连续介质力学

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1、连 续 介 质 力 学 基 础 评分标准考试： 70平时： 30总计： 100 理论力学：研究物体机械运动一般规律。刚体在空间的位置随时间的变化静力学：物体在力系作用下平衡的普遍规律。运动学：以几何的观点研究物体的运动，不考虑 作用于物体上的力。动力学：作用在物体上的与物体运动的关系。 材料力学： 研究简单结构（杆件）在简单载荷作用下的刚度、强度和稳定性。基本假设：连续性；均匀性；各向同性扭转和弯曲的平面假设； 弹性力学：基本假设：假设材料是连续的假设材料是完全弹性的假设物体变形是微小的假设材料是均匀性的和各向同性的 连续介质力学：是以连续介质假设为基础的众多力学学科的总称。（如：流体力学、水

2、利学、气体力学、 弹性力学、塑性力学、爆炸力学等）力学是研究物质运动，以及引起该运动的力的学科。力学是建立在时间，空间，力，能量以及物质这些概念的基础之上的。绪 论 连续介质物质构造理论离散体模型：物体是由大量的、具有确定物理性质的、彼此相互吸引而聚集在一起的几何点的集合所组成。连续统模型：用场的概念去描述物体的几何点，而不必区分构成该物体的一个个粒子间的差异。绪 论 连续介质密度：1 nn nP nnVn VMP n 0lim)( 若所设空间内各点都能这也定义密度，则认为质量是连续分布的 绪 论 连续介质如果一个物体的质量、动量、能量密度在数学意义上存在，这个物质就是一个物质连续统（连续介质

3、）。这样一个物质连续统的力学就是连续介质力学。附加限制条件：只要始终保持含有足够多的粒子，而不至于使极限值不存在或者发生突跃绪 论 连续介质密度：1 nn nP 若所设空间内各点都能这也定义密度，则认为质量是连续分布的绪 论当n时，Vn的极限趋于一个有限的正数 连续介质力学中的“基元”物体： 在某一确定的瞬时，物体具有一定的几何形状， 并具有一定的质量。 物体由质点构成，质点占据 非常小的确定空间，具有非常小的确定质量。物体可以抽象成各种模型：如质点、刚体、弹塑性体、流体、颗粒等；按几何性质还可分为质点、一维的弦和杆、二维的板壳及三维的块体。绪 论 连续介质力学中的“基元”质量： 质量是物体运

4、动惯性的度量，对于有限体和理想 化的质点，它是个有限数。质量是物体的基本属 性，没有不具质量的物体。质量服从质量守恒定律，不能被消灭，也不能无中生有。和物体的形态相对应，质量可分为点质量、线分布质量、面分布质量和体分布质量。绪 论 连续介质力学中的“基元”时空系： 时间和空间是运动物体的客观存在形式。空间 表示物体的形状、大小和相互位置关系；时间 表示物体运动过程的顺序。 为描述物体的运动，需要在时间和空间中选取一特定的标架，作为描述物体运动的的基准，这种标架称为时空系。 绪 论 连续介质力学中的“基元”运动： 物体状态或各种参数随时间的变化过程称为运动。 物体运动是构成物体质点的运动的有机总

5、和。物体的运动须满足某些一般的规律，如质量、动量、能量和电荷等的守恒定律 绪 论 连续介质力学中的“基元”动量： 动量是物体机械运动的度量，质点的线动量等于 其质量和运动速度的乘积。动量是矢量，服从矢 量运算规则，物体的总动量是各部分动量的矢量和力： 物体线动量的变化率等与作用于其上的合力，力是改 变物体运动的原因。力是矢量，服从矢量运算规则。绪 论 连续介质力学中的“基元”功和能： 力和沿力方向的位移的乘积称为功。能量是一 个抽象的概念。能量是纯量服从能量守恒和转 化定律，它不能无中生有，也不能被消灭。系 统的总能量是其各部分能量之和。 绪 论 连续介质力学中的“基元”温度和热： 温度是物体

6、冷热程度的度量。由于存在温 度差，从一个物体流向另一个物体的能量以 热的形式表现出来。熵： 熵是在热力学第二定律的数学表述中引进的一个 状态函数，它是可加函数，系统的熵等于各部分 熵的和。它最重要的特性是：系统熵的变化永远 不小于系统由环境中得到的热量与得到此一热量 时热力学温度的比值。 绪 论 连续介质定义下的应力温度和热： 温度是物体冷热程度的度量。由于存在温 度差，从一个物体流向另一个物体的能量以 热的形式表现出来。熵： 熵是在热力学第二定律的数学表述中引进的一个 状态函数，它是可加函数，系统的熵等于各部分 熵的和。它最重要的特性是：系统熵的变化永远 不小于系统由环境中得到的热量与得到此

7、一热量 时热力学温度的比值。 绪 论 连续介质力学的基本方程一、适用于所有物体，构成自然界的基本规律。二、各种物体特有的规律，即各自的本构方程。如质量守恒、能量守恒、牛顿运动定律和保证物体自身完整性的连续性条件或遵循一定规则的间断性条件等。本构方程是各种介质相互区别的标志，是在相同环境中，物体具有不同运动的原因。虽然不同的介质具有不同的本构关系，但本构关系本身必需满足一些共同的准则，如时空无差异性原则、热力学第二定律等。绪 论 基元基本规律本构方程连续介质力学体系数学方法实验方法工程实际问题绪 论 主要研究内容张量初步（张量的概念、坐标变换、张量运算等）运动和变形（关于物体变形和运动的几何描述

