（江苏专用）高考数学大一轮复习 第九章 平面解析几何 9.7 抛物线教师用书 理 苏教版-苏教版高三全册数学试题

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1、第九章 平面解析几何 9.7 抛物线教师用书 理 苏教版1.抛物线的概念平面内到一个定点F和一条定直线l(F不在l上)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点F叫做抛物线的焦点，定直线l叫做抛物线的准线.2.抛物线的标准方程与几何性质标准方程y22px(p0)y22px(p0)x22py(p0)x22py(p0)p的几何意义：焦点F到准线l的距离图形顶点O(0,0)对称轴y0x0焦点FFFF离心率e1准线方程xxyy范围x0，yRx0，yRy0，xRy0，xR开口方向向右向左向上向下【知识拓展】1.抛物线y22px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F的距离PFx0，也称为抛物线的焦半径.2.y

2、2ax的焦点坐标为，准线方程为x.3.设AB是过抛物线y22px(p0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则(1)x1x2，y1y2p2.(2)弦长ABx1x2p(为弦AB的倾斜角).(3)以弦AB为直径的圆与准线相切.(4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.()(2)方程yax2(a0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是(，0)，准线方程是x.()(3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.()(4)A

3、B为抛物线y22px(p0)的过焦点F(，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，y1y2p2，弦长ABx1x2p.()1.(2016四川改编)抛物线y24x的焦点坐标是_.答案(1,0)解析对于抛物线y2ax，其焦点坐标为，对于y24x，焦点坐标为(1,0).2.过抛物线y24x的焦点的直线l交抛物线于P(x1，y1)，Q(x2，y2)两点，如果x1x26，则PQ_.答案8解析抛物线y24x的焦点为F(1,0)，准线方程为x1.根据题意可得，PQPFQFx11x21x1x228.3.(2016苏州模拟)设坐标原点为O，抛物线y22x与过焦点的直线交于A、B两点，则_.答案

4、解析设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由题意知过焦点的直线斜率不为0，设其直线方程为xky，则由得y22ky10，y1y21，x1x2y1y2y1y21.4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(2，4)，则该抛物线的标准方程为_.答案y28x或x2y解析设抛物线方程为y22px(p0)或x22py(p0).将P(2，4)代入，分别得方程为y28x或x2y.5.(2017南京月考)已知抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，则p的值为_.答案2解析抛物线y22px(p0)的准线为x，圆x2y26x70，即(x3)2y216，则圆心为(3,0)，半

5、径为4.又因为抛物线y22px(p0)的准线与圆x2y26x70相切，所以34，解得p2.题型一抛物线的定义及应用例1设P是抛物线y24x上的一个动点，若B(3,2)，则PBPF的最小值为_.答案4解析如图，过点B作BQ垂直准线于点Q，交抛物线于点P1，则P1QP1F.则有PBPFP1BP1QBQ4.即PBPF的最小值为4.引申探究1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求PBPF的最小值.解由题意可知点(3,4)在抛物线的外部.因为PBPF的最小值即为B，F两点间的距离，所以PBPFBF2，即PBPF的最小值为2.2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y24x，直线l的方程为xy50，

6、在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1d2的最小值.解由题意知，抛物线的焦点为F(1,0).点P到y轴的距离d1PF1，所以d1d2d2PF1.易知d2PF的最小值为点F到直线l的距离，故d2PF的最小值为3，所以d1d2的最小值为31.思维升华与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.设P是抛物线y24x上的一个动点，则点P到点A(1,1)的距离与点P到直线x1的距离之和的最小值为_.答案解析如图，易知抛物

7、线的焦点为F(1,0)，准线是x1，由抛物线的定义知：点P到直线x1的距离等于点P到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P，使点P到点A(1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小，显然，连结AF与抛物线相交的点即为满足题意的点，此时最小值为.题型二抛物线的标准方程和几何性质命题点1求抛物线的标准方程例2已知双曲线C1：1(a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x22py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为_.答案x216y解析1的离心率为2，2，即4，3，.x22py(p0)的焦点坐标为，1的渐近线方程为yx，即yx.由题意得2，p8.故C2的方程

