工程矩阵理论周建

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1、1 工 程矩 阵 理 论东 南 大 学 数 学 系 周 建 华 2 教 材 工 程 矩 阵 理 论 张 明 淳 ， 东 南 大 学 出 版 社参 考 书 1.高 等 代 数 ， 北 京 大 学 ， 高 等 教 育 出 版 社 2.Matrix Analysis, R.A.Horn and C.R.Johnson, Cambridge University Press, 2004 (有 中 译 本 ， 机 械 工 业 出 版 社 ） 3 要 求1. 重 点 是 基 本 理 论 ， 基 本 方 法 ；2. 结 合 授 课 内 容 ， 熟 悉 课 本 ；3. 通 过 例 题 ， 理 解 概 念 ；4

2、. 通 过 练 习 题 ， 熟 悉 理 论 和 方 法 。 4 本 课 程 大 致 内 容第 0章 复 习 与 引 深第 1章 线 性 空 间 与 线 性 变 换第 2章 内 积 空 间 、 等 距 变 换第 3章 矩 阵 的 相 似 标 准 形第 4章 Hermite二 次 型第 5章 范 数 及 矩 阵 函 数第 6章 矩 阵 的 广 义 逆 5 矩 阵 理 论1. .kA计 算2. .讨 论 矩 阵 序 列 的 极 限3. .Ax b求 线 性 方 程 组 的 近 似 解 6 第 0章 复 习 与 引 深1. 矩 阵 运 算2. 线 性 方 程 组3. 向 量 组 的 极 大 无 关 组

3、 和 秩4. 矩 阵 的 秩 7 1.矩 阵 的 乘 法 中 应 注 意 的 问 题(1) 存 在 非 零 零 因 子 例 1 0 10 10 10 n nN 8 (2) 不 可 交 换 9 （ 3） 由 此 导 致 的 一 些 问 题n 乘 法 消 去 律 不 成 立n 一 些 代 数 恒 等 式 对 矩 阵 不 再 成 立 mmmmmmmmmm BABCBACBACABA BA 1122211 , 即相 应 的 二 项 式 定 理 成 立可 交 换 时与当 10 例 3 11 Aknn 次 幂 ：矩 阵 的计 算 下 述解 ： kkkkkkkkkkkkk NCNICNICNICINIA N

4、INIA 1122211 )()()()()( 可 交 换 ，与且 kkkkkkkkkkkk NCNCNCNCIA 1122211 1 1 2 2 1 11 1 2 21 100 00 0 0k k k n k nk k kk kk k kk kk kC C CC CC 11 （ 4） 分 块 矩 阵设 tnijnsij bBaA , qrqq rrpqpp qq BBB BBB BBBBAAA AAA AAAA 21 22221 1121121 22221 11211 ,在 一 定 条 件 下 ， ABC 也 可 以 写 成 分 块 矩 阵将 这 两 个 矩 阵 分 块 ： prpp rrC

5、CC CCC CCCC 21 22221 11211 其 中 ，1 1 2 2ij i j i j iq qjC A B A B A B 12 条 件 ： 上 式 有 意 义 .的 行 的 分 法 一 致的 列 的 分 法 与 BA 13 一 些 常 见 的 分 块 形 式1. 分 成 4 块 假 设 ,ij ijs n n tA a B b ：11 12 11 1221 22 21 2211 11 12 21 11 12 12 22 21 11 22 21 21 12 22 22A A B BAB A A B BA B A B A B A BA B A B A B A B 14 15 nsi

6、jnsij bBaA ,2. ,A B 均 按 行 进 行 分 块 )()()( BrArBAr 16 3. A B 按 列 分 块 ， 不 分 块)(),()( BrArABr 11 11 2 1 1 21 1 1( , , , ), , , tn n ntn n ni i i i it ii i ib bAB b bb b b 17 4. A B将 视 作 一 块 ， 按 列 分 块 。 .)()(, nBrArOAB 则若 18 2. 线 性 方 程 组1. ,bAx Tsnsij bbbbaA 21, 其 中 ， bArAr )(有 解2. .,)( nrrbArAr 则 有 唯 一

7、解若3. ( ) ,.r A r A b r n n r 若 则 通 解 中 含 有 个自 由 未 知 量 19 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 础 解 系,Ax nsijaA 其 中 ，对 于 齐 次 线 性 方 程 组1. 有 非 零 解 当 且 仅 当 .)( nAr .,)(.2 个 解 向 量则 其 基 础 解 系 中 含若 rnnAr 3. ( ) , .r A n n r 若 则 其 任 意 个 线 性 无 关 的 解 向 量 是其 基 础 解 系 20 1554 34233 23322 154321 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx x

8、xxxx ：求 下 列 线 性 方 程 组 的 解例 5 000000 22111000 431100 111111初 等 行 变 换增 广 矩 阵 21 简 化 阶 梯 形 矩 阵 22 续 例 5 000000 22111000 431100 111111初 等 行 变 换增 广 矩 阵 000000 22111000 26140100 540011初 等 行 变 换 23 Gauss消 元 法 阵 化 成 阶 梯 形 矩 阵 ；用 初 等 行 变 换 将 增 广 矩确 定 自 由 未 知 量 ；用 回 代 法 找 出 通 解 。 24 例 6 0554 04233 03322 05432

9、1 54321 54321 54321 xxxxx xxxxx xxxxx xxxxx 础 解 系 ：求 齐 次 线 性 方 程 组 的 基 00000 111000 31100 11111 初 等 行 变 换增 广 矩 阵 00000 221000 140100 40011初 等 行 变 换 25 例 71. ( ) ( );2. H H HA s n b sr A r A AA Ax A b 设 是 矩 阵 ， 是 维 列 向 量 。 证 明 ：线 性 方 程 组 恒 有 解 。 26 3.向 量 组 的 极 大 无 关 组 和 秩 ., 21向 量 均 是 其 极 大 无 关 组 个 线