8、）基本定律（如质量守恒、动量守恒等以及热力学定律）本构关系（本构公理以及典型简单物质的本构方程）绪 论 矢量与张量矢量及其代数运算矢量定义：在三维Euclidean空间中，矢量是具有大小与方向且满足一定规则的实体。矢量满足以下规则：1、相等：两个矢量具有相同的模和方向则称两个矢量相等。2、矢量和：按照平行四边形法则定义矢量和，同一空间的 两个矢量之和仍为该空间的矢量。 （矢量和满足交换律和结合律） 矢量与张量矢量及其代数运算3、数乘矢量：设a、b为实数，矢量 乘实数a仍为同一空间 的矢量，记作 。uuav其含义是： 是与 共线且模为 的a倍。uv u数乘矢量和满足分配律和结合律分配律 vaua

9、vua ubuauba )( )(结合律uabuba )( 矢量与张量矢量及其代数运算由矢量关于求和与数乘的封闭性可知，属于同一空间的矢量组 （i=1，2，I）的线性组合 仍为该空间的矢量。iu Ii iiua1线性相关：指存在一组不全为零的实数使得01 Ii iiua01 Ii iiua线性无关：指当且仅当ai=0时才有维数：一个矢量空间所包含的最大线性无关矢量的数目称为 该矢量空间的维数。 矢量与张量矢量的点积定义两个矢量 与 的点积vu ),cos( vuvuvu 矢量点积服从以下规则交换律：分配律：正定性： Schwartz不等式：uvvu vwuwvuw )(且当仅当 时0uu 0u

10、 0uuvuvu 矢量与张量矢量的叉积两个矢量 与 的叉积（也称矢积）是垂直于 ， 构成的平面的另一个矢量。vu vu zyx zyx vvv uuu kjivuw 不满足交换律：uvvu 满足分配律：vwuwvuw )(二重叉积有恒等式：wvuvwuwvu )()()( 不满足结合律：wvuwvu )()( 矢量与张量矢量的混合积定义三个矢量 ， ， 的混合积是vu w )()( wvuwvuwvu zzz yyy xxxzyx zyx zyx wvu wvu wvuwww vvv uuu 并且有： uvwvwuwuvvuwuwvwvu 混合积的物理意义是以 ， ， 为三个棱边所围成的平行六

11、面体的体积。vu w 矢量与张量指标记法矢量指标符号通常xi，i=1,n表示一组n个变量nxxx ,., 21符号i是一个指标，采用指标的符号系统称为指标符号 332211 eueueuu 31i iieuu求和约定在同一项内的一个指标重复一次时表示对该指标在它的范围上遍历求和。被求和的指标称为哑标，未被求和的指标称为自由指标。 矢量与张量哑标 31i iieuu哑标的符号可同时变换但如a ibici这样的式子在这个约定中是没有定义的。利用求和约定时一个指标的重复不应超过一次。iieuu 31m mmeuummeuu 矢量与张量自由指标无意义在一个方程的每一项出现的自由指标必须是相同的。 33

12、32321313 3232221212 3132121111 xaxaxay xaxaxay xaxaxay mmxay 11 mmxay 22 mmxay 33 mimi xay ji ba 0 jjii iii dcba cba 矢量与张量克罗内克符号(Kronecker delta) ji 0 ji 1ij mma1 1313212111 aaaa mma2 2323222121 aaaa mma3 3333232131 aaaa imim aa 如果 ， ， 是相互正交的单位矢量，则有1e 2e 3e ijji ee 矢量与张量置换符号(Eddington张量)如果 ， ， 是相互正交

13、的单位矢量且为右手系时 1e 2e 3e 011ijk（i，j，k按1，2，3顺序轮换）（i，j，k按1，2，3逆序轮换）（i，j，k任意两个指标相同）321 eee 132 eee 213 eee kijkji eee 矢量与张量 恒等式 ksjtktjsistijk 指标记法的变换1、代换2、乘法3、因式分解4、缩并 mimi bUa mimi cVb nmnimi cVUa mmbap mmdcq nnmm dcbapq0 ijij nnT 0)( jijij nT 使两个指标相同从而对它求和的运算称为缩并 矢量与张量算例 ijk kjjkiij AA ijijkijkijii )5(

14、)4( )3( )2( )1( 00633 xzxzzxzx zyzyyzyz yxyxxyxy xxyyzzzz zzxxyyyy zzyyxxxx EeEe EeEe EeEe Ee Ee Ee 1 ;1 1 ;1 1 ;1 )(1 )(1 )(1 ijkkijij vvEe )1(1 矢量与张量坐标变换平移变换 kyy hxxkyy hxx /或旋转变换 xyo P xy A B C D cossin sincos / / yxy yxx cossin sincos/ yxy yxx jiji xx / cossin sincos)( ij /jjii xx 矢量与张量坐标变换三维情况具

15、有同样原点的两个右手直角坐标系/3/2/1321 , xxxxxx和基矢量分别为 /3/2/1321 , eeeeee和一向量 可表示为x / jjexexx jj 两边与 点乘为ie )()( / iijj eexeex jj )( / ii eexx jj 若定义 则jiiee j )( / /jjii xx 若用 点乘有/ie )()( / ijji eexeex jj jiji xx / 矢量与张量一般坐标变换一组独立的变量x1, x2, x3 可以一点在某一参考标架中的坐标。通过方程 把变量x1, x2, x3 变成一组新的变量 这就规定了一个坐标变换。),( 321 xxxfx i

