圆心角与圆周角的关系（公开课）课件

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1、回顾与思考如图如图如图如图1,1,AOBAOB是是是是 角。角。角。角。O OAB如如如如图图图图2 2,AB=CD AB=CD,则则则则AOBAOB与与与与CODCOD的的的的大大大大小小小小关系是：关系是：关系是：关系是：。B BA AO OC CD D圆心圆心圆心圆心相等相等相等相等用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成在在在在足足足足球球球球比比比比赛赛赛赛中中中中，球球球球员员员员射射射射中中中中球球球球门门门门的的的的难难难难易易易易与与与与他他他他所所所所处处处处的的的的位位位位置置置置B B对球门对球门对球门对球门ACAC的张角（的张角（的张角（的张角（ABCABC）有关。有

2、关。有关。有关。用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成如如如如图图图图，当当当当运运运运动动动动员员员员站站站站在在在在B B，D D，E E的的的的位位位位置置置置射射射射球球球球时时时时,对对对对球球球球门门门门ACAC的张角的大小相等吗？的张角的大小相等吗？的张角的大小相等吗？的张角的大小相等吗？你能观察到这三个角有什么共同特征吗你能观察到这三个角有什么共同特征吗你能观察到这三个角有什么共同特征吗你能观察到这三个角有什么共同特征吗?用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成为解决这个问题我们先来研究一种角。为解决这个问题我们先来研究一种角。为解决这个问题我们先来研究一种角。为解决这个问题

3、我们先来研究一种角。观察图中的观察图中的观察图中的观察图中的ABCABC，顶点在什么位置？角的两边有什么特点？顶点在什么位置？角的两边有什么特点？顶点在什么位置？角的两边有什么特点？顶点在什么位置？角的两边有什么特点？A AB BC C用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成一一一一，观观观观察察察察图图图图中中中中的的的的ABCABC，可可可可以以以以发发发发现现现现，它它它它的的的的顶顶顶顶点点点点在在在在圆圆圆圆上上上上，它它它它的的的的两两两两边边边边分分分分别别别别与与与与圆圆圆圆还还还还有有有有另另另另一一一一个个个个交交交交点点点点。像像像像这这这这样样样样的的的的角角角角，叫叫

4、叫叫做做做做圆圆圆圆周周周周角。角。角。角。A A A AB B B BC C C C三，请同学们考虑两个问题：三，请同学们考虑两个问题：三，请同学们考虑两个问题：三，请同学们考虑两个问题：（1 1）顶点在圆上的角是圆周角吗？）顶点在圆上的角是圆周角吗？）顶点在圆上的角是圆周角吗？）顶点在圆上的角是圆周角吗？（2 2）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？）角的两边都和圆相交的角是圆周角吗？二，请同学们在练习本上画出一个圆周角。相互检查。二，请同学们在练习本上画出一个圆周角。相互检查。二，请同学们在练习本上画出一个圆周角。相互

5、检查。二，请同学们在练习本上画出一个圆周角。相互检查。1.判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。判别下列各图形中的角是不是圆周角，并说明理由。不是不是是不是不是图图图图图你能你能你能你能总结出圆周角的特征吗？总结出圆周角的特征吗？总结出圆周角的特征吗？总结出圆周角的特征吗？圆周角有两个特征：圆周角有两个特征：圆周角有两个特征：圆周角有两个特征：角的顶点在圆上；角的顶点在圆上；角的顶点在圆上；角的顶点在圆上；两边在圆内的部分是圆的两条弦。两边在圆内的部分是圆的两条弦。两边在圆内的部分是圆的两条弦。两边在圆内的部分是圆的两条弦。议一议议一议用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成我们再来研

6、究圆周角的性质。我们再来研究圆周角的性质。我们再来研究圆周角的性质。我们再来研究圆周角的性质。为为为为了了了了解解解解决决决决这这这这个个个个问问问问题题题题，我我我我们们们们先先先先研研研研究究究究一一一一条条条条弧弧弧弧所所所所对对对对的的的的圆圆圆圆周周周周角角角角与与与与它它它它所所所所对对对对的圆心角之间的关系。的圆心角之间的关系。的圆心角之间的关系。的圆心角之间的关系。请请请请同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周同学们在圆上确定一条劣弧，画出它所对的圆心角与圆周角。角。

7、角。角。A AC C相互交流看看你们所画的图一样吗相互交流看看你们所画的图一样吗相互交流看看你们所画的图一样吗相互交流看看你们所画的图一样吗?有几种情况有几种情况有几种情况有几种情况?用心想一想，马到功成用心想一想，马到功成归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。归纳同学们的意见我们得到以下几种情况。ABCABC的一边的一边的一边的一边BCBC经过圆心经过圆心经过圆心经过圆心OO。ABCABC的两边都不经过圆心的两边都不经过圆心的两边都不经过圆心的两边都不经过圆心OO。ABCABC的两边都不经过圆心的两边都不经过圆心的两