10、 性 无 关 的， 则 其 中 任 意的 秩 为量 组若 向 rrs 27 例 8 28 4.矩 阵 的 秩矩 阵 A的 秩 =A中 非 零 子 式 的 最 高 阶 数 =A的 行 （ 列 ） 向 量 组 的 秩有 关 矩 阵 的 秩 的 不 等 式 ： );()()(.1 BrArBAr ;)()(,.3 nBrArOBA tnns 则若 ;)()()(.4 nBrArBAr tnns );(),()(.2 BrArABr 29 例 9 30 例 10 31 矩 阵 的 等 价 标 准 形 32. 11 s n A rs r B r n CA BC ： 假 设 矩 阵 的 秩 为 ， 证 明

11、 ： 存 在 矩 阵 及 矩 阵 ， 使 得 （ 矩 阵 的 满 秩 分 解 ）例 33 例 12： 1 1 1 2 12 2 3 0 4 .1 1 4 2 52 2 7 8 8A 求 的 满 秩 分 解1 1 1 2 10 0 5 4 60 0 0 0 00 0 0 0 0A 初 等 行 变 换解 ： 6 11 1 0 5 5640 0 1 5 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 初 等 行 变 换 34线 性 空 间 和 线 性 变 换 第 一 章 35 第 一 节 线 性 空 间 的 定 义用 F表 示 实 数 全 体 （ R） 或 复 数 全 体 （ C） .: 数 域实 或 复

12、是是 非 空 集 合设定 义 ）（，FV :上 定 义 了 两 种 运 算及在 FV : , , , , ;V V 对 在 中 有 惟 一 的 元 素 与 之 对 应记 这 个 元 素 为 称 为加 的 和法 : , , , , .V k F Vk k 对 在 中 有 惟 一 的 元 素 与 之 对 应记 这 个 元 素 为 称 为 与数 的 积乘 36 如 果 满 足 下 述 公 理 ，则 称 V是 数 域 F上 的 线 性 空 间 ， V中 的 元 素 称 为 向 量 。1. , , ;2. , , ,( ) ( );3. , , ;4. , , ;5. ,1 ;6. , , , ( )

13、( ) ;7. , , ,( ) ; 8. , , , ( )V VV VV VVV k l F k l klV k l F k l k lV k F k k k 对对 元 使 得对 使对对对对 37 例 1 nFV .1 nnFV .2 .3 xFV .4 xFV n RFCV ,.5 CFCV ,.6 38 例 1（ 续 ） CFRV ,.7 通 常 运 算,.8 RFRV RFRV ,.9 kkFkV V ,: ;,: :对 对定 义 新 的 运 算 39 线 性 空 间 的 性 质 则上 的 线 性 空 间是 数 域假 设 ,FV ;.1 中 的 零 向 量 是 惟 一 的V ;,.2

14、 记 为的 负 元 素 是 惟 一 的对 V ;,:.3 则若加 法 消 去 律4. , ,( ( ), );V xx x 对 向 量 方 程 有 惟 一 解记 ;)1(,),().(5 特 别 地kk 或0.6 kk 40 第 二 节 基 、 维 数 和 坐 标如 ： 在 线 性 空 间 中 可 以 定 义 线 性 组 合 、 线 性表 示 、 线 性 相 关 、 线 性 无 关 ， 向 量 组 的极 大 线 性 无 关 组 、 秩 等 概 念 。1 2 1 2 1 1 2 21 21 2 ., , , ,., .ss s sssVk k k k k k 定 义 ： 设 ， ， ， 若 不

15、全 为 零 的 数使 得则 称 向 量 组 ， ， ，否 线 性 相 关线则 称 ， ， 性 无 关， 41 一 些 重 要 结 论1 21. 2, , , , 1 .sjs j s 若 则 线 性 相 关使 可 由 其 余 个 向 量 线 性 表 示1 2 1 2 1 22. , , , , , , , , , , , ., .s ss 若 线 性 无 关 但 线 性 相 关则 可 由 线 性 表 示而 且 线 性 表 示 的 方 法 是 惟 一 的 42 1 2 1 21 23. , , , , , , , , , , .t stt s 若 可 由 线 性 表 示则 线 性 相 关1 2

16、1 21 21. , , , , , , , , , , .t st t s 推 论 若 可 由 线 性 表 示且 线 性 无 关 则1 2 1 22. , , , , , , , .t ss t 推 论 若 与 等 价 且 均线 性 无 关 则 43 例 2 10 0001 0000 1000 01.1 2221121122 ，E，E，E，EF 中在 2322213 243,31,32.2 xxxxxx，xF 中在 1 23. , , 1, 1V C F R i 1 24. , , 1, 1V C F C i 44 定 义 （ 基 ， 维 数 ）1 21 2 1 21 21 .2 . .nn

17、 nnVV V 若 ， ， ， 满 足 条 件（ ） ， ， ， 线 性 无 关 ；（ ） 均 可 由 ， ， ， 线 性 表 示 ,则 ， 称 ， ， 是 的 一 组 基， , ( ) dimV Vn V 称 是 的 记 为 或维 数 维 。 45 注 ： .1,dim 个 向 量 线 性 相 关中 任 意则命 题 ： 若 nVnV .注 ： 线 性 空 间 的 基 不 一 定 存 在 如 ： V 零 空 间 - dim 0 V F x dim xF 46 例 3 .1 nFV .2 22 FV .3 xFV n .,.4 RFCV .,.5 CFCV .,.6 RFRV 47 定 理 1d