16、i 321 , xxx逆变换),( 321 xxxgx ii （1）在域R内，fi是单值连续函数，并且具有连续的一阶偏导数（2）在域R的任意点处，雅克比行列式0 jixxJ 矢量与张量数量、向量和张量的解析定义 一个变量系称之为数量、向量或张量，取决于该变量系的分量是如何在变量x1, x2, x3 中定义的，以及当变量x1, x2, x3 变到 时，它们又是如何变换的。 321 , xxx如果变量系在变量xi中只有一个分量，在变量 中只有一个分量 ，并且在对应点， 和 相等，则称为数量场。ix ),(),( 321321 xxxxxx 矢量与张量数量、向量和张量的解析定义如果变量系在变量xi中

17、有三个分量 ，在变量 中有三个分量 ，并且这些分量满足如下规律，称为向量场或一阶张量场。ixii kiki ikki xxxxxx xxxxxx ),(),( ),(),( 321321 321321 如果变量系在变量xi中有9个分量 ，在变量 中有9个分量 ，并且这些分量满足如下规律，称为二阶张量场。ixijTijT njmimnij jnimmnij xxxTxxxT xxxTxxxT ),(),( ),(),( 321321 321321 矢量与张量商法则 是一向量，设已知乘积A(i, j, k) （对i按求和约定求和）产生Ajk类型的张量， A(i, j, k) = Ajk 那么即证明

18、A(i, j, k)是Aijk类型的张量。ii i转置张量如果保持基矢量顺序不变，而调换张量分量的指标顺序，得到一个新的张量称为原张量的转置张量 lkjiijkl ggggTT lkjijikl ggggTS lkjikjil ggggTR RST 矢量与张量张量的对称化与反对称化若调换张量分量指标的顺序而张量保持不变，则称该张量对于这两个指标具有对称性。 jiklijkl TT lkjiijkl ggggTT lkjijikl ggggTS 对称张量 TS 即对称张量与其对应的转置张量相等 矢量与张量张量的对称化与反对称化若调换张量分量指标的顺序后所得到的张量与原张量相差一符号，则称该张量对

19、于这两个指标具有反对称性。 jiklijkl TT lkjiijkl ggggTT lkjijikl ggggTS 反对称张量 TS 矢量与张量张量的对称化与反对称化将任一张量 的分量指标中某两个指标顺序互换，得到张量 ，并按下式构成新张量对称化运算 TS )(21 STA 反对称化运算将任一张量 的分量指标中某两个指标顺序互换，得到张量 ，并按下式构成新张量T S )(21 STB 矢量与张量张量分析张量微分算子 iix kk ,梯度 mlkmklmmlkkl lklkllkk kkkk iiiTiiiTTTgrad iiuiiuuugrad iigrad ,),( ,),( , lkmmk

20、lmlkklm kllklkkl iiiTiiTiT iiuiuiu ,),( ,),( 矢量与张量张量分析微分 lkmmkl kllk iidxTTxdxdTgradTd idxuuxdxdugradud ,)( ,)( 散度lkklmlkklm kklkkl iTiiTiTTdiv uiuiuudiv ,),( ,),( T klkl TiTT , 矢量与张量张量分析旋度 nkmknmklmlkklm mlkmlklkkl iiTiiTiTTCurl iuiuiuuCurl ,),( ,),( nklmnmklmmlkkl mklmlkllkk iiTiiiTT uCurliuiiuu ,

21、),( ,),( 矢量与张量二阶张量二阶张量的特征值、特征向量正则与退化行列式不为零的二阶张量称为正则张量，否则称为退化张量。若 是一个矢量，此矢量在张量 的作用下变换为与自身平行的一个矢量，即：a TaaT a即为特征向量为特征值 矢量与张量二阶张量二阶张量的不变量 32 1 det )(21 TT TTTT TTtr ijijjjii ii 矢量与张量几种特殊的二阶张量零二阶张量与单位二阶张量 000 000 000O 100 010 001I二阶张量的幂 2 TTT 3 TTTT . TTTTn 矢量与张量几种特殊的二阶张量反对称二阶张量 000 2313 2312 1312所对应的特性

22、方向的单位矢量称为反对称张量的轴0,0 21 II 023 I 3反对称张量的反偶矢量 :21 uu 矢量与张量二阶张量的分解1、加法分解ji ij eeTT )(21 TTTN )(21 TTT球形张量偏斜张量jiijTTjiij eeIIeePP 11 3131 031 kkij NP当 i = j当ji jiijijjiij eePNeeDD )( ij kkijij N NND 31当 i = j当ji DPN 矢量与张量二阶张量的分解2、乘法分解定理：正则的二阶张量必定可以分解为一个正交张量与一个 正张量的点积。 HQT 11 QHT 右极分解左极分解 应 力应力的表示法 12131

23、1 222321323331x1 x2x3O T1 T11 =11 T21 =12 T31 =13T12 =21 T22 =22 T32 =23T13 =31 T23 =32 T33 =33等称为剪应力，其他分量称为正应力，分量2312 332211 zzyzx yzyyx xzxyx 应 力应力的表示法 x1 x2x3O 32 33 31323331 22232122 23 21应力正方向应力始终被认为是位于面元外侧的部分对位于面元负侧的部分的单位面积上的作用力。这样定义与常用的拉伸、压缩和剪切的定义一致。 应 力运动定律动量 x3 x1x2O B(t)S )(tB dVv r v，速度为该