8、边都不经过圆心的两边都不经过圆心OO。请请请请问问问问ABCABC与与与与AOCAOC它它它它们们们们的的的的大大大大小小小小有有有有什什什什么么么么关关关关系系系系？说说说说说说说说你你你你的的的的想想想想法法法法，并与同伴进行交流。并与同伴进行交流。并与同伴进行交流。并与同伴进行交流。B BA AO OC CA AB BC CO OB BA AC CO O请同学们用量角器量一量请同学们用量角器量一量请同学们用量角器量一量请同学们用量角器量一量ABCABC与与与与AOCAOC的的的的大小有什么关系？你能猜想到什么？大小有什么关系？你能猜想到什么？大小有什么关系？你能猜想到什么？大小有什么关系

9、？你能猜想到什么？下下下下面面面面我我我我们们们们首首首首先先先先考考考考虑虑虑虑同同同同学学学学们们们们列列列列举举举举的的的的一一一一种种种种特特特特殊殊殊殊情情情情况况况况，即即即即ABCABC的的的的一一一一边边边边BCBC经过圆心经过圆心经过圆心经过圆心OO。B BA AO OC C AOCAOC是是是是ABOABO的外角，的外角，的外角，的外角，AOC=AOC=ABO+ABO+BAOBAO。OA=OB OA=OB，ABO=ABO=BAOBAO。AOC=2AOC=2ABOABO，ABC=ABC=AOCAOC。1 12 2如如图图,我我们们可可以以观观察察到到AOCAOC是是ABOAB

10、O的的外外角角，ABCABC是是 ABOABO的的一一个个内内角角，它它们们两两者存在一定关系者存在一定关系.一条一条弧所对的弧所对的圆周角圆周角等于它所等于它所对的对的圆心角圆心角的一半的一半.结论结论结论结论:下下下下面面面面我我我我们们们们首首首首先先先先考考考考虑虑虑虑同同同同学学学学们们们们列列列列举举举举的的的的一一一一种种种种特特特特殊殊殊殊情情情情况况况况，即即即即ABCABC的的的的一一一一边边边边BCBC经过圆心经过圆心经过圆心经过圆心OO。B BA AO OC C AOCAOC是是是是ABOABO的外角，的外角，的外角，的外角，AOC=AOC=ABO+ABO+BAOBAO

11、。OA=OB OA=OB，ABO=ABO=BAOBAO。AOC=2AOC=2ABOABO，ABC=ABC=AOCAOC。1 12 2那那那那么么么么当当当当ABCABC的的的的两两两两边边边边都都都都不不不不经经经经过过过过圆圆圆圆心心心心OO时时时时，ABCABC与与与与AOCAOC又又又又有怎样的大小关系呢？有怎样的大小关系呢？有怎样的大小关系呢？有怎样的大小关系呢？A AB BC CO OB BA AC CO O我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。我们可以考虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。我们可以考

12、虑把这两种情况分别转化成刚才的特殊情形来考虑。A AB BC CO O也就是借用直径，连接也就是借用直径，连接也就是借用直径，连接也就是借用直径，连接BOBO并延长，与圆相交于点并延长，与圆相交于点并延长，与圆相交于点并延长，与圆相交于点D D。D D（此时我们得到与图此时我们得到与图此时我们得到与图此时我们得到与图同样的情形）同样的情形）同样的情形）同样的情形）1 13 32 2B BA AO OC C 1 1是是是是ABOABO的外角，的外角，的外角，的外角，1=1=2+2+3 3。OA=OBOA=OB，2=2=3 3。1=21=22 2，2=2=1 1。1 12 25 54 4结论结论结

13、论结论:一条一条弧所对的弧所对的圆周角圆周角等等于它所对的于它所对的圆心角圆心角的一的一半半.1 12 2同理同理同理同理,4=4=5 5。1 12 2 2+2+4=4=（1+1+5 5）。ABC=ABC=AOCAOC。1 12 2B BA AC CO OB BA AO OC C如如如如图图图图，连连连连接接接接BOBO并并并并延延延延长长长长，与与与与圆圆圆圆相相相相交交交交于于于于点点点点D D。（此此此此时时时时我我我我们们们们得得得得到到到到与与与与图图图图同样的情形）同样的情形）同样的情形）同样的情形）D D AODAOD是是是是ABOABO的外角，的外角，的外角，的外角，AOD=A

14、OD=A+A+ABOABO。OA=OBOA=OB，A=A=ABOABO。AOD=2AOD=2ABDABD，ABD=ABD=AODAOD。1 12 2B BA AC CO OB BA AO OC C如如如如图图图图，连连连连接接接接BOBO并并并并延延延延长长长长，与与与与相相相相交交交交于于于于点点点点D D。（此此此此时时时时我我我我们们们们得得得得到到到到与与与与图图图图同同同同样的情形）样的情形）样的情形）样的情形）D D AODAOD是是是是ABOABO的外角，的外角，的外角，的外角，AODAOD =A+A+ABOABO。OA=OBOA=OB，A=A=ABOABO。AOD=2AOD=2

