第3章 角动量守恒定律课件.ppt

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1、LOGO 普 通 高 等 教 育 “ 十 一 五 ” 国 家 级 规 划 教 材 大 学 物 理 （ 第 二 版 ） 袁 玉 珍 武 步 宇 陈 钦 生 主 编 第 3 章 角 动 量 守 恒 定 律 课 件 制 作 者 ： 陈 钦 生 www. *.com 3.2 质 点 的 角 动 量 守 恒 定 律 3.3 刚 体 的 角 动 量 守 恒 定 律 3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 惯 性 定 律 3.1 质 点 的 角 动 量 力 矩 3.5 刚 体 的 角 动 量 守 恒 定 律 主 要内 容 第 3章 角 动 量 守 恒 定 律 www. *.com 第 3章 角 动

2、量 守 恒 定 律 基 本 要 求1、 正 确 理 解 角 动 量 的 概 念 ， 理 解 角 动 量 定 理 。 2、 正 确 理 解 转 动 惯 量 的 概 念 ， 会 计 算 几 种 规 则 形 状 物体 的 转 动 惯 量 。 3、 掌 握 刚 体 绕 定 轴 的 转 动 定 律 ， 并 能 熟 练 应 用 它 来 求解 定 轴 转 动 刚 体 和 质 点 的 联 动 问 题 。 4、 掌 握 角 动 量 守 恒 定 律 及 其 适 用 条 件 ， 并 能 用 来 分 析 、计 算 有 关 问 题 。 www. *.com 3.1 质 点 的 角 动 量 力 矩 3.1.1 质 点 的

3、 角 动 量一 个 质 量 为 m的 质 点 以 速 度 v 运 动 ， 其 动 量 为 p ， 若其 相 对 于 定 点 O的 位 置 矢 量 为 r， 则 其 角 动 量 定 义 为 ：角 动 量 是 矢 量 ， 其 大 小 为 ：式 中 为 r 与 p 的 夹 角 ；角 动 量 的 方 向 ： 垂 直 于 r和 p所 组 成 的 平 面 ， 其 指 向由 右 手 螺 旋 法 则 确 定 prL sinvmrL Lp rm O www. *.com 3.1 质 点 的 角 动 量 力 矩 3.1.1 质 点 的 角 动 量质 点 的 角 动 量 与 质 点 的 位 矢 有 关 。质 点 相

4、 对 于 O点 做 圆 周 运 动 时 ， 位 矢 r 与 p 处 处 垂直 ， ， 故 角 动 量 大 小 可 写 为 ：角 动 量 方 向 ： 垂 直 于 圆 周 轨 道 平 面角 动 量 单 位 ： kg.m 2.s-1 ； 量 纲 ： ML2T-12mrvmrL 1sin v mO rL www. *.com 3.1 质 点 的 角 动 量 力 矩 3.1.2 质 点 的 角 动 量 定 理质 点 m对 定 点 O的 角 动 量 对 时 间 求 导 ， 得 ：prL )( prL dtddtd dtddtd prpr Frvv m Fr www. *.com 3.1 质 点 的 角 动

5、 量 力 矩 3.1.2 质 点 的 角 动 量 定 理力 矩 定 义 ：力 矩 大 小 ：式 中 为 力 臂 ， 则因 ， 即 合 力 切 向 分 量 ， 所 以 ：FrM FrM sindr sin dFM FrM FF sin www. *.com 3.2 质 点 的 角 动 量 守 恒 定 律 dtdLM 由 上 式 ： 当 0M 时 0LL 质 点 的 角 动 量 守 恒 定 律 ： 质 点 在 运 动 过 程 中 ， 所受 的 合 外 力 矩 等 于 零 时 ， 质 点 对 给 定 点 （ 转 轴 ） 的 角 动量 保 持 不 变 。或 L 常 矢 量 www. *.com 力 矩