18、im , .V n V nV若 则 中 任 意 个 线 性 无 关 的 向 量均 构 成 的 基 3 21 22 234: : ,( ) 1 2 3 ,( ) 3 ,( ) 2 .F xf x x xf x x xf x x x 例 证 明 在 中 向 量构 成 一 组 基 48 定 义 （ 坐 标 ） ： nnn xxx VV 2211 21 , 且的 一 组 基是，设 1 2 1 2, , , , , , ,n nx x x 则 称 是 在 基 的 坐 标下1 2 1 2, , , ( ).nnxxx 或 是 在 基 下 坐 标 列 向 量的 49 例 51 21 2, ( , , , )

19、(1,0, ,0), (0,1, ,0), , (0,0, ,1).n n nF x x xe e e 中 在 基下 的 坐 标 50 例 62 211 12 21 22 1 0 0 1 0 0 0 0, , ,0 0 0 0 1 0 0 1. a bF A c dE E E E 在 中 ， 在 基下 的 坐 标 51 注1. 线 性 空 间 的 基 是 有 序 的 。2.基 相 当 于 几 何 空 间 中 的 坐 标 系 。 52 定 理 2则 及下 的 坐 标 分 别 是在 基假 设 .,2,1 , ,21si XXV， ini ;.1 X ;.2 22112211 ssss XkXkXk

20、Xkkk .,.3 2121 线 性 相 关线 性 相 关 ss XXX 53 例 7 23221 3 )(,2)(,1)( : xxxfxxxfxxf xF 关 性中 下 述 向 量 组 的 线 性 相判 断 54 例 8 42 33,12 21,30 12,22 11 :22 DCBA F 关 组中 下 述 向 量 组 的 极 大 无求 55 形 式 记 号 XxxxxxxX nnn nn ),(),( ,212121 212 1 可 形 式 地 记 成则 下 的 坐 标，在 基是若 56 形 式 记 号 , 2121 线 性 表 示可 由若 st 使 得矩 阵我 们 可 以 找 到 一

21、个于 是 , Ats Ast ),(),( 2121 57 形 式 记 号 的 性 质 Ast ),(),( 2121 若 Btp ),(),( 2121 )(,(),( 2121 ABsp 则 58 例 9 , 21 线 性 无 关设 n Ann ),(),( 2121 .,: 21 是 可 逆 矩 阵线 性 无 关证 明 An 59 定 义 (过 渡 矩 阵 ) 且的 基都 是及设 , 2121 Vnn Ann ),(),( 2121 1 2 1 2, , , , , ,. n nA 则 称 是 从 基 到 基过 渡 矩 阵的 .过 渡 矩 阵 一 定 是 可 逆 的于 是 ， 60 过

22、渡 矩 阵 的 性 质1 2 1 2 11 2 1 21. , , , , , , , , , , , , .n nn n AA 若 从 基 到 基 的 过 渡 矩 阵 是则 从 基 到 基 的 过 渡 矩 阵 是 1 2 1 21 2 1 21 2 1 22. , , , , , , , , , , , , , , , , , , .n nn nn n AB AB 若 从 基 到 基 的 过 渡 矩 阵 是从 基 到 基 的 过 渡 矩 阵 是则 从 基 到 基 的 过 渡 矩 阵 是 61 例 10 。，F的 过 渡 矩 阵到 基从 基 求中在 )5,3,2(),2,1,0(),3,2,1

23、( )1,1,2(),3,1,0(),1,0,1( 321 3213 62 定 理 3(坐 标 变 换 公 式 ) , 21 XV n下 的 坐 标 是在 基设 n , 21 在 基 ,Y下 的 坐 标 是 的 过到 基而 从 基 nn , 2121 则 ,A渡 矩 阵 是,AYX 或 XAY 1 63 例 11 在 基求中在 23 1)(, xxxfxF 2 22 , , 2 3x x x x x 下 的 坐 标 。 64 第 三 节 子 空 间 , 交 与 和: , .,. .V F W VW V FW V W V 定 义 设 是 数 域 上 的 线 性 空 间 是 的 非 空 子 集若

24、关 于 的 子 空运 算 也 构 成 上 的 线 性 空间 间则 称 是 的 记.: 的 子 空 间是例 xFxF n .: 中 的 运 算 应 当 相 同的 运 算 与注 VW 65 定 理 1 . .W V W VW设 则 是 的 子 空 间 关 于 线 性 运 算 封 闭 : .V V例 如 及 本 身 均 是 的 子 空 间 312: ( , , ) |3 2 5 1( , , ) |3 2 5 0RV x y z x y zV x y z x y z 例 如 中 集 合 66 两 类 重 要 的 子 空 间 1. . | .s n nA F V F AV Ax 设称 是 齐 次 线

25、性 方 程 组 的 解 空 间 )( . ,., | .2 21 21211 21s sssi iii s，LW W FkkW V，。FV 记是 其 生 成 元 生 成 的 子 空 间是 由称 集 合上 的 线 性 空 间是设 67 命 题 ： ;),(.1 21 WLW js 则若 1 2 1 21 2 1 22. ( , , , ) ( , , , ), , , , , ,s ts tL L 与 等 价 ； 1 2 1 21 2 1 23. , , , ( , , , )dim ( , , , ) ( , , , ).s ss sLL r 的 极 大 无 关 组 是 的 基 ，故 ， 68