15、ABDABD，ABD=ABD=AODAOD。1 12 2同理同理同理同理 ,CBD=CBD=CODCOD。1 12 2B BA AC CO OB BA AO OC C如如如如图图图图，连连连连接接接接BOBO并并并并延延延延长长长长，与与与与相相相相交交交交于于于于点点点点D D。（此此此此时时时时我我我我们们们们得得得得到到到到与与与与图图图图同同同同样的情形）样的情形）样的情形）样的情形）D D AODAOD是是是是ABOABO的外角，的外角，的外角，的外角，ABD=ABD=A+A+ABOABO。OA=OBOA=OB，A=A=ABOABO。AOD=2AOD=2ABDABD，ABD=ABD=

16、AODAOD。1 12 2同理同理同理同理 ,CBD=CBD=CODCOD。1 12 2 ABDABDCBD=CBD=AODAOD CODCOD=（AODAODCODCOD）。）。）。）。ABC=ABC=AOCAOC1 12 21 12 21 12 21 12 2结论结论结论结论:一条一条弧所对的弧所对的圆周角圆周角等等于它所对的于它所对的圆心角圆心角的一的一半半.认真观察，探求结果通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图形，你会得到什么结通过对三种情形的证明，同学们再认真观察图

17、形，你会得到什么结果？果？果？果？B BA AO OC CA AB BC CO OB BA AC CO O圆圆圆圆周周周周角角角角定定定定理理理理:一一一一条条条条弧弧弧弧所所所所对对对对的的的的圆圆圆圆周周周周角角角角等等等等于于于于它它它它所所所所对对对对的的的的圆圆圆圆心角的心角的心角的心角的 。一半一半一半一半如图如图如图如图1 1在在在在 OO中，中，中，中，BOC=50BOC=50，则则则则BAC=BAC=。点点拨拨：此此题题要要选择选择关关键键点：点：BOCBOC与与BACBAC对着对着BCBC，因此，因此BOCBOC等于等于BACBAC的的2 2倍。倍。2525 A AO OC

18、 CB B图图1 1如图如图如图如图1 1在在在在 OO中，中，中，中，BOC=50BOC=50，则则则则BAC=BAC=。变化题变化题变化题变化题2 2：如图：如图：如图：如图3 3BAC=40BAC=40，则，则，则，则OBC=OBC=。变化题变化题变化题变化题1 1：如图：如图：如图：如图2 2点点点点A A，B B，C C是是是是 OO上的三点，上的三点，上的三点，上的三点，BAC=40BAC=40，则，则，则，则BOC=BOC=。2525 5050 8080 由由BAC=40BAC=40 可可得得BOC=80BOC=80，再再由由BOCBOC是是等等腰腰三三角角形形可可求得求得OBC

19、OBC。A AO OC CB B图图2 2A AB BC CO O图图3 3练习：练习：2.如图，圆心角如图，圆心角AOB=100，则则ACB=_。OABCBAO.70 x1.求圆中角求圆中角X的度数的度数AO.X120130AO.X120 C C D B3如图，在直径为如图，在直径为AB的半圆中，的半圆中，O为圆心，为圆心，C、D为半圆为半圆上的两点，上的两点，COD=500，则则CAD=_25X=35X=120A AB BC CD DO O如如如如图，图，图，图，A A，B B，C C，D D是是是是 OO上的四点，且上的四点，且上的四点，且上的四点，且BCD=100BCD=100 ，求求

20、求求BODBODBODBOD（BCDBCDBCDBCD所对的圆心角）和所对的圆心角）和所对的圆心角）和所对的圆心角）和BADBADBADBAD的大小。的大小。的大小。的大小。由由BCD=100BCD=100，我们，我们可求出对应的圆心可求出对应的圆心角角1 1是是200200 ，则，则BODBOD就可求。就可求。解：解：解：解：BCD=100BCD=100 1=2001=200 BOD=360BOD=360 200200=160=160 1 1 BAD=80BAD=80 BADBAD是圆心角是圆心角是圆心角是圆心角BODBOD所对的圆周角所对的圆周角所对的圆周角所对的圆周角课后思考课后思考如如

21、如如图图图图，当当当当运运运运动动动动员员员员站站站站在在在在B B，D D，E E的的的的位位位位置置置置射射射射球球球球时时时时,对球门对球门对球门对球门ACAC的张角的大小相等吗？的张角的大小相等吗？的张角的大小相等吗？的张角的大小相等吗？说一说这节课你都学到了什么？说一说这节课你都学到了什么？一一、这节课主要学习了两个知识点：、这节课主要学习了两个知识点：1、圆周角定义。、圆周角定义。2、圆周角定理及其定理应用。、圆周角定理及其定理应用。二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透二、方法上主要学习了圆周角定理的证明渗透了了“特殊到一般特殊到一般”的思想方法和分类讨论的思的思想方法和分类讨论的思想方法。想方法。三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也三、圆周角及圆周角定理的应用极其广泛，也是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用是中考的一个重要考点，望同学们灵活运用挑战自我 P111:习题3.4 1,3题w祝你成功祝你成功!独立作业独立作业P1031212驶向胜利的彼岸