24、点处密度为动量矩 )(tB dVvr F由牛顿运动定律M面力体力 应 力运动定律总力 x3 x1x2O B(t)S X1dVX2dVX3dV总力矩运动方程 BSv dVXdSTF BS v dVXrdSTrM BBSv dVvDtDdVXdST BBS v dVvrdVXrdSTr 应 力柯西公式表示面元外部材料对内部材料作用的应力矢量 与表示内部材料通过同一面元对外部材料的应力矢量 大小相等，方向相反)(T)(T)()( TT S S )(T )(T BBSv dVvDtDdVXdST 运动方程0)()( STST 应 力柯西公式jijni nT ),cos( 11 xndSdS dSn1)

25、,cos( 22 xndSdS dSn2),cos( 33 xndSdS dSn3 hdSdV 31hdSvhdSXdST dSndSndSnn 3131)()( )()()( 11 333122211111 3312211111 nnnTn 3322221122 nnnTn 3332231133 nnnTn 应 力平衡方程对于非均匀应力场，每个应力分量都是位置的函数在点(x1,x2,x3)处，应力11 (x1,x2,x3)在点(x 1+dx1,x2,x3)处，应力11 (x1,x2,x3)132111132111 321111 ),(),( ),( dxxxxxxxx xxdxx 11111

26、1321111 ),( dxxxxdxx 应 力平衡方程0)( )()( 3211213121333131 312131222121321132111111 dxdxdxXdxdxdxdxdxx dxdxdxdxdxxdxdxdxdxdxx x1方向合力为零01331221111 Xxxx 0 ijij Xx 应 力平衡方程绕x3轴合力矩为零2112 绕x 2轴合力矩为零3113 绕x1轴合力矩为零2332 jiij 应 力坐标变换时应力分量的变化 jijni nT kxn 选为平行于轴若将法矢量332211 , kkk nnn 则kjjiikT 轴方向上的分量在矢量mk xT 332211

27、mkmkmkkm TTT miikT mikjjikm 应 力应力边界条件硬材料软材料P BA P BA )1(n)1(nT P BA )2(n )2(nTxz )1()1()1( jjin i nT )2()2()2( jjin i nT 0)2()1( nn TT )2(33)1(33 )2(32)1(32 )2(31)1(31 自由面边界条件：0313233 主应力和主轴引言 333231 232221 131211 )( jiij 321 00 00 00 mikjjikm 特定坐标系特定的坐标轴称为主 轴相应的应力分量称为主 应 力主轴所确定的平面称为主 平 面 主应力和主轴平面应力

28、状态 333231 232221 131211 )0( 323133 000 00yxy xyx y xx xyy xyxy 主应力和主轴平面应力状态 000 00yxy xyx y xxy xy xy 000 00yxy xyx 100 0cossin 0sincos 333231 232221 131211 cossin2sincos 22 xyyxx cossin2cossin 22 xyyxy )sin(coscossin)( 22 xyyxxy 主应力和主轴平面应力状态 cossin2sincos 22 xyyxx cossin2cossin 22 xyyxy )sin(coscos

29、sin)( 22 xyyxxy )2cos1(21sin2 )2cos1(21cos2 2sin2cos22 xyyxyxx 2sin2cos22 xyyxyxy 2sin2cos2 xyyxxy 0 xy yx xy 22tan22 minmax 22 xyyxyx 22max 2 xyyx 主应力和主轴主应力 物体内任意点处三个相互正交的平面满足该平面上的应力矢量与其垂直，则该组平面为主 平 面，其法线称为主 轴，作用在平面上的正应力称为 主 应 力 1,2,3)(i 0 jjiji n 032213 IIIjiji I1，I2，I3称为应力张量的不变量 主应力和主轴剪应力 nT n )(

30、ninin nT)( ijji nn 2 )(22 nnT 若选主轴为坐标轴2332222112 )()()( nnnTn 22332222112 )( nnnn 2132123232232222122212 )()()( nnnnnn 0,2/1 321 nnn若)(21 21 主应力和主轴应力偏量ijijij 0 )(3131 3210 ii应力偏量平均应力 0 jiji 300233 2202 13 0 JIJ IJ J 0 ii主偏应力应力张量主轴与偏应力张量主轴重合 主应力和主轴拉梅应力椭球jijni nT 将应力张量主轴选为坐标轴 321 00 00 00 111 nTn 222

31、nTn 333 nTn 并且1232221 nnn 1)( )()( )()( )( 23 2322 2221 21 nnn TTT 运动与变形物体的构形与坐标系构形：物体在空间占据一定的区域，构成一空间几何图形称 为物体的构形。B初始构形I 3X1 I1 b现时构形X2X3I2 x1 x2x3i3 i2i1O oX(XK) x(xk)ud 运动与变形物体的构形与坐标系I 3X1 I1 X2X3I2 x1 x2x3i3 i2i1O oX(XK) x(xk)udKLLK II kllk ii kKKkkK IiiI 转移张量KkKk Ii kkKK iI 运动与变形物体的构形与坐标系I 3X1

32、I1 X2X3I2 x1 x2x3i3 i2i1O oX(XK) x(xk)udu kkiuKKIU kKKk Uu kKkK uU lkkKlK LKkKkL 运动与变形物体的运动I 3X1 I1 X2X3I2 x1 x2x3i3 i2i1O oX(XK) x(xk)ud物质描述用物质坐标XK作为自变量来描述物体的变形和运动，称为物质描述或Lagrange描述),( tXxx ),( tXxx Kkk 运动与变形物体的运动I 3X1 I1 X2X3I2 x1 x2x3i3 i2i1O oX(XK) x(xk)ud空间描述用空间坐标xk作为自变量来描述物体的变形和运动，称为物质描述或Lagra