26、 例 12 .),( )2,1,0,2(),1,1,1,1(),2,1,3,2(),1,1,2,1( , 4321 4321 4 的 一 组 基 及 其 维 数求 已 知中在 LWF 69 例 13 .),( 11 11,11 11,21 12,12 21 ,22 的 一 组 基求 中在 DCBALW DCBA F 70 例 14 .,|22 的 一 组 基中 子 空 间求 Fyxxy yxWF 71 例 15 2 2 2 2 1 0 , :2 1 |, .AW X F AX XAF W 设 证 明是 的 子 空 间 并 求 的 一 组 基 72 定 理 2 2 22 1 1 1, .1 2

27、1 1, .A BA B F 例 ： 已 知将 扩 充 成 的 一 组 基. VV有 限 维 线 性 空 间 的 子 空 间 的 基均 可 扩 充 成 的 一 组 基 73 子 空 间 的 交 与 和.21 V，VV 假 设 21221121 2121 |: 使 得且定 义 V，VVVV VVVVV 74 子 空 间 的 交 与 和1 2 1 2: .3 V V V V V ， 都 是定 的 子 空 间理 75 注 ： 交 与 并 的 区 别 则若命 题 ，LVLV ts ),(),(: 212211 ),( 212121 tsLVV 76 定 理 4（ 维 数 定 理 ）1 21 2 1 2

28、 1 2, ,dim( ) dim dim dimV V VV V V V V V 假 设 有 77 例 16 ., ,|,| 212121 21 22 的 及 维 数及求 子 空 间设 VVVVVV Fyxxy yxVFyxyy xxV F 78 例 171 21 2 1 1 2 2 1 24 1 2 1 2(1,2,1,0), ( 1,1,1,1),(2, 1,0,1), (1, 1,3,7)( , ), ( , ), .V L V LF V V V V 设 。求 的 子 空 间 的 基 及 维 数 79 例 18 . |,| 2212 1121,4413 2211 1111 2121 4

29、241 的 基 及 维 数，求已 知 VVVV BxFxVAxFxV BA 80 直 和 1 2 1 21 1 2 2 1 21 2 1 2. , . , .V V V V VV VV V V V 定 义 设 若 ，惟 一 的 使 得 ，则 称 是 记 为直 和 。 81 定 理 5 :, 21 则 下 述 条 件 是 等 价 的设 VVV ;.1 21 直 和VV ;.2 的 表 示 方 式 是 唯 一 的 ;.3 21 VV ;dimdim)dim(.4 2121 VVVV .,.5 2121 的 基的 基 合 在 一 起 就 是将 VVVV 82 例 19 1 2 1 2| , |n n

30、 T Tn nFV A A A V A A AF V V 已 知 的 子 空 间 ，证 明 ： 。 83 例 20 21 2 1 2 , .| , |n n n nnA F A AV x F Ax V x F Ax xF V V 设 且 ，证 明 ： 。 84 多 个 子 空 间 的 直 和1 2 1 2 1 1 2 1 2. , , , ., 1,2, , ,s ssi i iis sV V V V V V VV i sV V V V V V 定 义 设 若 ，惟 一 的 使 得 ， 则 称是 ， 记 为直 和 。 85 定 理 6 ;.2 的 表 示 方 式 是 唯 一 的 ;.3 ji

31、ij VV si isi i VV 11 dimdim.4 .,.5 2121 的 基的 基 合 在 一 起 就 是将 ss VVVVVV ;.1 21 直 和sVVV :, 21 则 下 述 条 件 是 等 价 的设 VVVV s 86 87 第 四 节 线 性 映 射. : . , ( ), .f S T x S y f xy x f x y f 定 义 设 有 映 射 若 则称 为 的 在 下 的 ， 称 为 在 下 的像 原 像 88 . : .( ) , ; ( ) ( ) , ;, .f S Tf S T ff a f b a b ff f 定 义 假 设 映 射若 则 称 是若

32、由 必 能 推 得 则 称 是若 满 射 单 射既 是 满 射 又 是 单 射 则 是 双 射称: : ( : , ).7 S Tf S Tf g T Sgf I fg I 定 理 是 双 射是 可 逆 映 射 存 在 映 射使 得 89 定 义 ：, .: :1. , , ( ) ( );2. , , ( ) ( ) ( ).V U Ff V Ux V k F f kx kf xx y V f x y f x f yf V U 设 均 是 数 域 上 的 线 性 空 间若 映 射 满 足 条 件则 称 是 到 的 线 性 映 射从 ).,( UVHomUV 的 线 性 映 射 全 体 记 为

33、到从 V V到 自 身 的 线 性 映 射 称 为 上 的 线 性 变 换 。 90 例 211. , :, ( ) .s n n snA F f F Fx F f x Ax 假 设 映 射 定 义 为2. : :( ) , ( ( ) ( ). n nnf F x F xp x F x f p x p x 映 射 定 义 为 91 例 223. , : :, ( ) .n n n n n nn nA F f F FX F f X XA 假 设 映 射 定 义 为 92 例 23 性 变 换 ：考 虑 下 列 变 换 是 否 为 线 是 一 给 定 向 量 。上 的 线 性 空 间 ，是 数

34、域假 设 VFV 0 .0)(,.1 xfVx .0)(,.2 xxfVx 93 注 换 ：下 述 变 换 肯 定 是 线 性 变 ;)(,: xOVxVVO .)(,: xxIVxVVI 94 线 性 映 射 的 性 质 ：;)(.1 : f UVf 是 线 性 映 射 。 则 ：假 设 1 2 1 2 1 12. , , , , , ,( ) ( );s ss si i i ii iV k k k Ff k k f 若 则 1 21 23. , ,( ), ( ), ( ) ;s sVf f f U 若 线 性 相 关 ，则 线 性 相 关 95 1 21 24. ( , , ),( )

