不定积分的概念

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1、 不 定 积 分 微 分 法 : )?()( xF积 分 法 : )()?( xf 互 逆 运 算 二 、 不 定 积 分 的 性 质 一 、 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念 三 、 基 本 积 分 表 （）第 一 节 不 定 积 分 的 概 念 第 4章 一 、 原 函 数 与 不 定 积 分 的 概 念1.引 例 一 质 点 (质 量 为 m) 的 作 用 下 ，tAF sin沿 直 线 运 动 , ).(tv问 题 : 已 知 ,sin)( tmAtv 求 ?)( tv在 变 力求 质 点 运 动 速 度由 牛 顿 第 二 定 律 , 加 速 度 mFta )( tmAsin

2、,cosx）（ Cxsin ,2xe）（ Ce x 22 2. 原 函 数 定 义定 义 1 若 函 数 F (x) 及 f (x)在 区 间 I 上 满 足)()( xfxF 在 区 间 I 上 的 原 函 数 .则 称 F (x) 为 f (x) 3. 原 函 数 的 个 数 及 原 函 数 之 间 的 关 系 (1) 若 F (x) 为 f (x) 的 原 函 数 ， 则 F (x) +C亦 然 ；(2) 若 F (x)、 G (x) 均 为 f (x) 的 原 函 数 ， G (x)=F (x) +C 则证 )()()()( xFxGxFxG 0)()( xfxf.)()( CxFxG

3、 故 结 论 则的 一 个 原 函 数是若 ,)()( xfxF原 函 数 的 一 般 表 达 式 ( C ： 任 意 常 数 ) .问 题 : 原 函 数 存 在 的 条 件 ? 定 理 ,)( 上 连 续在 区 间若 函 数 Ixf 上在则 Ixf )( 存 在 原 函 数 . (下 章 证 明 )初 等 函 数 在 定 义 区 间 上 连 续 则 必 有 原 函 数4. 原 函 数 存 在 定 理 CxF )()(xf是 5. 不 定 积 分 定 义 )(xf 的 含 有 任 意 常 数 项 的Ixf 在称 为 )( 上 的 不 定 积 分 ,d)( xxf记 作 CxF )(在 区 间

4、 I 上， CxFxxf )(d)(定 义 2原 函 数 即 被 积 函 数积 分 号积 分 变 量被 积 表 达 式( C 为 任 意 常 数 ). 积 分 常 数 注 ),()()( xFxfdxxf 的 一 个 原 函 数只 需 求，求 否 正 确 ， 只 需 检 验 ：所 求 不 定 积 分 的 结 果 是 )()( xfCxF ？如 xxdsin Cxcos即 若 ,)()( xfxF 则 CxFxxf )(d)( 不 可 丢 !)cos( Cx xsin )(xFy 6. 不 定 积 分 的 几 何 意 义)(xf 原 函 数 的 图 形 )(xf的 图 形 ：所 有 积 分 曲

5、线 组 成的 平 行 曲 线 族 . y xo CxFxxf )(d)(：)(xFy )(xf 的 积 分 曲 线 族 . )(xf 的 积 分注 CxFy )(CxFy )( 的 积 分 曲 线 .0 x曲 线 族 是 f (x) 的 例 1 设 曲 线 通 过 点 ( 1 , 2 ) , 且 其 上 任 一 点 处 的 切 线斜 率 等 于 该 点 横 坐 标 的 两 倍 , 求 此 曲 线 的 方 程解 xy 2 xxy d2 Cx 2所 求 曲 线 过 点 ( 1 , 2 ) , 故 有C 212 1 C因 此 所 求 曲 线 为 12 xy y xo )2,1( ).(xfy ox质

6、 点 在 距 地 面 0 x 处 以 初 速 0v 取 x轴 （ 向 上 ） ： 运 动 轨 迹 处 ，)(txx 初 时 刻 : ,0t 初 位 移 : 初 速 ：,0 x设 时 刻 t 质 点 位 置 ： ,)(txx 则)(dd tvtx (运 动 速 度 )tvtx dddd 22 g (加 速 度 ) .0v垂 直 上 抛 , 不 计 阻 先 由 此 求 )(tv解 (1) 建 坐 标 系 . 再 由 此 求 )(tx例 2力 , 求 它 的 运 动 规 律 . )0(0 xx .)(tv ,dd gtv 由 知tgtv d)()( 1Ctg ,)0( 0vv 由 ,01 vC 得