6、 等 于 零 ， 有 三 种 情 况 ： 000)3( 00)2( 00)1( FrM,F,r M,F M,r3.2 质 点 的 角 动 量 守 恒 定 律 这 三 种 情 况 分 别 为 ： (1) 质 点 处 在 定 点 上 静 止 不 动 ； (2) 质 点 孤 立 ， 不 受 力 的 作 用 ； (3) 质 点 受 “ 有 心 力 ” 作 用 www. *.com 例 3-1 自 看例 3-2 利 用 角 动 量 守 恒 定 律 导 出 开 普 勒 行 星 运 动 第 二 定 律 ； 行 星 对 太 阳 的 位 矢 在 单 位 时 间 内 扫 过 的 面 积 为 常 量 。 解 ： 行

7、 星 绕 太 阳 运 动 过 程 中 ， 受 太 阳 吸 引 力 的 作用 ， 是 有 心 力 ， 力 矩 为 零 ， 角 动 量 守 恒 。 行 星 相 对 于 太 阳 任 意 时 刻 的 角 动 量3.2 质 点 的 角 动 量 守 恒 定 律 www. *.com sinrmvL =恒 量mvrL 其 大 小 为设 t时 间 内 ， 位 矢 扫 过 的 面 积 为 sin21 rrs 单 位 时 间 内 ， 位 矢 扫 过 的 面 积 为 sin21sinlim21lim 00 rmvmtrrtsdtds tt mL2 =恒 量 太 阳 行 星 mr rL3.2 质 点 的 角 动 量

8、守 恒 定 律 v=恒 矢 量 www. *.com 3.3 刚 体 的 运 动3.3.1 刚 体刚 体 是 受 力 时 不 改 变 形 状 和 体 积 的 物 体 ， 是 理 想 模 型 。特 点 (1) 是 一 个 质 点 组 （ 刚 体 可 以 看 成 由 许 多 质 点 组 成 ， 每 一 个 质 点 叫 做 刚 体 的 一 个 质 元 ）(2) 质 点 组 内 任 意 两 点 间 的 距 离 保 持 不 变 . www. *.com 3.3 刚 体 的 运 动3.3.2 平 动 和 转 动平 动 刚 体 运 动 时 ,刚 体 内 任 一 直 线 恒 保 持 平 行 的 运 动 。 w

9、ww. *.com 转 动 刚 体 运 动 时 ， 其 上 各 质元 都 绕 同 一 直 线 作 圆 周 运 动 ， 这种 运 动 称 转 动 。 该 直 线 称 为 转 轴 。若 转 轴 不 动 ， 称 定 轴 转 动 。3.3 刚 体 的 运 动 OO(1) 刚 体 上 各 点 都 在 垂 直 于 固 定 轴 的 平 面 内 (转 动 平 面 )做 圆 周 运 动 .其 圆 心 都 在 一 条 固 定 不 动 的 直 线 (转 轴 )上 . (2) 刚 体 上 各 点 到 转 轴 的 垂 直 线 在 同 样 的 时 间 内 所 转 过的 角 度 都 相 同 。 因 而 用 角 量 描 述

10、刚 体 的 运 动 .1. 定 轴 转 动 特 征 www. *.com xO p 称 角 位 置 或 角 坐 标 。规 定 逆 时 针 转 向 为 正 。2. 定 轴 转 动 的 描 述 (1) 角 坐 标 刚 体 定 轴 转 动 的 运 动 学 方 程 (2) 角 位 移 为 t时 间 内 刚 体 所 转 过 的 角 度 。 = (t) xO p3.3 刚 体 的 运 动 www. *.com (3) 角 速 度 ttt ddlim0 在 定 轴 转 动 中 ， 转 向 只 可 能 有两 个 方 向 。 取 逆 时 针 转 动 0，顺 时 针 转 动 0。 rad/s30602 nn每 分