8、为x216y.命题点2抛物线的几何性质例3已知抛物线y22px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证：(1)y1y2p2，x1x2；(2)为定值；(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.证明(1)由已知得抛物线焦点坐标为(，0).由题意可设直线方程为xmy，代入y22px，得y22p，即y22pmyp20.(*)则y1，y2是方程(*)的两个实数根，所以y1y2p2.因为y2px1，y2px2，所以yy4p2x1x2，所以x1x2.(2).因为x1x2，x1x2ABp，代入上式，得(定值).(3)设AB的中点为M(x0，y0)，分别过A，B

9、作准线的垂线，垂足为C，D，过M作准线的垂线，垂足为N，则MN(ACBD)(AFBF)AB.所以以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.思维升华(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.(2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.(1)(2016全国乙卷改编)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知AB4，DE2，则C的焦点到准线的距离为_.(2)抛物线

10、y22px(p0)的焦点为F，已知点A、B为抛物线上的两个动点，且满足AFB120.过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最大值为_.答案(1)4(2)解析(1)不妨设抛物线C：y22px(p0)，则圆的方程可设为x2y2r2(r0)，如图，又可设A(x0,2)，D，点A(x0,2)在抛物线y22px上，82px0，点A(x0,2)在圆x2y2r2上，x8r2，点D在圆x2y2r2上，52r2，联立，解得p4，即C的焦点到准线的距离为4.(2)设AFa，BFb，分别过A、B作准线的垂线，垂足分别为Q、P.由抛物线的定义知，AFAQ，BFBP，在梯形ABPQ中，2MNAQBPab

11、.AB2a2b22abcos 120a2b2ab(ab)2ab.又ab()2，所以(ab)2ab(ab)2(ab)2(ab)2，得AB(ab)，所以，即的最大值为.题型三直线与抛物线的综合问题命题点1直线与抛物线的交点问题例4已知抛物线C：y28x与点M(2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若0，则k_.答案2解析抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为yk(x2)，与抛物线方程联立，消去y化简得k2x2(4k28)x4k20.设点A(x1，y1)，B(x2，y2).则x1x24，x1x24.所以y1y2k(x1x2)4k，y1y2k2x1x22(x1x2)416.因为(

12、x12，y12)(x22，y22)(x12)(x22)(y12)(y22)x1x22(x1x2)y1y22(y1y2)80，将上面各个量代入，化简得k24k40，所以k2.命题点2与抛物线弦的中点有关的问题例5(2016全国丙卷)已知抛物线C：y22x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点.(1)若F在线段AB上，R是PQ的中点，证明：ARFQ；(2)若PQF的面积是ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.(1)证明由题意知，F，设l1：ya，l2：yb，则ab0，且A，B，P，Q，R.记过A，B两点的直线为l，则l的方程为2x(ab)yab0

13、.由于F在线段AB上，故1ab0.记AR的斜率为k1，FQ的斜率为k2，则k1bk2.所以ARFQ.(2)解设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1，0)，则SABF|ba|FD|ba|，SPQF.由题意可得|ba|，所以x11，x10(舍去).设满足条件的AB的中点为E(x，y).当AB与x轴不垂直时，由kABkDE可得(x1).而y，所以y2x1(x1).当AB与x轴垂直时，E与D重合，此时E点坐标为(1,0)，所以所求轨迹方程为y2x1(x1).思维升华(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系.(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意

14、直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式ABx1x2p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式.(3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法.提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.(2016南京、盐城、徐州二模)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线C：x24y的焦点为F，定点A(2，0)，若射线FA与抛物线C相交于点M，与抛物线C的准线相交于点N，则FMMN_.答案13解析由题意得F(0,1)，直线AF的方程为1，将它与抛物线方程联立解得或又交点在第一象限，M(，)，准线方程为y1.故易求得N(4，1).由三角形

15、相似性质得.7.直线与圆锥曲线问题的求解策略典例(16分)已知抛物线C：ymx2(m0)，焦点为F，直线2xy20交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q.(1)求抛物线C的焦点坐标；(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；(3)是否存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.思维点拨(3)中证明0.规范解答解(1)抛物线C：x2y，它的焦点F(0，).2分(2)RFyR，23，得m.4分(3)存在实数m，使ABQ定以Q为直角顶点的直角三角形.联立方程消去y，得mx22x20，依

