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1、第八章无穷级数第八章无穷级数常数项级数的概念和性质函数项级数 结束结束常数项级数敛散性判别法函数展开为幂级数函数展开为傅里叶级数第一节 常数项级数的概念和性质一.无穷级数的概念二.级数收敛的必要条件三.无穷级数的基本性质 一.无穷级数的概念1.无穷级数的定义设有数列 un:u1,u2,un,为一个无穷级数,简称为级数.称 un 为级数的一般项或通项.则称表达式下列各式均为常数项级数例1下列各式均为函数项级数例22.级数的敛散性定义无穷级数的前 n 项之和：称为级数的部分和.若存在,则称级数收敛.S 称为级数的和：若不存在(包括为),发散.则称级数讨论等比级数的敛散性.等比级数的部分和为：当公比
2、|r|1 时,当公比 r=1时,Sn=a,n为奇数0,n为偶数当公比当公比|r|1 时时,等比级数收敛；等比级数收敛；当公比 r=1时,当公比当公比|r|1 时时,等比级数发散等比级数发散.综上所述,讨论级数的敛散性.解解例4而故即该级数收敛,其和为二.级数收敛的必要条件若级数收敛,则必有定理证证设由于故该级数发散.解解例5证明调和级数是发散的:调和级数的部分和有：证证例6由数学归纳法,得 k=0,1,2,而故 不存在,即调和级数发散.三.无穷级数的基本性质 若 c 0 为常数,则与1.性质性质 1有相同的敛散性,且 证证的部分和为的部分和为故同时收敛或同时发散,即与且有2.性质性质 2证证的
3、部分和为：故即 级数收敛,且 因为等比级数所以级数例7问 题 一个收敛级数与一个发散级数的和是收敛的还是发散的？是发散的问 题 两个发散的级数之和是收敛的还是发散的？不一定 但对收敛级数来说,它的和将改变.在一个级数的前面加上或者去掉有限项后,所得到的新的级数与原级数的敛散性相同.3.性质性质 3证证设级数的部分和为 Sn,去掉级数的前面 m 项后得到的级数的部分和为由于 Sm 当 m 固定时为一常数,所以故 级数与级数级数仍然收敛,且其和不变.对收敛的级数加括号后所得到的新 在级数运算中,不能随意加上或去掉括 号,因为这样做可能改变级数的敛散性.4.性质性质 4问 题 收敛的级数去掉括号后所成的级数仍收敛吗？不一定问 题 发散的级数加括号后所成的级数是否仍发散？不一定问 题 如果加括号后的级数仍发散,原级数是否也发散？原级数也发散加括号可引起收敛,去括号可引起发散.
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