33、nge描述),( txXX ),( txXX kKK 运动与变形I 3X1 I1 X2X3I2 x1 x2x3i3 i2i1O oX(XK) x(xk)ud物体的运动u wdXx kkLLkk dXxu KKkKkK DXxU 运动与变形变形梯度和变形张量KkkK IiFXxF 物质变形梯度张量XdFxd KkKk dXFdx LKKL dXdXXdXddL 2 kkdxdxxdxddl 2 LKkLkK dXdXFF kLkKKL FFC 右Cauchy-Green变形张量 FFC T 运动与变形变形梯度和变形张量 kK dxFdX Kk1KKdXdXXdXddL 2 kkdxdxxdxdd

34、l 2左Cauchy-Green变形张量TFFB kKKk iIFxXF 11 空间变形梯度张量xdFXd 1 lkdxdxFF KlKk 11 kKXFKk ,1 lklKkKT iiXXFFB ,)( 111 TFFC )( 111 Piola变形张量 运动与变形应变张量LKKL dXdXdL 2 2dl LKKLLKkLkK dXdXCdXdXFF LKKLKL dXdXCdLdl )(22 )(21 KLKLKL CE )(21 ICE Green或Lagrange应变张量 运动与变形应变张量Euler或Almansi应变张量lkkl dxdxdl 22dL lkdxdxBkl1 lk

35、kl dxdxBdLdl KL )( 122 )(21 1 klklkl B )(21 1 BI 运动与变形用位移表示的应变张量kkLLkk dXxu u dXx kMKMkKKk Ux , ),(21 LMKMKLLKKL UUUUE KKkKkK DXxU mKkmkKkK uX , ),(21 lmkmkllkkl uuuu 运动与变形小应变与小转动 ),(21 ),(21 ),(21 ),(21 000 000 kllkklkl kllkkl KLLKKLKL KLLKKL uurr uu UURR UUE )(21 00000 MLMLMKMKKLKL REREEE )(21 000

36、00 mlmlmkmkklkl rr （1）应变和转动都很小0KLKL EE 0klkl （2）应变很小，转动较大000 21 MLMKKLKL RREE 000 21 mlmkklkl rr 运动与变形主应变和主方向1)()( aM dLdLdl dLdla 名义或Lagrange相对伸长Euler相对伸长1)( 1)( am dldLdl 线元伸长比LKKLMM MME )211( )()( dLdXM KK 1KLLKMM )1()( LKKLLKKLK MMEMMEM 0)( LKLKL MEE )3,2,1( E主应变)3,2,1( M主方向lkklmm mm )211( )()(

37、dldxm kk )3,2,1( 主应变)3,2,1( m主方向 运动与变形应变张量的坐标变换LKKLLKKL XdXdEdXdXEdLdl 2222 KKKK IXdIdXXd LKLK dXQXd LKLNKMKLLKKL dXdXQQEdXdXEdLdl 2222 KLNLMKKL EQQE KLLNKMKL EQQE KLKL EE 0)( KMMPMP QEE 运动与变形变形张量的主值023 CCC CCCICC LKKLKL dXdXCdLdl )(22 22 22 )( dLdXdXCdLdLdl LKKLKL dLdXM KK 1KLLKMM LKKLKL MMC )(12 2

38、 C 2EIC 0)1(21 ICE EC 212 M特征向量 运动与变形变形张量的主值 321 MMMP T TTTMMMP 321 IPP T 232221 00 00 00 TPCP PPC T 232221 00 00 00 定义 PPU T 321 00 00 00 CPPU T 2322212 00 00 00 2/12/1 )( FFCU T 运动与变形变形张量的主值 1C PP T 2 32221 00 00 00 C-1的特征值是C的倒数TFFB FFC T 1 )( FCFB T FCFB T 1 MUMUC 2 1211 MUFMUFFCF TTTT 2 mmB 1 mU

39、Fm T 运动与变形变形张量的主值 2/12/1 )( TFFBV 321 mmmp T TTTmmmp 321 Ipp T 232221 00 00 00 TpBp ppB T 232221 00 00 00 定义 ppV T 321 00 00 00 BppV T 2322212 00 00 00 运动与变形变形张量的主值 232221 212323222221 232221 BC BC BC 232221 212323222221 232221 1 111 11111 11 11 BC BC BC 1B pp T 232221 00 00 00 B-1的特征值是B的倒数 运动与变形变形张

40、量的极分解 RVURF 正交张量，代表纯转动右Cauchy-Green伸长张量左Cauchy-Green伸长张量a2 a1 a2 a1U Ra2 a1 b2 b1VR b2 b1 b2 b1 速度场与协调条件速度场在研究流体流动时通常关心的是速度场，物体中每个质点的速度。每一点的速度可表示为：),( zyxv ),( zyxv irvv 0 vcurlv 2121 vcurlvv 210 刚体运动的速度分解定理若不考虑变形 速度场与协调条件速度场考虑非刚体的连续介质)( rdrvv 将 在P 0点展成泰勒级数并取一阶3322110 dxxvdxxvdxxvvv rdLv 0jiij xvL 速

41、度梯度张量v jijjjii dxLdxxvdv 速度场与协调条件速度场)(21 TLLV )(21 TLL VL变形速度张量Euler应变率张量伸长速率张量旋率张量rdrdVvv 0 211221123 311313312 322332231 )(21 )(21 )(21 xvxv xvxv xvxvrdrd rdvcurlrdVvv 21 0 速度场与协调条件协调条件),(21 LMKMKLLKKL UUUUE ),(21 lmkmkllkkl uuuu 在小变形情况下：用位移表示的应变张量：),(21 KLLKKL UUE ),(21 kllkkl uu xuxx yvyy )(21 x