35、( ( ), ( ), ( );s sV L fR f L f f f 若 则 的 值 域 5. ( ) | ( ) K f x V f x Vf 是 的 子 空 间 ， 称 为 的 核 子 空 间 。 96 例 24 定 义 为 ：其 中 ： 和 维 数 ：的 值 域 及 核 子 空 间 的 基求 线 性 映 射 : 33 xFxFf f )()( xpxpf 97 例 25 .:( ) ,s n n snA F ff F Ff x Ax x F 设 求 线 性 映 射 的值 域 及 核 子 空 间 的 基 和 维 数 ，其 中 ： 定 义 为 ： ).)(),( AKARf 记 为的 值

36、域 及 核 子 空 间 分 别 98 线 性 变 换 的 运 算, ( , ), ( , ), , f f Hom V U g Hom U W k Fkf f f gf 假 设定 义 如 下 ：它 们 都 是 线 性 映 射 。 99 线 性 映 射 的 运 算 的 性 质 ：则 ：假 设 ).,(, VVHomhgf );().(1 ghfhfg ;)(.2 fhfghgf 3.( ) .f g h fh gh 100 线 性 映 射 （ 变 换 ） 的 矩 阵 ：选 定 基 偶 ：设 ).,( UVHomf ;,: 21 sV nU ,: 21 Afff ns ),()(,),(),( 2

37、121 若 A f则 称 是 在 选 定 基 偶 下 的 矩 阵 。且如 ,VU Afff ss ),()(,),(),( 2121 A f则 称 是 线 性 变 换 在 所 选 基 下 的 矩 阵 。 101 例 26 102 例 27 2 2 2 2 2 2 11 12 21 22( , )3 2( ) ,3 4., , , .f Hom F Fa b b cf X a b c a b c da bX Fc df E E E E 定 义 为 ：其 中 ，求 在 基 下 的 矩 阵 103 定 理 8 1 2 1 21 2 1 2( , ): , , , ; : , , , , , , ,(

38、 ) , , , .s nsnf Hom V UV UA V Xf AX 若 在 基 偶下 的 矩 阵 是 在 的 坐 标 是则 在 基 下 的 坐 标 是 104 定 理 9 在 选 定 基 偶 ：设 ),( UVHomf ;,: 21 sV nU ,: 21 。下 的 矩 阵 是 A 在 新 的 基 偶则 f Pss ),(),( 2121 Qnn ),(),( 2121 下 的 矩 阵 是 APQB 1 1 2, ( , ) , , , ,sf Hom V V Af 特 别 是 若 在 基 下 的 矩 阵 是则 在 新 的 基 Pss ),(),( 2121 下 的 矩 阵 是 .1AP

39、PB 105 例 28 3 3 32 21 2 3: ( ( ) ( ), ( ) ( ) 1 3 , ( ) 1 , ( ) 1 2. f F x F xf p x p x p x F xp x x x p x x p x x x 求 线 性 变 换在 基下 的 矩 阵 106 定 理 10 下 ，则 在 基设 下 的 矩 阵 分 别 是的 基在假 设 s sFk BAVVVHomgf , ,),(, 21 21 ;.1 kAkf的 矩 阵 是 ;.2 BAgf 的 矩 阵 是 ;.3 ABfg的 矩 阵 是 。的 矩 阵 是可 逆 ， 并 且 ，矩 阵可 逆 11.4 AfAf对 线 性

40、映 射 的 矩 阵 有 类 似 的 性 质 。 107 第 五 节 线 性 映 射 的 值 域 及 核 子 空 间( .11. , )f Hom V U假 设定 理 则 ;)( UfRf 是 满 射 .)( fKf是 单 射 108 值 域 的 计 算即矩 阵 是 下 的在 基 偶若 , ,:;,:),( 2121A UVUVHomf ns Afff ns ),()(,),(),( 2121 )(),(),()( 21 sfffLVf 由 于 ).()(dim ArfR 109 核 子 空 间 的 计 算 1 2 1 21 21 2( , ) : , , , ; : , , , , , , ,

41、( ) , , , .n snsf Hom V U V UA V Xf AX 若 在 基 偶 下 的矩 阵 是 在 的 坐 标 是则 在 基 下 的 坐 标 是;)( AXfK因 此 ， 1 2 1 2, , , , , , ( )n r j jn rX X X AX XV K f 从 而 ， 若 是 的 基 础 解 系 ， 是 以 为坐 标 的 中 的 向 量 ， 则 是 的 基 。dim ( ) ( ).K f n r A 110 定 理 12（ 线 性 映 射 的 维 数 定 理 ）则假 设 ).,( UVHomf VfKfR dim)(dim)(dim 111 则设推 论 ).,(,d

42、im: VVHomfV 是 满 射是 单 射可 逆 fff 注 ： 对 无 限 维 空 间 ， 推 论 不 成 立 。 112 例 29 2 2 2 2( , ), ( )( ) ( )f Hom F Fa b a b b cX f Xc d c d d aR f K f 设 定 义 为 ：对求 及 的 一 组 基 及 维 数 。 113 定 义 （ 不 变 子 空 间 ） ：( , ), . , ( ) ,f Hom V V W V W f WW f 设 若 有则 称 是 的 不 变 子 空 间 。 的 不 变 子 空 间 。均 是则设例 fFKfRVVHomf )(),().,(. 114

43、 为 何 要 讨 论 不 变 子 空 间 ？ 115 为 何 要 讨 论 不 变 子 空 间 ？ 116 例 30 2( , ), . .f Hom V V f f I Of V O O 设 且 证 明 ：在 的 任 意 基 下 的 矩 阵 均 相 似 于 117 线 性 空 间 的 同 构 118 119 120 121 第 二 章内 积 空 间 、 等 距 变 换 122 第 一 节 基 本 概 念本 章 的 目 的 ： 将 内 积 推 广 到 抽 象 的 线 性 空 间约 定 ： 数 域 F指 实 数 域 R或 复 数 域 C , ,1. , , 0;2. , , , , , , ;3.