16、题意，有(2)24m(2)0m.7分设A(x1，mx)，B(x2，mx)，则(*)P是线段AB的中点，P(，)，即P(，yP)，Q(，).9分得(x1，mx)，(x2，mx)，若存在实数m，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形，则0，即(x1)(x2)(mx)(mx)0，12分结合(*)化简得40，即2m23m20，m2或m，而2(，)，(，).存在实数m2，使ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形.16分解决直线与圆锥曲线的位置关系的一般步骤第一步：联立方程，得关于x或y的一元二次方程；第二步：写出根与系数的关系，并求出0时参数范 围(或指出直线过曲线内一点)；第三步：根据题目要求列出关于x1x

17、2，x1x2(或 y1y2，y1y2)的关系式，求得结果；第四步：反思回顾，查看有无忽略特殊情况.1.已知抛物线C的顶点是原点O，焦点F在x轴的正半轴上，经过F的直线与抛物线C交于A、B两点，如果12，那么抛物线C的方程为_.答案y28x解析由题意，设抛物线方程为y22px(p0)，直线方程为xmy，联立消去x得y22pmyp20，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22pm，y1y2p2，得x1x2y1y2(my1)(my2)y1y2m2y1y2(y1y2)y1y2p212p4，即抛物线C的方程为y28x.2.已知抛物线y22px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两

18、点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为_.答案x1解析y22px(p0)的焦点坐标为(，0)，过焦点且斜率为1的直线方程为yx，即xy，将其代入y22px，得y22pyp2，即y22pyp20.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y22p，p2，抛物线的方程为y24x，其准线方程为x1.3.(2016苏北四市联考)设抛物线C：y23px(p0)的焦点为F，点M在C上，MF5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则抛物线C的方程为_.答案y24x或y216x解析抛物线C：y23px(p0)的焦点为F(，0)，OF，以MF为直径的圆过点(0,2)，设A(0,2)，连结AF，

19、AM，可得AFAM，在RtAOF中，AF ，sinOAF，根据抛物线的定义，得直线AO切以MF为直径的圆于点A，OAFAMF，可得在RtAMF中，sinAMF，MF5，AF ， ，整理得4，解得p或p，C的方程为y24x或y216x.4.已知抛物线y22px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则的值一定等于_.答案4解析若焦点弦ABx轴，则x1x2，x1x2，y1p，y2p，y1y2p2，4.若焦点弦AB不垂直于x轴，可设AB的直线方程为yk(x)，联立y22px，得k2x2(k2p2p)x0，则x1x2，x1x2p，y1y2p2.故4.5.如图，过抛物线

20、y22px(p0)的焦点F的直线交抛物线于点A、B，交其准线l于点C，若BC2BF，且AF3，则此抛物线的方程为_.答案y23x解析如图，分别过A、B作AA1l于A1，BB1l于B1，由抛物线的定义知：AFAA1，BFBB1，BC2BF，BC2BB1，BCB130，AFx60，连结A1F，则AA1F为等边三角形，过F作FF1AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于K，则KFA1F1AA1AF，即p，抛物线方程为y23x.6.抛物线y24x的焦点为F，点P(x，y)为该抛物线上的动点，若点A(1,0)，则的最小值是_.答案解析抛物线y24x的准线方程为x1，如图，过P作PN垂直直线x1于

21、N，由抛物线的定义可知PFPN，连结PA，在RtPAN中，sinPAN，当最小时，sinPAN最小，即PAN最小，即PAF最大，此时，PA为抛物线的切线，设PA的方程为yk(x1)，联立得k2x2(2k24)xk20，所以(2k24)24k40，解得k1，所以PAFNPA45，cosNPA.7.设F为抛物线C：y23x的焦点，过F且倾斜角为30的直线交C于A，B两点，则AB_.答案12解析焦点F的坐标为.方法一直线AB的斜率为，所以直线AB的方程为y，即yx，代入y23x，得x2x0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2，所以ABx1x2p12.方法二由抛物线焦点弦的性质可得AB1