42、vyuxy 速度场与协调条件协调条件给定偏微分方程组时的可积性问题),( yxfxu ),( yxgyu 需满足：xgyf 称为可积性条件或协调方程 xyyyxxxvyuyvxu 2)( 2322 yx uyxx 2322 xy vxyy yx vyx uyx xy 232322 yxxy xyyyxx 22222 2平面应变状态的协调方程yxLxLyL xyyyxx 22222 2可积性条件 速度场与协调条件三维应变分量的协调条件)(21 , ijjiij uu )(21 , ikljjkliklij uu )(21 , kijllijkijkl uu )(21 , jikllikjikjl

43、 uu )(21 , ijlkkjlijlik uu 0 , ikjljlikijklklij 圣维南协调方程 )(2 zyxxzy xyzxyzxx )(2 xzyyzxz yzxyzxyy )(2 yxzzyx zxyzxyzz 222222 xyyx yyxxxy 222222 yzzy zzyyyz 222222 zxxz xxzzzx 本构方程材料性质的描述描述材料性质的方程称为该材料的本构方程。 本章主要讨论无粘性流体、牛顿粘性流体和理想弹性固体的本构关系。其他的本构方程还有描述热传导特性、电阻特性、电磁特性、质量传递、晶格增长等。应力应变关系描述材料的力学性质，因此也是一种本构方

44、程。 本构方程无粘性流体 从力学上说，流体与固体的区别在于它不能在没有连续变形的情况下承受剪应力。定义：流体是一种理想物质，当它做拟刚体运动（包括静止状态）时， 不能承受剪应力。液体：在承受广泛范围的载荷时，密度变化可以忽略。 一般可分为不可压缩流体和可压缩流体两种概念不可压缩流体在它所充满的空间具有均匀的密度，称为均质流体。 本构方程无粘性流体在通过一点的所有平面上，不仅没有剪应力，而且正应力全部相等。因此，无粘性流体的应力张量是各向同性的，它的形式为： ijij p P为压力RTp 理想气体状态方程对于实际气体或液体0),( Tpf 对于不可压缩流体0DtD 本构方程无粘性流体静力学方程由

45、平衡方程0 ijij fx 如果令x 3垂直向下为正，就有f1=f2=0, f3= g gxpxpxp 321 00如果流体作拟刚体运动（变形率=0），上式修改为包含加速度项DtDvfx iijij 本构方程牛顿流体牛顿流体是一种粘性流体，其剪应力和变形成正比，应力应变关系为： klijklijij VDp 若流体是各向同性的)( jkiljlikklijijklD ijijkkijij VVp 2 kkkk Vp )23(3 ijkkijijij VVp 322 0 kkV若：ijijij Vp 2 本构方程胡克弹性固体klijklij C jiij 由于jiklijkl CC jiij 由

46、于klijklklijlkijklij CCC )(21ijlkijkl CC )6,5,4,3,2,1,( MK C MKMK 本构方程胡克弹性固体,6)1,2,( iddWdA ii jiji C 由于ijij dCdW 由于应变势能与加载过程无关：ii dWdW 沿整个加载变形过程积分dW，应变势能密度为：jiijCW 21 本构方程胡克弹性固体 ijji CW 2对应变势能密度取偏导数：jiij CW 2 同样有：jiij CC 本构方程胡克弹性固体 jiijCW 21 62265225422432232222 611651154114311321122111 21 21 CCCCC

47、CCCCCCW 2666 65562555 644654452444 6336533543342333 21 21 21 21 CCC CCC CCCC 共21个独立的弹性常数 本构方程胡克弹性固体1、具有一个对称平面yz x o 44 )(21)(21 zvywzvyw 55 )(21)(21 xwzuxwzu 05646533425241514 CCCCCCCC共13个独立的弹性常数 本构方程胡克弹性固体2、正交各向异性若还关于y轴对称 44 )(21)(21 zvywzvyw 66 )(21)(21 yuxvyuxv 05645633426241614 CCCCCCCC共9个独立的弹性常

48、数具有两个正交弹性对称面的材料一定对于和这两个平面垂直的的第三个平面具有对称性 本构方程胡克弹性固体3、横观各向同性 12 12 0, 21，其余为 21211211212211 )(2121 CCCCCW 0,6其余为 26621 CW )(21 121166 CCC 554423132211 , CCCCCC 共5个独立的弹性常数 本构方程胡克弹性固体4、各向同性332211 CCC 231312 CCC )(21 1211665544 CCCCC 共2个独立的弹性常数 本构方程胡克弹性固体klijklij eC ijkkij ee 2（ 和 称为拉梅常数） 122112 311331 2

49、33223 3333 2222 1111 222222 eeeeee zzyyxxkk （用应变表示应力的本构方程） 本构方程胡克弹性固体 ijkkijij vvEe )1(1 122112 311331 233223 11223333 33112222 33221111 111 )(1 )(1 )(1 Evee Evee Evee vEe vEe vEe 本构方程胡克弹性固体胡克定律的其他形式 aaaa K 3 ijij G 2 ijaaijij 31 ijaaijij 31是一点处的平均应力aa31是单位体积的变化aaK称为材料的体积模量)(2,)23( GGGGE )1(2,)21)(1