11、 转 n 转 角 速 度 xO P(t)P(t+t ) +(4) 角 加 速 度 ttt ddlim0 角 加 速 度 3.3 刚 体 的 运 动 www. *.com 20 21 tt 匀 变 速 转 动 =常 量 ）（ 0202 2 t 0与 质 点 匀 变 速 直 线 运 动 公 式 相 对 应 。tt d)(d tt d)(d t tt00 d)( t tt00 d)(5) 刚 体 定 轴 转 动 运 动 方 程匀 速 转 动 = 常 量 t 03.3 刚 体 的 运 动 www. *.com (6) 角 量 与 线 量 的 关 系线 量 质 点 做 圆 周 运 动 的 位 移 r、

12、速 度 v、 加 速 度 a 角 量 描 述 刚 体 转 动 整 体 运 动 的rs rrva 22n ra t rv注 : r 的 原 点 必 须 在 转 轴 上 . 弧 长 线 速 度 切 向 加 速 度 法 向 加 速 度 ， r sO te xy 3.3 刚 体 的 运 动 www. *.com A mi iviro一 、 刚 体 定 轴 转 动 的 角 动 量 第 i 个 质 点 mi iiii vmrL 大 小 ： 2)( 90sin iiiii ii rmrmr vrmL iL由 于 所 有 质 点 的 角 动 量 的 方 向 相 同 ， 所 以 刚 体 的 角 动 量 为 2i

13、i ii i rmLL 令 2ii irmJ 又 因 为 L 和 的 方 向 相 同JL L相 对 于 给 定 轴 的角 动 量 为 J称 为 转 动 惯 量3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 www. *.com 二 、 刚 体 的 转 动 定 律JM 刚 体 的 转 动 定 律 ： 刚 体 转 动 过 程 中 ， 刚 体 的 角 加 速 度 与作 用 在 刚 体 上 的 合 外 力 矩 成 正 比 与 转 动 惯 量 成 反 比 。由 刚 体 定 轴 转 动 的 角 动 量 定 理 dtdLM JL 可 得 dtdJM J 为 刚 体 的 角 加 速 度 记注

14、： 与 牛 顿 第 二 定 律 地 位 相 当3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 www. *.com 三 、 转 动 惯 量 J1、 质 点 刚 体 ： 2mrJ 3、 质 量 连 续 分 布 的 刚 体 ： V dmrJ 2 J的 单 位 ： kgm2量 纲 : ML22、 离 散 刚 体 ： ni iirmJ 1 23.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 www. *.com 例 3-4 一 质 量 为 m， 长 为 l的 细 棒 ， 求 其 对 于(1) 通 过 棒 的 一 端 并 与 棒 垂 直 轴 的 转 动 惯 量 ；(2) 通

15、 过 棒 的 中 点 并 与 棒 垂 直 轴 的 转 动 惯 量 。解 ： x dx(1) 在 距 o点 为 x处 取 线 元 dx,其 质 量 为 dm, dxxdmxdJ 22 dxlmx2 dxlmdxdm 两 边 积 分 得 2200 31 mldxxlmJdJ lJ o l mdm 绕 给 定 轴 的 转 动 惯 量 为 3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 www. *.com 例 3-4 一 质 量 为 m， 长 为 l的 细 棒 ， 求 其 对 于(1) 通 过 棒 的 一 端 并 与 棒 垂 直 轴 的 转 动 惯 量 ；(2) 通 过 棒 的 中

16、点 并 与 棒 垂 直 轴 的 转 动 惯 量 。解 ： 3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 (2) 分 析 求 解 同 (1) dxxlmJdJ l lJ 2220 2121 ml o x dx dxlmdxdm l m www. *.com 四 、 平 行 轴 定 理设 o 轴 是 通 过 刚 体 质 心 的 转 轴 ， 刚 体绕 o轴 的 转 动 惯 量 为 2121 mlJc o oh ml可 以 证 明 ： 绕 任 意 平 行 于 o轴 的 转 动 惯 量 为 2mhJJ c 平 行 轴 定 理例 如 3-4题 中 2121 mlJc 2222 31)2(