7、0)( vtgtv tvtgtx d)()( 0 20221 Ctvtg ,)0( 0 xx 由 ,02 xC 得故 运 动 规 律 为 00221)( xtvtgtx 由 )(dd tvtx ,0vtg 知 故 ox )0(0 xx )(txx (2) 求 二 、 不 定 积 分 的 性 质1.不 定 积 分 运 算 与 导 数性 质 1 （ 互 逆 运 算 ） )()d)(dd xfxxfx 即 （ 或 微 分 ） 运 算 的 互 逆 关 系 ),()(dd)1( xfCxFx CxFxxf )(d)(xxfxxf d)()d)(d( 亦 即 抵 消与 d ,)(d)()2( CxFxxF

8、 .)()(d CxFxF 相 差 一 个 常 数抵 消与 ,d )()( xfxF 2. 线 性 运 算 性 质 xxfk d)(1）（ xxgxf d)()(2 ）（ xxfk d)( xxgxxf d)(d)(性 质 2线 性 运 算 推 论 ,)()( 1 xfkxf ini i 则 若 ),2,1,0(d)(d)( 1 nikxxfkxxf iini i 常 数 )0( k常 数 例 3 ).(,cos21)()(0 ,1)0(,0)()()( xfxxFxfx FxFxfxF 求时 ， 有当 的 原 函 数 ，为设 解 )()( xfxF 依 题 设 ， 知 得代 入 ,cos21

9、)()( xxFxf xxFxF cos)()(2 ,cos)( 2 xxF 即xxxF dcos)(2 Cxsin,1,1)0( CF 得由 0)( xF又1sin)( xxF .1sin2 cos)( xxxf故 xkd)1( ( k 为 常 数 )Cxk xxd)2( Cx 111 xxd Cx ln时0 x )1( )ln()ln( xx x1 )( x 11x三 、 基 本 积 分 表 （） 21d)3( xx Cxarctan xxdcos)4( Cxsin xx2cosd)5( xxdsec2 Cxtan（ 或 ）Cx cotarc 21d xx Cxarcsin （ 或 ）Cx

10、 cosarc xxdsin Cxcos xx2sind xxdcsc2 Cxcot 21 1x）（ xarctan x2sec）（ xtan xxx dtansec)6( Cxsec xxx dcotcsc Cxcsc xex d)7( Cex xaxd Caax ln 2sh xx eex Cxch xxdch Cxsh xxdsh)8( 2ch xx eex xxtansec）（ xsec xa）（ aaxln 例 4 xxxx d)1cos32(1 2）（ xxxxxx d1dcos3d12 2 Cxxx 1sin3ln2 xexx d)5(22 ）（ xe xx d)25)2( )2

11、ln( )2( ee x 2ln25 x C 由 线 性 性Caaxa xx lnd 例 5 xxx d)2(1 ）（ xxxx d2d 2123Cxx 2325 3452 3d2 xx x）（ xx d34 134 Cx 313C134x小 结 2 套 用 基 本 积 分 公 式（ 基 本 积 分 法 ）1 拆 项 、 整 理 （ 用 分 配 律 、 线 性 性 ） Cxxx 1d 1 xxx xx d)1(11 22 ）（ xxx xx d)1( )1( 22 xx d1 1 2 xxd1xarctan Cx ln 分 子 迎 合 分 母例 6 xxx d12 24 ）（ xxx d1 1

12、)1( 24 xxxx d1 1)1)(1( 222 Cxxx arctan31 3 22 1dd)1( xxxx（ 有 理 函 数 的 积 分 ） 分 子 迎 合 分 母小 结 例 7 xxdcot1 2）（ xx d1csc2 ）（ x2csc）（ xcotxx cot C xxx x dsincos 2cos2 ）（ xxx xx dsincos sincos 22 xxx dsincos）（Cxx cossin 用 三 角 公 式 变 形 分 子 迎 合 分 母 例 8 ，已 知 0, 0,sin)( xx xxxf解 .d)( xxf求)(lim0 xfx 内 连 续 ，在 )()(