44、 , , , , , ;4. , , , V F VVVV k F k k F R V F C V 定 义 ： 假 设 是 数 域 上 的 线 性 空 间 ， 在 上 定 义 了 一 个 二 元 函 数 若则 称 是 的 。 定 义 了 内 积 的 线 性 空内 积 内 积 空 间欧 基 里 德 空 间 称 为 。当 时 称 是 ， 当 时 称间 是 酉 空 间 。 123 例 1 .,.1 TnRV .,.2 AtrBBARV Tnn .)()()(),(,.3 1 13 dxxgxfxgxfxRV .,.4 HnCV 124 内 积 的 性 质 ;,.1 ;,.2 kk ;,.3 1 11

45、 1 jisi tj jisi tj jjii lklk 0,.4 V对 任 意 125 度 量 矩 阵 的 坐 标 是的 基 ，是设 VVn , 21 jini nj ji yx , 1 1则 ,),(,),( 2121 TnTn yyyYxxxX YAX T 1 2( , ) , , , ,i j n n nA A V 其 中 ， 称 是 度在 基 下 的 量 矩 阵 。;, TAARF 则若 HAACF 则若 , 126 向 量 的 模 （ 长 度 ）的 模 （ 长 度 ） 定 义 为定 义 ： 设 ,V ,是 单 位 向 量 。， 则 称若 1性 质 ： ；且 0,0,.1 V ;.2

46、 kk .1, 是 单 位 向 量则故 若 127 C-B不 等 式 , V 线 性 相 关 。，而 且 ， 等 号 成 立 128 三 角 不 等 式 , V 定 义 ： 向 量 ， 间 的 距 离 定 义 为 )( ，d ：三 角 不 等 式 的 距 离 形 式 ),(),(),(, dddV 129 正 交 性 定 义 ： 若 向 量 ， 的 内 积 为 零 ， 则 称 ， 是 正 交 的 。记 222 ， 则勾 股 定 理 ： 若 130 标 准 正 交 基 定 义 ： 由 两 两 正 交 的 非 零 向 量 组 成 的 向 量 组 。正 交 向 量 组称 为 由 两 两 正 交 的

47、单 位 向 量 组 成 的 向 量 组 称 标 准 正 交 向 量 组为 。 作 为 正 交 向 量 组 的 基 称 为 是 。正 交 基 作 为 标 准 正 交 向 量 组 的 基 称 为 是 。标 准 正 交 基 131 标 准 正 交 基 下 的 内 积XYYX VV H nn , , 2121 则 ，的 坐 标 是 下在的 标 准 正 交 基 ，是设 nCYX , 132 Schmidt正 交 化 方 法是 线 性 无 关 的 。设 Vs , 21 正 交 化 ：:令 111 1111 1 111 13222 2333 111 1222 11 , , ssss ssss 单 位 化 ：

48、 si iii ,2,1 1 133 例 2 1 2 1 22 5VV 假 设 在 基 ， 下 的 度 量 矩 阵 是 。求 的 一 组 标 准 正 交 基 。 134 例 3 3 11 ( ), ( ) ( ) ( ).V R xf x g x f x g x dxV 在 中 定 义 内 积 ：求 的 一 组 标 准 正 交 基 135 酉 矩 阵 .Hn A A A I定 义 ： 阶 复 矩 阵 称 为 是 ， 若酉 矩 阵1 HA A A 命 题 ： 是 酉 矩 阵 的 标 准 正 交 基 。的 行 （ 列 ） 向 量 组 是 nCA 136 定 理 1 , 21 的 标 准 正 交 基

49、是设 Vn Unn ),(),( 2121 是 酉 矩 阵 。是 标 准 正 交 基则 ， U n , 21 137 Schmidt正 交 化 方 法 的 应 用 138 注 使 得的 基 ， 则 有 标 准 正 交 基是如 果 nn V , 2121 Tnn ),(),( 2121 对 角 元 均 大 于 零 。是 上 三 角 矩 阵 ， 且 其 主其 中 ， T 139 矩 阵 的 UT分 解 140 例 4 141 定 理 2 1 21 2 1 2 1 2, , , , , , ,ss s n s s s nW V WV 假 设 是 的 子 空 间 ， 是 的 标 准 正 交 基 ，则

50、存 在 使 得 是的 标 准 正 交 基 。 142 第 二 节 正 交 补 空 间, . .W V V W W 定 义 ： 设 若 ， ， 称 。， 称，对若 2121221121 , WWWWVWW 1 2( , , , ), . ,3 .s jW L V W j 则定 ：设理 143 正 交 补 空 间 记定 义 ： 设 ,VW WVW | V W易 证 这 是 的 子 空 间 ， 称 的 正 交 补 空 间是 。, .4 W V V W W ： 若 则定 理 , , .V W U W U U W 而 且 ， 若 且 则 ., WWVW 则推 论 ： 若 144 正 交 补 空 间 的

51、计 算. :s n n sA C f C C 假 设 定 义 线 性 映 射 为 ：( ) , nf x Ax x C ？和问 题 ： 如 何 计 算 )()( AKAR 145 正 交 补 空 间 的 计 算 146 例 5 1 2 0 1 0 1 2 1 ,1 0 1 2| .AW x AxW 设求 的 一 标 准 正 交 基 。 147 一 个 几 何 问 题空 间 中 点 到 直 线 的 距 离 ： PQ 148 空 间 中 向 量 到 子 空 间 的 距 离 ： V 0 0 149 使 得求已 知 ,., WVVW ),(min),( dd W, .6 W V V 定 ： 假 设理