17、121 mllmmlmhJJ c 3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 www. *.com 五 、 影 响 转 动 惯 量 的 因 素1、 质 量 的 分 布2、 刚 体 的 形 状 P45 表 3-13、 转 轴 的 位 置例 3-5 分 别 求 质 量 为 m半 径 为 R的 细 圆 环 和 均 匀 圆 盘 绕通 过 各 自 中 心 并 与 圆 盘 面 垂 直 的 轴 的 转 动 惯 量 。 R dm解 ： (1) 在 圆 环 上 取 质 量 元 dm dm 绕 给 定 轴 的 转 动 惯 量 为 dJ = R 2 dm积 分 得 222 mRdmRdmRJ O

18、 dmrJ 2 3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 www. *.com 解 ： (2) 在 距 o点 为 r处 取 宽 度 为 dr 的 圆 环 ， 圆 环 的 质 量 为 dm, r dro rdrdm 2 2Rm dmrdJ 2积 分 得 240 20 2 21212 mRRrdrrdmrJ RR dm绕 给 定 轴 的 转 动 惯 量 为 例 3-5 分 别 求 质 量 为 m半 径 为 R的 细 圆 环 和 均 匀 圆 盘绕 通 过 各 自 中 心 并 与 圆 盘 面 垂 直 的 轴 的 转 动 惯 量 。3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转

19、 动 惯 量 www. *.comR 六 、 转 动 定 律 的 应 用例 题 一 个 质 量 为 M、 半 径 为 R的 定 滑 轮 （ 均 匀 圆 盘 ） 上面 绕 有 细 绳 。 绳 的 一 端 固 定 在 滑 轮 上 ， 另 一 端 系 一 质 量 为m的 物 体 。 忽 略 轴 处 摩 擦 ， 求 物 体 m下 滑 的 加 速 度 a和 滑 轮转 动 的 角 加 速 度 。 .MR m解 ： MgN T m gTa3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 www. *.com解 以 上 三 式 得 2/Mm mga )/Mm(R mgRa 2根 据 转 动 定

20、律 TR=J 221 MR根 据 牛 顿 第 二 定 律 mg-T=ma因 绳 与 滑 轮 间 无 滑 动 ， 所 以 a=R3.4 刚 体 的 角 动 量 转 动 定 律 转 动 惯 量 www. *.com 由 刚 体 角 动 量 定 理 的 微 分 式 dtdLM 当 0M 时 ： L 恒 矢 量即 ： J 恒 矢 量讨 论 ： 1、 当 J=恒 量 时 ， =恒 量 ， 刚 体 作 匀 速 转 动 。2、 当 J变 化 时 ， J 增 大 ， 减 小 。 J 减 小 ， 增 大 。例 ： 跳 水 ， 体 操 等 。3.5 刚 体 的 角 动 量 守 恒 定 律 www. *.com 例

21、 题 如 图 所 示 ， 一 质 量 为 m 的 子 弹 以 水 平 速 度 v0 射入 可 以 绕 水 平 转 轴 在 竖 直 平 面 内 自 由 转 动 的 一 静 止 长棒 的 下 端 ， 穿 出 后 速 度 损 失 3/4， 求 子 弹 穿 出 后 棒 的 角速 度 。 已 知 棒 长 为 l， 质 量 为 M。解 : 取 子 弹 、 木 棒 为 系 统 。 作 用 前 后 系 统 所 受 的 合 力 矩 为 零 ， 所 以 系 统 的 角 动量 守 恒 。 即 L=恒 矢 量3.5 刚 体 的 角 动 量 守 恒 定 律 www. *.com vv0 m M200 3141 Mlmlvmlv Mlmv49 0 lLL 0 20202 3141 Mllvmllvml 3.5 刚 体 的 角 动 量 守 恒 定 律 大 小 =恒 量 LOGO www.*.com