22、2.8.(2016宿迁模拟)已知抛物线的方程为y22px(p0)，过抛物线上一点M(p，p)和抛物线的焦点F作直线l交抛物线于另一点N，则NFFM_.答案12解析由题意知直线l的方程为y2(x)，联立方程得4x25pxp20，N(，p)，NFp，MFpp，NFFM12.9.(2016徐州、连云港、宿迁三检)已知点F是抛物线y24x的焦点，该抛物线上位于第一象限的点A到其准线的距离为5，则直线AF的斜率为_.答案解析抛物线y24x的准线为x1，焦点F(1,0)，设点A(x0，y0)(x00，y00)，由题意得x015，所以x04，所以y4x016，y04，从而点A(4,4)，直线AF的斜率为k.

23、10.已知椭圆E的中心在坐标原点，离心率为，E的右焦点与抛物线C：y28x的焦点重合，A，B是C的准线与E的两个交点，则AB_.答案6解析抛物线y28x的焦点为(2,0)，准线方程为x2.设椭圆方程为1(ab0)，由题意，c2，可得a4，b216412.故椭圆方程为1.把x2代入椭圆方程，解得y3.从而AB6.11.已知抛物线C：y24x的焦点为F，准线为l，过抛物线C上的点A作准线l的垂线，垂足为M，若AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为31，则点A的坐标为_.答案(2，2)解析如图所示，由题意，可得OF1，由抛物线的定义，得AFAM，AMF与AOF(其中O为坐标原点)的面积之比为

24、31，3，AFAM3，设A，13，2，y02，点A的坐标是(2，2).*12.设直线l与抛物线y24x相交于A，B两点，与圆(x5)2y2r2(r0)相切于点M，且M为线段AB的中点.若这样的直线l恰有4条，则r的取值范围是_.答案(2,4)解析如图，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)，则两式相减得，(y1y2)(y1y2)4(x1x2).当l的斜率k不存在时，符合条件的直线l必有两条.当k存在时，x1x2，则有2，又y1y22y0，所以y0k2.由CMAB，得k1，即y0k5x0，因此25x0，x03，即M必在直线x3上.将x3代入y24x，得y212，则有2y02.因为

25、点M在圆上，所以(x05)2yr2，故r2y44(为保证有4条，在k存在时，y00)，所以4r216，即2r0)过点(2,1)，直线l过点P(0，1)与抛物线C交于A，B两点，点A关于y轴的对称点为A，连结AB.(1)求抛物线C的标准方程；(2)问直线AB是否过定点？若是，求出定点坐标；若不是，请说明理由.解(1)将点(2,1)代入抛物线C的方程得2p4，解得p2，抛物线C的标准方程为x24y.(2)若直线l斜率不存在，则显然不成立，则直线l的斜率k一定存在.设直线l的方程为ykx1，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A(x1，y1).由得x24kx40，则16k2160，x1x24，x1

26、x24k，kAB，于是直线AB的方程为y(xx2)，y(xx2)x1，当x0时，y1，直线AB过定点(0,1).14.(2015福建)已知点F为抛物线E：y22px(p0)的焦点，点A(2，m)在抛物线E上，且AF3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0)，延长AF交抛物线E于点B，证明：以点F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.方法一(1)解由抛物线的定义得AF2.因为AF3，即23，解得p2，所以抛物线E的方程为y24x.(2)证明因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2).由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y

27、2(x1).由得2x25x20，解得x2或x，从而B.又G(1,0)，所以kGA，kGB.所以kGAkGB0，从而AGFBGF，这表明点F到直线GA，GB的距离相等，故以F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.方法二(1)解同方法一.(2)证明设以点F为圆心且与直线GA相切的圆的半径为r.因为点A(2，m)在抛物线E：y24x上，所以m2，由抛物线的对称性，不妨设A(2,2).由A(2,2)，F(1,0)可得直线AF的方程为y2(x1).由得2x25x20.解得x2或x，从而B.又G(1,0)，故直线GA的方程为2x3y20.从而r.又直线GB的方程为2x3y20.所以点F到直线GB的距离dr.这表明以点F为圆心且与直线GA相切的圆必与直线GB相切.