52、则),(min),( dd W W W （ 称 是 在 中 的 正 投 影 ） 。 150 例 6 中 的 正 投 影 。在求假 设 中 ， 已 知在 WLWR ).,( ).2,1,2(),3,1,2(),1,2,1(21 213 151 例 7 152 应 用 -Fourier系 数 153 最 小 二 乘 解,s nA C Ax b 设 求 线 性 方 程 组 的最 佳 近 似 解 。 154 第 三 节 等 距 变 换 ( , ).V f HomV V定 义 ： 设 是 内 积 空 间 ， 若,)(),( ff V ,f称 是 等 距 变 换 。, ;F R f若 称 是 正 交 变

53、换 , .F C f 若 是 酉 变 换称 155 例 8 定 义 为 ：是 酉 矩 阵 。设 nn CCfA : nCxAxxf ,)( 156 定 理 7 ( , ).1 .2 .3 .4 .V f Hom V Vffff 设 是 内 积 空 间 ， 下 述 条 件 等 价 ：（ ） 保 持 长 度 不 变 ；（ ） 保 持 内 积 不 变 ；（ ） 将 标 准 正 交 基 变 为 标 准 正 交 基 ；（ ） 在 标 准 正 交 基 下 的 矩 阵 是 酉 矩 阵 。 157 ( )f 关 于 直 线 的 反 射( )f 158 欧 氏 空 间 中 的 反 射 159 镜 像 变 换 1

54、60 1 1 161 例 9 162 第 三 章 矩 阵 的 相 似 标 准 形 163 矩 阵 与 线 性 变 换本 章 的 目 的 ：n 对 给 定 的 矩 阵 ， 找 一 最 简 单 的 矩 阵 与 之 相 似 。n 对 给 定 的 线 性 空 间 上 的 线 性 变 换 ， 找 线 性 空 间 的 一组 基 ， 使 得 线 性 变 换 的 矩 阵 最 简 单 。 164 第 一 节 特 征 值 与 特 征 向 量 165 矩 阵 的 相 似 对 角 化 166 线 性 变 换 的 特 征 值 、 特 征 向 量 167 线 性 变 换 的 可 对 角 化 问 题 168 例 1 ,),

55、(),( 33 TzyxXCCHomf 定 义 为 ： zyx yxXf 2)(的 特 征 值 、 特 征 向 量 。求 f 169 线 性 变 换 的 特 征 值 、 特 征 向 量 的 计 算 170 例 2 ,),( 222222 CXCCHomf 定 义 为 ：XXf 11 11)(的 特 征 值 、 特 征 向 量 。求 f 171 定 理 1 ., BIAICBA nn 是 相 似 的 ， 则若注 ： 定 理 的 逆 命 题 不 成 立 ；.1 多 项 式 。可 定 义 线 性 变 换 的 特 征.2 172 特 征 多 项 式 的 计 算 173 主 子 式 与 子 式 174

56、主 子 式 与 子 式 175 特 征 多 项 式 的 计 算 ,ij n nA a 定 ： 设理 2 则 nnnnn bbbbAI 12211 阶 主 子 式 ）的（其 中 ， jAb j j )1( ,11 ni iiab特 别 地 ， .)1( Ab nn 176 矩 阵 的 迹 1( ( ) , .nij n n iiiA a a A tr A 定 义 ： 设 称 为 的 ， 记 为迹 则的 特 征 值 为命 题 ： 若 ,)( 21 nnnijaA ,)( 1 ni iAtr .1 iniA .),()(, BABtrAtrBA 相 似 ， 则推 论 ： 若 177 例 3 的 特

57、征 值 。求设 AAbbbaaa H nn ., 2121 178 化 零 多 项 式( ) ( ) ,( ) 0 .f x f A OA f x 设 是 多 项 式 。 若则 的 特 征 值 均 是 的 根2 . 0 1A AA 例 ： 已 知 证 明 ：的 特 征 值 只 能 是 或 。 179 第 二 节 Hamilton-Cayley定 理, ( ) . ( ) .n nA F C I A C A O ： 则定 理 3 设 ( , ), ( ) ( ) .f Hom V V C f C f O ： 设 是 的 特 征 多 项 式 ， 则定 理 4 是 上 三 角 矩 阵 。使 得存 在

58、 酉 矩 阵引 理 ： 对 AUUUCASchur Hnn , 180 例 4 .53 43 100AA 求设 32)( 2 C 181 例 5 1001 2 21 0 31 1 2A A 已 知 ， 求 。 2)1)(1()( C 182 最 小 多 项 式 .AA定 义 ： 矩 阵 的 次 数 最 低 的 、 最 高 次 项 系 数 为 一 的 化 零 多 项 式称 为 的 最 小 多 项 式1 ( ), ( )( ) | ( ).m x x Am x x性 质 ： 若 分 别 是 矩 阵 的 最 小 多 项 式 、 化 零 多 项 式 ，则 式 是 唯 一 的： 任 意 矩 阵 的 最

59、小 多 项性 质 2 有 相 同 的 最 小 多 项 式 。相 似 ， 则： 如 果 矩 阵性 质 BABA ,3 小 多 项 式 ）定 义 ： （ 线 性 变 换 的 最 183 定 理 5 0 0 0( ), ( )( ) | ( ) , ( ) 0 ( ) 0m x C x Am x C x C m C 设 分 别 是 矩 阵 的 最 小 多 项 式 和 特 征 多 项 式 ，则 ， 并 且 ， 对 。 184 例 6 aaaaaaaaa 11,01, 式 ：求 下 列 矩 阵 的 最 小 多 项 185 例 7 的 最 小 多 项 式 。求设 AAbbbaaa H nn ., 2121