50、( vEGvvEv 各向同性各向同性概念力学性质与方向无关的材料称为各向同性材料各向同性张量：是一种在任意笛卡尔直角坐标系中其分量值不随坐标的正交转化而变化的张量。 ijklijkl CC 材料是各向同性的，其本构在坐标的正交变换中保持不变klijklij eC klijklij eC 各向同性零阶、1阶各向同性张量所有标量都是各向同性的。但不存在一阶各向同性张量。绕 轴旋转180度情况 1x 33 22 11 xx xx xx 100 010 001ij332211 , AAAAAA ii AA 但各向同性要求032 AA因此，同样过程，绕x2轴旋转1800，可以得到A1=0 各向同性2阶各

51、向同性张量每一个2阶各向同性张量都可一化为 的形式ijp绕 轴旋转180度情况 1x 33 22 11 xx xx xx 100 010 001ij122112 BBB mnnm 1212 BB 但各向同性要求012 B因此，所以，2阶各向同性张量必须是对角张量 各向同性绕 轴无限小旋转情况3x iijijj xdx )( 3 100 01 01)()( 3 d dd ijijij )()()( 23333 dOBBdBBddB injnmjimijmnjnjnimimij 033 injnmjim BBd ，必须有：对于任意的01,1 12 Bji时，可以得出：取 22112,1 BBji

52、时，可以得出：取 2阶各向同性张量 各向同性3阶各向同性张量绕 轴无限小旋转情况 )()( 2 dOuuudu ijpskpsinksjnsmjksimsijk mnpskpskpsjnsjnsimsimijk udddu )()( 0 ijpskpsinksjnsmjksims uuu ikijkijj xdx )( 各向同性3阶各向同性张量0 ijpskpsinksjnsmjksims uuu 取i=j=1，则有：取k=2，有：0 113311221111123132213312 uuuuuuu skssksskskkkk 0 0113 132312 111122212 u uu uuu取

53、k=3，有：0 0112 231213 111133313 u uu uuu 各向同性由于 为各向同性张量4阶各向同性张量 sklsijjkiljlik jkiljlikklij ,ij )()( jkiljlikjkiljlikklijijklu 证明任何4阶各向同性张量可表示成如下形式：如果具有对称性：ijlkijkljiklijkl uuuu , )( jkiljlikklijijklu 各向同性4阶各向同性张量指标1，2，3置换不会影响各向同性张量的分量值： 311323321221 313123231212 332222331122 333322221111 uuu uuu uuu

54、uuu 各向同性4阶各向同性张量绕 轴旋转180度情况 100 010 001 ij1x 33 22 11 xx xx xxmnpqlqkpjnimijkl uu 0221312231222 uuu 1221121211221111 , , , uuuu到四个：数值上不同的分量减少 各向同性4阶各向同性张量绕 轴无限小旋转情况3x iijijj xdx )( 3 )()( 23333 dOuuuuduu pqriispqisirpirsiqiqrsippqrspqrs 03333 pqriispqisirpirsiqiqrsip uuuu (a) pqrs四个全相等(b) pqrs三个相等(c

55、) pqrs两个相等而另外两个不等(d) pqrs两两相等 各向同性4阶各向同性张量(a) pqrs四个全相等03333 pqriispqisirpirsiqiqrsip uuuu 所有项均为零(b) pqrs三个相等0 1111112212122112 uuuu(c) pqrs两个相等而另外两个不等(d) pqrs两两相等 311323321221 313123231212 332222331122 333322221111 uuu uuu uuu uuu 0221312231222 uuu 各向同性4阶各向同性张量设： 211212121122uuu 01111112212122112 u

56、uuu 21111 u如果 ，则对应于 i=j，k=l情况0,0 klijijklu 如果 ，则对应于 情况0,0 )( jkiljlikijklu jikjli jiljki , ,如果 ，则对应于 情况jikjli jiljki , ,0,0 )( jkiljlikijklu 各向同性各向同性张量材料 klijklij eC若弹性固体是各向同性的，其本构方程为：jiij 由于jiklijkl CC jiij 由于ijlkijkl CC )( jkiljlikklijijklC klijklij eC ijkkij ee 2 klijklijij VDp )( jkiljlikklijijk

57、lD ijijkkijij VVp 2对于各向同性粘性流体 各向同性应力和应变主轴的重合ijkkijij ee 2 ijijkkijij VVp 20)( jjiji v 应力和应变主轴的方向余弦下列方程确定：0 jiji 0)( jjiji vee 0 jiji ee 0)2( jjijikkji vee 0)(2 jjiji ve 2 kke对于弹性固体对于粘性流体 场方程的推导高斯定理设 为空间有界闭区域，其边界面S是分片光滑曲面，曲面正侧记作S+，若向量函数F(x,y,z)=P (x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)的各分量在及S+上有连续一阶偏导数，则有：dVzRyQ

58、xPdSnF S )(或：dVzRyQxPSdRQPS )()coscoscos( 其中 是S+在点(x,y,z)处的单位法向量 cos,cos,cosn 场方程的推导物质导数空间导数：是在给定的空间点上函数对时间的变化率。),(),( tXFtxf ),( txXX xt xt txf ),( xt tXF ),( xtX tXXFt tXF ),( xitiX tXXFt tXF ),( 场方程的推导物质导数物质导数：是在给定的物质点上函数对时间的变化率。),(),( tXFtxf ),( tXxx Xt Xt txf ),(Xt tXF ),( Xtx txxft txf ),( Xit

