《山东大学《高等数学》期末复习参考题(20)》由会员分享，可在线阅读，更多相关《山东大学《高等数学》期末复习参考题(20)（12页珍藏版）》请在装配图网上搜索。
1、山东大学数学分析III期末复习参考题题号一二三四五六七总分得分一 .选择题（共 10 小题， 40 分）1.函数 f (x, y)x2y 2 ,xy01,xy在（ 0， 0）点处（）。0A ）不存在偏导数；B）存在函数极限；C）存在两个偏导数但不连续；D）存在两个偏导数且连续。2.下列命题关于f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 的全微分描述错误的是（）。A ） dz 是x 与y 的线性函数；B ） dz 与z 之差比为高阶无穷小；C） f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 可微，则f ( x, y)在 P0 ( x0 , y0 ) 连续；D） f ( x, y
2、) 在 P0 ( x0 , y0 ) 存在两个偏导数，则在f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 一定可微。3.函数 zx y (x0) ，而 x sin t , ycost, 则 dz（）。dtA ） yxy1 costx y sin t ln x ；B） yxy1 costx y sin t ln x ；C） yxy1 sin tx ycost ln x ；D ） yxy1 sin tx y sin t ln x 。4.如果函数 f ( x, y) 在 P0 ( x0 , y0 ) 的邻域 G(),则 f xy(x0 , y0 )f yx ( x0 , y0 ) .x yxy
3、存在且在 P0 ( x0 , y0 ) 连续；A ）f xyf yx(,),(,)B ） f xy( x, y),f yx( x, y) 存在且可导 ;C） f xy ( x, y),f yx( x, y) 存在且在 P0 ( x0 , y0) 连续；D） f xy( x, y),f yx( x, y) 存在。xar sincos5.坐标变换ybr sinsin ，（a，b，c 为正常数）的函数行列式的值为（） .zcr cosA ） rB） abcrC） r 2 sinD） abcr 2 sin6.无穷积分 0 e xdx, 0 xe x2dx 的值分别为（）。A ） 1，0.5B ） 0.
4、5，1C）1， 1D） 0.5，0.17. 关于无穷积分1 dx 的结论错误的是（）。1xA ）1时C）1时111 dx收敛；B）1时1x1 dx1；D）0 时1x11 dx发散；x1 dx收敛。x8.下列非函数性质的选项为（）。A ）0, (1)() ； B） n N , ( n 1)n!；C）函数为定义域上的非连续函数；D）函数为定义域上的连续函数 .9.下列积分不是求平面区域面积公式的是（）。bf (x)dx； B）xdxdy； C）dxdy ；D ） 1xdyydx.A ） aSS2 C10. C 为圆周线 x2y2a2 ，则xy2 dyx2 ydx（）。CA ）a2 ；B ）a4 ；
5、C） a2；D ） a4 。22二、 f (x, y)(x2y2 ) sin1y2, x2y20x2x2y2在（ 0， 0）点：0,01. 是否可微； 2.偏导数是否连续。 （ 10 分）tx23 z2 .（ 10三、设 z e , t2 y ,求 z 关于 x 和 y 的二阶偏导数和分）y x四、求无穷积分K0e x sin 2xdx。（ 10 分）F ( x, y, u, v) u2v2x2y 00 ,0 ,0 ,0 ) (2,1,1,2) 的五、验证方程组在点 (uG( x, y, u, v) uvxy1 0xyv邻域满足隐函数组存在条件，从而在点（1， 2）的邻域存在唯一一组有连续偏导
6、数的隐函数组xx(u, v)x ,y .（10 分）y，求y(u,v)uu2六、求函数f ( x, y, z)x2 y2 z2 在曲面 x 2 y2 z2 ( a )3 , (a 0 为常数 )上的最小值 。3（ 10 分）七、证明：若f ( x) 在 0,a 上连续，x 0,a ，有g(x)1xf ( x) （ 10 分）( x t )n 1 f (t )dt ，则 g ( n ) ( x)(n1)! 0数学分析 III期末试卷 20 答案与评分标准一、（每题 4 分，共 40 分）1-5：CDACD6-10：ADCBB二、解：1. a ：由定义f (x,0)f (0,0)(x)2sin(1
7、 2(0,0)limlimx)0 ，f xxxx0x0(y) 2 sin12f y(0,0)limf (0, y)f (0,0)lim(y)0 ，y0yy0x（ 2 分）dff x (0,0)xf y (0,0)y0 ，dz是x 与y 的线性函数；（ 4 分）b：设x 2y 2 ，ff (x,y)f (0,0)(x 2y 2 ) sinx21y22 1 sin 2dffsin10，dz与z之差比lim2为高阶无穷小；0由 a 与 b ， f(x,y)在 (0,0)可微 .（ 6 分）2. (x, y): x2y20,有 fx (x, y)2xsin21y2x22x2 cosx21y2xy当 y
8、x 时， limf x ( x, y) lim (2xsin 121cos12 ) 不存在。x0x 02x2x2xfx ( x, y) 在 (0,0)间断，同理，f y (x, y) 在 (0,0)也间断。（ 10分）三、解：zzt2 xe x 22 y ；zzt2 e x 2 2 y ；xtxyty2 z4 x2ex22 y2 ex22 y ；2 z4ex 22 y ；（ 6 分）x 2y 22 z4 xex22 y2 z3 z8 x2ex2 2 y4ex 22 y。x yy xy x 2；（ 10 分）四、解：K0e x sin 2xdx0 e x d(1 cos2x)2e x (1 co
9、s2x) 01(e x )d (1 sin 2x)22 02（ 6 分）11(e x1sin 2x010e x sin 2xdx)11K222224K2（ 10分）5五、解：1)F2x,F1,F2u,F2v,xyuv在 ( 2,1,1,2)的邻域连续；GGGGy,1,1,xyx,uv（ 4 分）F ( 2,1,1,2)02）；G(2,1,1,2)03） J(F , G)2x12x2y ，yx( x, y)在 ( x0 , y0 )( 2,1) 处， J7 0；（ 6 分）由 1）2）3），方程组满足定理3 条件，在 (2,1,1,2) 的邻域存在唯一一个具有连续偏导数的隐含数组xx(u,v)，
10、且yy(u,v)F2u2x xuuG1xuyu六、解：求解条件极值限制条件由拉格朗日乘数法：y0x2xu1uu2x2yyy(2x。x02 yu)uu2x2y（ 10 分）f ( x, y, z) x2y2z2 ；x2 y 2 z2( a 2 )3（ 3 分）3设(x, y, z, )x 2y2z2( x2 y2 z2(a 2 )3 )（ 5 分）3x2 x2xy 2 z 20(1)y2 y2x2 yz 20(2)z2 z2x 2 y 2 z0(3)( a 2 ) 3x 2 y 2 z 20 ( 4)3（ 8 分）(1)x2x22x2 y2 z20x2( a2)33同理，令 ( 2)y, (3)z ： x2y2z2(a2)33x2y2z2a2为 f ( x, y, z) 唯一的驻点，3f ( x, y, z) 在曲面上的最小值为a2。（ 10 分）七、证明：函数(x, t)( xt) n1 f (t)与xn 1( xt) n 2 f (t ) 在R 0ta,0xa 上连续；（ 2 分）g(x)1xt )n2f (t )dt(x(n 2)!0g(x)1xt )n3f (t )dt3)!(x(n0.（ 6 分）g ( n 1 ) ( x)1x( x t)0 f (t)dtxf (t)dt0!00g(n )(x)dxf (t )dtf (x)dx 0（ 10 分）
山东大学《高等数学》期末复习参考题(20)