60、 186 例 8 ,),( 222222 CXCCHomf 定 义 为 ：XXf 11 11)(的 最 小 多 项 式 。求 f 187 第 三 节 可 对 角 化 的 条 件目 的 ： 对 给 定 的 矩 阵 ， 判 断 其 是 否 相 似 于 对 角 阵 ； 对 给 定 的 线 性 空 间 上 的 线 性 变 换 ， 判 断 是 否 存 在空 间 的 一 组 基 ， 使 得 其 矩 阵 是 对 角 阵 。 188 已 知 的 判 别 方 法6 n n A A n ： 矩 阵 相 似 于 对 角 阵 有 个 线 性 无 关定 理 的 特 征 向 量 。7： 矩 阵 的 属 于 不 同 特 征

61、 值 的 特 征 向定 理 量 线 性 无 关 。 1 21 21 , 211, 21 1 12, 22 2 1 , 2, , , , , , ,8 , ,i ssi i t i it t s s t sAA ： 若 是 矩 阵 的 互 不 相 同 的 特 征 值 ，是 的 属 于 特 征 值 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 则定 理 线 性 无 关 。 189 线 性 变 换 的 可 对 角 化 问 题9 f f n： 可 对 角 化 有 个 线 性 无 关 的定 理 特 征 向 量 。0:1 f的 属 于 不 同 特 征 值 的 特 征 向定 理 量 线 性 无 关 。 1 2

62、1 21 , 211, 21 1 12, 22 2 1 , 2, , , , , ,1 , ,1 ,i ssi i t i it t s s t sff ： 若 是 线 性 变 换 的 互 不 相 同 的 特 征 值 ，是 的 属 于 特 征 值 的 线 性 无 关 的 特 征 向 量 ， 则定 理 线 性 无 关 。 ( , ).V n f Hom V V假 设 是 维 线 性 空 间 ， 190 特 征 子 空 间 0( , ),f Hom V V f定 义 ： 设 是 的 特 征 值 。 称 0 0| ( )V V f 的 特 征 子 空 间 。的 相 应 于 特 征 值为 0f 191

63、 可 对 角 化 的 条 件 192 例 9 ,),( 222222 CXCCHomf 定 义 为 ： XXf 11 11)(。相 应 的 特 征 子 空 间 的 基的 特 征 值 及求 f 193 定 理 12 1( ) ( ) ( )dim . i i s riiif Hom V V CV r 设 ， 的 特 征 多 项 式 是 ，则 194 定 理 13 1( , ) ( ) ( ) is riif Hom V V C 设 的 特 征 多 项 式 是 ，则 下 述 条 件 是 等 价 的 ：是 可 对 角 化 的 ；f.1 ;dim.2 irVi i ， sVVVV 21.3 195 例

64、 10 ,),( 222222 CXCCHomf 定 义 为 ： XXf 22 11)(; .2 相 应 的 特 征 子 空 间 的 基的 特 征 值 及求 f 下 的 矩 阵 ；在 基求 22122111 ,.1 EEEEf 2 23. C f问 ： 是 否 存 在 的 基 ， 使 得 的 矩 阵 为 对 角 阵 ？ 为 什 么 ？ 196 定 理 14 的 最 小 多 项 式 无 重 根 。相 似 于 对 角 阵矩 阵 AAnn 1 2 1 ,( ) ( 1) .i ss iin M M M M Or M s n 引 理 ： 若 阶 矩 阵 满 足则 197 例 11 相 似 于 对 角

65、阵 。则满 足阶 矩 阵若 AAAAn ,2 198 例 12 .3 .)5(,1032IA rIArIAACA nn 求 行 列 式 并 且 ，满 足已 知 199 第 四 节 Jordan标 准 形问 题 ：如 果 给 定 的 矩 阵 不 与 任 何 对 角 阵 相 似 ， 如 何 找 一 最 简 单 的矩 阵 与 之 相 似 。等 价 的 问 题 ：若 线 性 空 间 上 给 定 的 线 性 变 换 不 可 对 角 化 ， 如 何 找 线 性 空间 的 一 组 基 ， 使 得 线 性 变 换 的 矩 阵 最 简 单 。 200 Jordan形 矩 阵1 1 k k Joa a a rda

66、n 定 义 ： 形 如 的 矩 阵 称 为 块 。1 2 isJ JJ J Jordan Jo aJ rd n 形 如 （ 其 中 ， 均 是 块 ） 的 矩 阵 称 为 形 矩 阵 。A Jordan J J A若 矩 阵 与 形 矩 阵 相 似 ， 则 称 是 的 标 准 形 。 201 例 13 1000 0200 0120 0001,000 100 002,000 100 012 ,200 120 001,200 020 011,200 120 011,200 020 001 ?形 矩 阵下 列 矩 阵 是 否 为 Jordan 202 Jordan标 准 形 的 存 在 性 、 唯 一 性 标 准 形 。的也 是的 一 个 排 列 ， 则是其 中 ， 标 准 形 ， 而的是 矩 阵若 JordanAKJJJJJJ JJJKJordanAJJJJ siii iiis s s, ,2121 21 21 的 。标 准 形 是 存 在 的 、 唯 一矩 阵 的 块 的 次 序 外 ，除 了 相 差JordanJordan 203 唯 一 性 的 证 明 思 路0 0 01. , (