逆变换与逆矩阵

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1、江苏省太湖高级中学江苏省太湖高级中学江苏省太湖高级中学江苏省太湖高级中学 浦丽敏浦丽敏浦丽敏浦丽敏复习：复习：2.3 2.3 变换的复合矩阵与矩阵的乘法变换的复合矩阵与矩阵的乘法1.1.矩阵乘法的法则是矩阵乘法的法则是矩阵乘法的法则是矩阵乘法的法则是:2.2.矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法MNMN的几何意义为的几何意义为的几何意义为的几何意义为:(先先先先T TN N,后后后后T TMM)对向量连续实施的两次几何变换对向量连续实施的两次几何变换对向量连续实施的两次几何变换对向量连续实施的两次几何变换 的复合变换的复合变换的复合变换的复合变换.练一练练一练3.3.矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘法矩阵乘

2、法不满足交换律不满足交换律不满足交换律不满足交换律,但在适当时候但在适当时候但在适当时候但在适当时候,有些特殊几何有些特殊几何有些特殊几何有些特殊几何变换可满足交换律变换可满足交换律变换可满足交换律变换可满足交换律.创设情境创设情境二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，二阶矩阵对应着平面上的一个几何变换，它把点（它把点（它把点（它把点（x x ，y y）变换到点（）变换到点（）变换到点（）变换到点（x x，yy）.（x x ，y y）（x x，yy）走过去走过去回过来回过来反过来反过来反过来反过来:若知道变换后的结果（若知道

3、变换后的结果（若知道变换后的结果（若知道变换后的结果（x x，yy）,能否能否能否能否“找到回家找到回家找到回家找到回家的路的路的路的路”,再让它变回到原来的（再让它变回到原来的（再让它变回到原来的（再让它变回到原来的（x x ，y y）呢？）呢？）呢？）呢？对于给出的变换矩阵对于给出的变换矩阵对于给出的变换矩阵对于给出的变换矩阵A A，是否存在变换矩阵，是否存在变换矩阵，是否存在变换矩阵，是否存在变换矩阵B B，使，使，使，使得连续进行两次变换（先得连续进行两次变换（先得连续进行两次变换（先得连续进行两次变换（先T TA A后后后后T TB B）的结果与恒等变换）的结果与恒等变换）的结果与恒

4、等变换）的结果与恒等变换的结果相同：的结果相同：的结果相同：的结果相同：（3 3）沿）沿）沿）沿y y轴方向，向轴方向，向轴方向，向轴方向，向x x轴的投影变换；轴的投影变换；轴的投影变换；轴的投影变换；例例例例1 1：不存在满足条件的变换矩阵不存在满足条件的变换矩阵不存在满足条件的变换矩阵不存在满足条件的变换矩阵B B。原因：投影变换不是一一映射原因：投影变换不是一一映射原因：投影变换不是一一映射原因：投影变换不是一一映射（1 1）以）以）以）以x x轴为反射轴的反射变换；轴为反射轴的反射变换；轴为反射轴的反射变换；轴为反射轴的反射变换；（2 2）绕原点逆时针旋转）绕原点逆时针旋转）绕原点逆

5、时针旋转）绕原点逆时针旋转60600 0的旋转变换；的旋转变换；的旋转变换；的旋转变换；数学建构数学建构有的变换能有的变换能有的变换能有的变换能“找到回家的路找到回家的路找到回家的路找到回家的路”，“走过去走过去走过去走过去”称为称为称为称为原变换原变换原变换原变换“回过来回过来回过来回过来”就称为原变换的就称为原变换的就称为原变换的就称为原变换的（x x ，y y）（x x，yy）走过来走过来回过来回过来 逆变换逆变换逆变换逆变换原变换对应着一个矩阵原变换对应着一个矩阵原变换对应着一个矩阵原变换对应着一个矩阵A A ,逆变换也对应着一个矩阵逆变换也对应着一个矩阵逆变换也对应着一个矩阵逆变换也

6、对应着一个矩阵B B，我们就有如下结论：我们就有如下结论：我们就有如下结论：我们就有如下结论：AB=EAB=E BA=EBA=E 回过去回过去走过去走过去1：逆矩阵的概念 定义定义定义定义 对于二阶矩阵对于二阶矩阵对于二阶矩阵对于二阶矩阵 ，如果有一个二阶矩阵，如果有一个二阶矩阵，如果有一个二阶矩阵，如果有一个二阶矩阵 则说矩阵则说矩阵则说矩阵则说矩阵 是可逆的，并是可逆的，并是可逆的，并是可逆的，并 把矩阵把矩阵把矩阵把矩阵 称为称为称为称为 的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵的逆矩阵.,使得使得注意：注意：要同时成立！要同时成立！例例2 2 设设用待定系数法解决！用待定系数法解决！用待定系数法解决！

7、用待定系数法解决！（3 3）沿）沿）沿）沿y y轴方向，向轴方向，向轴方向，向轴方向，向x x轴的投影变换；轴的投影变换；轴的投影变换；轴的投影变换；原因：投影变换不是一一映射，所以不存在逆矩阵原因：投影变换不是一一映射，所以不存在逆矩阵原因：投影变换不是一一映射，所以不存在逆矩阵原因：投影变换不是一一映射，所以不存在逆矩阵（1 1）以）以）以）以x x轴为反射轴的反射变换；轴为反射轴的反射变换；轴为反射轴的反射变换；轴为反射轴的反射变换；（2 2）绕原点逆时针旋转）绕原点逆时针旋转）绕原点逆时针旋转）绕原点逆时针旋转60600 0的旋转变换；的旋转变换；的旋转变换；的旋转变换；，(3)(3)

8、若若若若 A A是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则是可逆矩阵，则 A A 的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的的逆矩阵是唯一的.2 2、逆矩阵逆矩阵性质性质 二阶矩阵二阶矩阵A,B均存在可逆矩阵，则均存在可逆矩阵，则AB也存也存在可逆矩阵，且在可逆矩阵，且(AB)-1=B-1A-1 例例4证明证明：(1)思考题思考题课堂小结课堂小结1.1.逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质逆矩阵的概念及运算性质;2.2.逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法逆矩阵的计算方法;3.3.3.3.逆矩阵逆矩阵逆矩阵逆矩阵 存在的条件存在的条件存在的条件存在的条件.矩阵矩阵A可逆的充要条件是：可逆的充要条件是：求一个矩阵的逆矩阵常用的方法有：求一个矩阵的逆矩阵常用的方法有：ad-bc0（1）几何变换法）几何变换法（2）待定系数法）待定系数法（3）公式法）公式法