59、ix txxft txf ),( iXi vtx iiX evvtx 质点速度 场方程的推导物质导数Xt xtDtD t Dt txDft txft tXFDt tXDF XX ),(),(),(),( ii vxft txfvxft txf ),(),(物质导数算子DtD ii xvt 场方程的推导体元的物质导数 o1X 2X3X1x 2x3x1e 2e3e)( 0tt0P )0(dV )( ttP dV )3()2()1()0( XdXdXddV )3()2()1( pnmmnp dXdXdX )3()2()1( xdxdxddV )3()2()1( pnmpknjmiijk dXdXdX

60、XxXxXx )0( )3()2()1(JdV dXdXdXJ pnmmnp )3(Xd )1(Xd )1(xd )2(xd)3(xd)2(Xd 场方程的推导体元的物质导数)0()0( )()( dVDtDJJdVDtDdVDtD kjiijk XxXxXxJ 321 )( 321 kjiijk XxXxXxDtDDtDJ kjiijkkjiijkkjiijk XxXxXxXxXxXxXxXxXx 321321321 JxvJ ii dVxvdVDtD ii)( 场方程的推导面元的物质导数 o1X 2X3X1x 2x3x1e 2e3e)( 0tt0P )1(dX )2(dX )0(dS gnm

61、gmn edXdXdXdXdS )2()1( )2()1()0( )( ttP )1(dx)2(dx dS inmnkmjijk edXdXXxXxdxdxdS )2()1()2()1( inmnkmjgpijkig edXdXXxXxXxxX )2()1( igiginmgmnig edSxXJedXdXJxX )0()2()1( 场方程的推导面元的物质导数)()( )0(gigi dSxXJDtDdSDtD )0()0( giggig dSxXDtDJdSxXDtDJ JxvDtDJ ii nginig xXxvxXDtD jijijji dSxvdSxvdSDtD )( 场方程的推导线元

62、的物质导数jjijjii dXXvdXXxDtDdxDtD )()( jjii dxxvdxDtD )(线元平方的物质导数：)()()( 2 iidxdxDtDdxdxDtDdxDtD ikkiii dxdxxvdxDtdxD 2)( 场方程的推导体积分的物质导数 o1X 2X3X1x 2x3x1e 2e3e)( 0tt )( tt0V0S V S ),(),(),( tXFtfXxftxfT V dVtxft ),()( 0 0),(),( VV JdVtXFdVtxf 0JdVdV 场方程的推导体积分的物质导数 0 00 0),( ),( ),(V VV JdVtXFDtD JdVtXFD

63、tDdVtxfDtDDtD VV dVtxfDtDdVtxfDtD ),(),( dVtxfvxtxftV ii ),(),( dStxfnvdVtxftdVtxfDtD S iiVV ),(),(),( n为面元dS的单位外法线 场方程的推导面积分的物质导数),(),(),( tXFtfXxftxfT 函数T的面积分： S iii dStxftGG ),()()0(jiji dSxXJdS )0( ),(),( S jijS i dSxXJtXFdStxf S iS i dStxfDtDdStxfDtD ),(),( jS ijS ijj dSxvtxfdSx txfvt txf ),(),

64、(),( 场方程的推导线积分的物质导数),(),(),( tXFtfXxftxfT 函数T的线积分： L iii dxtxftHH ),()(jjii dXXxdx 0 ),(),( L jjiL i dXXxtXFdxtxf L iL i dxtxfDtDdxtxfDtD ),(),( jL jiL ijj dxxvtxfdxx txfvt txf ),(),(),( 场方程的推导一、质量守恒、连续方程在t时刻，占据空间体积为V的那部分连续介质的质量m为： V dVm 其中 为质量密度),( tx const1、欧拉形式的连续性方程： V iiV dVxvtdVDtDDtDm 0)( （积分

65、形式的连续性方程）（微分形式的连续性方程）0)( iixvt 场方程的推导一、质量守恒、连续方程2、拉格朗日形式的连续性方程：*),(*),(),( tXttXxtx由质量守恒： 00 0000),(*),( VVVV dVdVtXdVtxdV 由体元变换： 000 0000 ),(),(* VVVV JdVJdVtxJdVtXdV 00 000 VV JdVdV J00)( JDtD （微分形式的连续性方程） 场方程的推导一、质量守恒、连续方程3、质量守恒的一个推论dVDtDdVDtD VV 证明：将上式坐标积分由欧拉变换到拉格朗日空间 00 00 * JdVJdVdV VVV 00 00

66、)( dVDtJDJdVDtDdVDtD VVV 两边取物质导数：0)( JDtD dVDtDJdVDtDdVDtD VVV 00 场方程的推导二、动量守恒定律总动量： V vdVtMM )(合力： VSn XdVdSTF jjiin nT V ijiji dVXxF )( 牛顿第二定律：ii FMDtD dVvDtDMDtD iVi dVDtDvV i V ijiji dVXxF )( ijiji XxDtDv ijijjiji Xxxvvtv )( 场方程的推导二、动量守恒定律在静平衡状态：0DtDvi即：运动方程可简化为：0 ijij Xx 0003 333223113 2332222112 1331221111 Xxxx Xxxx Xxxx （平衡方程） 场方程的推导三、动量矩守恒定律 V dVvxK )( 总动量矩： V kjijki dVvxeK 或：体力矩：dVXxM V )( V kjijki dVXxeM或：面力矩：dSTxM S n )(* dSTxeM S knjijki *或：由柯西公式：jjini nT dSnxeM S llkjijki *再由高斯定理：dV