大于零的实系数多项式根据此定理可知每个次数大于零的实系数多项式在实数域上都可唯一地分解为在实数域上都可唯一地分解为这里这里由此立即可得：由此立即可得：实系数多项式的虚根共轭成对出实系数多项式的虚根共轭成对出现现。26例例 实系数的奇次多项式至少有一个实根。实系数的奇次多项式至少有一个实根。例例 求求 在实数域上的标准在实数域上的标准分解式。分解式。272829例例 利用上一个例题的结论证明：利用上一个例题的结论证明：30根据上一个例题的奇数情况：根据上一个例题的奇数情况：用上个例题的偶数情况证明另外一个恒等式。用上个例题的偶数情况证明

10、另外一个恒等式。31例例 实数域上的两个实数域上的两个 阶矩阵阶矩阵 不相似，将不相似，将其视为复数域上的矩阵仍然不相似。其视为复数域上的矩阵仍然不相似。采用采用反证法反证法，假设在复数域上是相似的，那么，假设在复数域上是相似的，那么于是有于是有另外注意到另外注意到 ，这说明，这说明是一个非零的多项式，其在复数域上最多有是一个非零的多项式，其在复数域上最多有 个根。于是存在实数个根。于是存在实数 使得使得32记记 ，那么，那么 是一个可逆的实矩阵是一个可逆的实矩阵且满足且满足例例 设设且且 ，证明：，证明：有相同的根。有相同的根。33有理数域上的不可有理数域上的不可约多多项式式定义定义 设设

11、是非零的整系数多项式是非零的整系数多项式若若 ，则称，则称 是是本原多项式本原多项式 。注记注记（1）任一非零的有理系数多项式都与一个本原多任一非零的有理系数多项式都与一个本原多项式相伴；项式相伴；（2）两个本原多项式两个本原多项式 在在 中相伴中相伴34当且仅当当且仅当 ；（3）零次本原多项式只有零次本原多项式只有 1 1 和和 -1-1。（4 4）对于任意的对于任意的 ，在，在 中与中与其相伴的本原多项式只有两个，二者相差一个正其相伴的本原多项式只有两个，二者相差一个正负号。负号。引理引理(Gauss引理引理)两个本原多项式的乘积还是本原两个本原多项式的乘积还是本原多项式。多项式。35定理

12、定理 一个次数大于零的本原多项式一个次数大于零的本原多项式 在在 上可约的充要条件是上可约的充要条件是 可分解成两个次数都可分解成两个次数都比比 的次数低的本原多项式的乘积。的次数低的本原多项式的乘积。推论推论 若一个次数大于零的整系数多项式若一个次数大于零的整系数多项式在在 上可约，则上可约，则 可分解成两个次数都比可分解成两个次数都比 的次数低的整系数多项式的乘积。的次数低的整系数多项式的乘积。36定理定理 一个次数大于零的本原多项式一个次数大于零的本原多项式可唯一地分解成可唯一地分解成 上不可约的本原多项式的乘上不可约的本原多项式的乘积，这里分解唯一是指：若积，这里分解唯一是指：若 有两个这样的有两个这样的分解式分解式则一定有则一定有 ，并且适当调整因式的排序后有，并且适当调整因式的排序后有37