13、 xf 上 的 原 函 数 一 定 存 在 ， )( .可 导 函 数 )(lim0 xfx ,0)0( f分 析 的 一 个， 可 先 求为 求 )(d)( xfxxf原 函 数 F(x)， 则 有 .)(d)( CxFxxf 从 而 f (x) 在而 且 是 0,2 0,cos)( 2 xcx xxxF有 0, 0,sin)( xx xxxf 处 连 续 ，在因 0 xxF 0,12 0,cos)( 2 xx xxxF )(lim0 xFx ）（ xFx 0lim ),0(F,1c得 从 而 )( 为 待 定 常 数c 0,12 0,cos)( 2 xx xxxF 0 )0()(lim)0

14、( 0 x FxFF x 0 1)12(lim 20 xxx 00 )0()(lim)0( 0 x FxFF x 01coslim0 x xx0)0( F )0(f RxxfxF ，故 )()( 1sinlim0 xx 0 0,12 0,cos)( 2 xx xxxF xxf d)( CxF )( 0,12 0,cos2 xCx xCx 内 容 小 结1. 不 定 积 分 的 概 念 原 函 数 与 不 定 积 分 的 定 义 不 定 积 分 的 性 质 基 本 积 分 表 (见 P 186)2. 直 接 积 分 法 : 恒 等 变 形 基 本 积 分 公 式常 用 恒 等 变 形 方 法 分

15、 项 积 分加 项 减 项利 用 三 角 公 式 , 代 数 公 式 ,积 分 性 质 思 考 题 ,2ch xx eex 2sh xx eex 1. 证 明 xexee xxx ch,sh,221 .shch 的 原 函 数都 是 xxex2. 若 则的 原 函 数是 ,)(xfe x d)(ln2 xxfx提 示 ，xe)()( xexf xe ln)(lnxf x1Cx 221提 示 3. 求 下 列 积 分 .cossin d)2(;)1(d)1( 2222 xxxxx x提 示 )1(1)1( 1)1( 2222 xxxx xxxx 2222 cossincossin 1)2( xx

16、 22 cscsec xx 22 cossin 22 1 11 xx )( 2x 2x xee xx d113 xee xx d1)1( xee xx d)1( 2 Cxee xx 221 )1( 2 xx ee4. 5. 已 知 2222 1d1d1 xxBxxAxxx求 A , B .解 等 式 两 边 对 x 求 导 , 得 221 xx 222 11 xxAxA 21 xB2 21 2)( x xABA 12 0ABA 21 21BA 例 3-1 若 f (x)的 导 函 数 为;sin1)( xA ;sin1)( xB ,sinx 则 )(xf 的 一 个原 函 数 是 ( ) .

17、;cos1)( xC .cos1)( xD 解 已 知 xxf sin)( 求即 B )()( xf xsin)( ?或 由 题 意 ,cos)( 1Cxxf 其 原 函 数 为 xxf d)( 21sin CxCx 例 3-2 )(xf若 是 xe 的 原 函 数 , 则 xx xf d)(ln解 已 知 ，xexf )( 0)( Cexf x ，01)(ln Cxxf .1)(ln 02 xCxx xf CxCx ln1 0 0,e 0,1e)( xc xxF x x )( 为 待 定 常 数c 处 连 续 ，在因 0 xxF )(lim0 xFx )(lim0 xFx ),0(Fc10得

18、 .1c即 0,1e 0,1e)( xxxF x x xxde可 验 证 ： 存 在 ， 且)0(F 1)0()0( fF 0,1e 0,1e xC xCx x RxxfxF ，从 而 )()( xxf d)( CxF )( 期中考试情况 (4院)班级90100 8089 7079 6069不及格人数平均4161 14 9 3 0 0 26 89.624162 15 8 1 0 0 24 90.54163 15 8 4 9 0 27 89.854261 17 9 1 1 0 28 89.894262 15 5 4 1 1 26 86.924263 14 9 4 0 0 27 894264 12 11 4 0 0 27 87.524361 11 9 0 0 0 20 92.25合计113 68 21 2 1 205 89.35 期中考试情况 (10院)班级90100 8089 7079 6069不及格人数平均10161 10 9 3 3 1 26 83.7310162 10 8 5 2 0 25 85.1210163 14 3 4 1 0 22 88.510164 12 7 3 1 0 23 88.6110261 13 12 1 0 0 26 89.27合计59 39 16 7 1 122 86.98