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1、 2连 续 函 数 的 性 质 一 、 四 则 运 算 的 连 续 性定 理 1 . )0)()( )(),()(),()( ,)(),(0 00处 也 连 续在 点则 处 连 续在 点若 函 数x xgxg xfxgxfxgxf xxgxf 例 如 , ,),(cos,sin 内 连 续在 xx .csc,sec,cot,tan 在 其 定 义 域 内 连 续故 xxxx 二 、 反 函 数 与 复 合 函 数 的 连 续 性定 理 2 严 格 单 调 的 连 续 函 数 必 有 严 格 单 调 的 连续 反 函 数 .例 如 , ,2,2sin 上 单 调 增 加 且 连 续在 xy .1
2、,1arcsin 上 也 是 单 调 增 加 且 连 续在故 xy ;1,1arccos 上 单 调 减 少 且 连 续在同 理 xy .,cot,arctan 上 单 调 且 连 续在 xarcyxy反 三 角 函 数 在 其 定 义 域 内 皆 连 续 . 定 理 3 ).(lim)()(lim ,)(,)(lim 00 0 xfafxf aufax xxxx xx 则 有 连 续在 点函 数若证 ,)( 连 续在 点 auuf .)()( ,0,0 成 立恒 有 时使 当 afuf au,)(lim0 axxx 又 ,0,0,0 0 时使 当对 于 xx .)( 成 立恒 有 auax将
3、 上 两 步 合 起 来 : ,0,0,0 0 时使 当 xx)()()()( afxfafuf .成 立)()(lim0 afxfxx ).(lim 0 xxx 意 义 1.极 限 符 号 可 以 与 函 数 符 号 互 换 ;.)(.2 的 理 论 依 据变 量 代 换 xu 例 1 .)1ln(lim0 x xx 求 .1xx x 10 )1ln(lim 原 式 )1(limln 10 xx x eln解 例 2 .1lim0 xe xx 求 .1)1ln(lim0 yyy 原 式解 ,1 ye x 令 ),1ln( yx 则 .0,0 yx 时当 yy y 10 )1ln( 1lim
4、同 理 可 得 .ln1lim0 axa xx .)( ,)(,)( ,)( 0 000 0也 连 续在 点则 复 合 函 数 连 续在 点而 函 数 且连 续在 点设 函 数 xxxfy uuufyux xxxu 定 理 4注 意 定 理 4是 定 理 3的 特 殊 情 况 .例 如 , ,),0()0,(1 内 连 续在 xu ,),(sin 内 连 续在 uy .),0()0,(1sin 内 连 续在 xy 三 、 初 等 函 数 的 连 续 性三 角 函 数 及 反 三 角 函 数 在 它 们 的 定 义 域 内 是连 续 的 . )1,0( aaay x指 数 函 数 ;),( 内
5、单 调 且 连 续在 )1,0(log aaxy a对 数 函 数 ;),0( 内 单 调 且 连 续在 定 理 5 基 本 初 等 函 数 在 定 义 域 内 是 连 续 的 . xy xaa log ,uay .log xu a,),0( 内 连 续在 ,不 同 值讨 论 (均 在 其 定 义 域 内 连 续 )定 理 6 一 切 初 等 函 数 在 其 定 义 区 间 内 都 是 连续 的 .定 义 区 间 是 指 包 含 在 定 义 域 内 的 区 间 . 1. 初 等 函 数 仅 在 其 定 义 区 间 内 连 续 , 在其 定 义 域 内 不 一 定 连 续 ;例 如 , ,1co
6、s xy ,4,2,0: xD这 些 孤 立 点 的 邻 域 内 没 有 定 义 .,)1( 32 xxy ,1,0: xxD 及在 0点 的 邻 域 内 没 有 定 义 . .),1 上 连 续函 数 在 区 间 注 意 注 意 2. 初 等 函 数 求 极 限 的 方 法 代 入 法 . 例 3 .1sinlim1 xx e求 1sin 1 e原 式 .1sin e例 4 .11lim 20 xxx 求解解 )11( )11)(11(lim 2 220 xx xxx原 式 11lim 20 xxx 20 .0 )()()(lim 000 定 义 区 间 xxfxfxx 四 、 小 结连 续
7、 函 数 的 和 差 积 商 的 连 续 性 .复 合 函 数 的 连 续 性 .初 等 函 数 的 连 续 性 .定 义 区 间 与 定 义 域 的 区 别 ;求 极 限 的 又 一 种 方 法 .两 个 定 理 ; 两 点 意 义 .反 函 数 的 连 续 性 . 思 考 题 设 xxf sgn)( ， 21)( xxg ， 试 研 究 复 合 函 数 )( xgf 与 )( xfg 的 连 续 性 . 思 考 题 解 答 21)( xxg )1sgn()( 2xxgf 1 2sgn1)( xxfg 0,1 0,2 xx 在 ),( 上 处 处 连 续)( xgf 在 )0,( ),0(
8、上 处 处 连 续)( xfg 0 x 是 它 的 可 去 间 断 点 0,1 0,0 0,1)( xxxxf 一 、 填 空 题 ：1、 43lim 20 xxx _. 2、 xxx 11lim0 _.3、 )2cos2ln(lim6 xx _. 4、 x xx 24 tan cos22lim _. 5、 tett 1lim2 _. 6、 设 ,0, 0,)( xxa xexf x 当 a _时 ， )(xf 在 ),( 上 连 续 . 练 习 题 7、 函 数 61)( 24 xx xxxf 的 连 续 区 间 为 _. 8、 设 时当 时当 1,1 1,2cos)( xx xxxf 确
9、定 )(lim21 xfx _; )(lim1 xfx _.二 、 计 算 下 列 各 极 限 ： 1、 ax axax sinsinlim ； 2、 xx x cot20 )tan31(lim ；3、 1)12 32(lim xx xx ； 三 、 设 0),ln( 0,1 0,)( 22 xxxbx xxaxf 已 知 )(xf 在 0 x 处 连 续 ， 试 确 定 a 和 b 的 值 .四 、 设 函 数 )(xf 在 0 x 处 连 续 ， 且 0)0( f ,已 知)()( xfxg ， 试 证 函 数 )(xg 在 0 x 处 也 连 续 . 一 、 1、 2； 2、 21； 3、 0； 4、 0； 5、 )11(21 2 e ； 6、 1；7、 ),2(),2,3(),3,( ； 8、 22,0,不 存 在 . 二 、 1、 acos ； 2、 1； 3； 21e .三 、 eba ,1 . 练 习 题 答 案
《数学分析》第四章函数的连续性
