隐函数的求导公式课件.ppt

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1、第 五 节 隐 函 数 的 求 导 公 式一 .一 个 方 程 的 情 形二 .方 程 组 的 情 形三 .小 结 0),(.1 yxF一 、 一 个 方 程 的 情 形隐 函 数 存 在 定 理 1 设 函 数 ),( yxF 在 点 ),( 00 yxP 的 某 一 邻 域 内 具 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 0),( 00 yxF ，0),( 00 yxFy ， 则 方 程 0),( yxF 在 点 ),( 00 yxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 连 续 且 具 有 连 续导 数 的 函 数 )(xfy ， 它 满 足 条 件 )( 00 x

2、fy ， 并 有 yxFFdxdy . 隐 函 数 的 求 导 公 式 例 验 证 方 程 0122 yx 在 点 )1,0( 的 某 邻 域 内 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 可 导 、 且 0 x 时 1y 的 隐 函 数 )(xfy ， 并 求 这 函 数 的 一 阶 和 二 阶 导 数 在 0 x 的 值 . 解 令 1),( 22 yxyxF则 ,2xFx ,2yFy ,0)1,0( F ,02)1,0( yF 依 定 理 知 方 程 0122 yx 在 点 )1,0( 的 某 邻 域内 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 可 导 、 且 0 x 时 1y 的 函 数 )(xf

3、y 函 数 的 一 阶 和 二 阶 导 数 为yxFFdxdy ,yx ,00 xdxdy222 y yxydxyd 2y yxxy ,13y.1022 xdxyd 例 2 已 知 xyyx arctanln 22 ， 求 dxdy.解 令则 ,arctanln),( 22 xyyxyxF ,),( 22 yx yxyxFx ,),( 22 yx xyyxFy yxFFdxdy .xy yx 隐 函 数 存 在 定 理 2 设 函 数 ),( zyxF 在 点 ,( 0 xP), 00 zy 的 某 一 邻 域 内 有 连 续 的 偏 导 数 ， 且 ,( 0 xF0), 00 zy ， 0)

4、,( 000 zyxFz ， 则 方 程 ,( yxF0) z 在 点 ),( 000 zyxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一 个 单 值 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数),( yxfz ， 它 满 足 条 件 ),( 000 yxfz ， 并 有 zxFFxz ， zyFFyz . 0),(.2 zyxF 例 3 设 04222 zzyx ， 求 22xz .解 令则 ,4),( 222 zzyxzyxF ,2xFx ,42 zFz ,2 zxFFxz zx 22xz 2)2( )2( z xzxz 2)2( 2)2( z zxxz .)2( )2(

5、 3 22z xz 例 4 设 ),( xyzzyxfz ， 求 xz ， yx ， zy .思 路 ： 把 z看 成 yx, 的 函 数 对 x求 偏 导 数 得 xz ， 把 x看 成 yz, 的 函 数 对 y求 偏 导 数 得 yx ， 把 y看 成 zx, 的 函 数 对 z求 偏 导 数 得 zy .解 令 ,zyxu ,xyzv 则 ),( vufz 把 z看 成 yx, 的 函 数 对 x 求 偏 导 数 得xz )1( xzfu ),( xzxyyzfv 整 理 得 xz ,1 vu vu xyff yzff 把 x看 成 yz, 的 函 数 对 y求 偏 导 数 得)1(0

6、 yxfu ),( yxyzxzfv 整 理 得 ,vu vu yzff xzff yx 把 y看 成 zx, 的 函 数 对 z求 偏 导 数 得)1(1 zyfu ),( zyxzxyfv 整 理 得 zy .1 vu vu xzff xyff 例 5： 设 求 证( - , - ) 0, 1.z zx az y bz a bx y 隐 函 数 存 在 定 理 设 三 元 函 数 是 区 域内 的 类 函 数 ， 点 且 满 足则 方 程 组 在 点 的 某 邻 域 内 唯 一 确 0 0 0 0 0 0(1) 0 0 00 0 0 0 0 0( , , ) ( , , )0 0 0 3

7、: ( , , ), ( , , )( , , ) :( , , ) 0, ( , , ) 0,( , ) 0( , ) ( , , ) 0 ( , , )( , , ) 0y zx y z y z x y zF x y z G x y zC x y zF x y z G x y zF FF GJ y z G GF x y z x y zG x y z 二 、 方 程 组 的 情 形 1 (1) 0 00 0 ( ) ( )( )( ),( , ) ( , )( , ) ( , ), ,( , ) ( , )( , ) ( , )y y xC y y xz z xz z x F G F Gdy

8、 dzx z y xF G F Gdx dxy z y z 定 一 对 类 的 一 元 函 数 ， 它 们 满 足 条 件且 有 2 2 2 6 , .2 3 0 x y z dy dzdx dxx y z 例 6： 已 知 ， 求 0),( 0),( vuyxG vuyxF方 程 组 的 情 形 2隐 函 数 存 在 定 理 4 设 ),( vuyxF 、 ),( vuyxG 在 点 ),( 0000 vuyxP 的 某 一 邻 域 内 有 对 各 个 变 量 的 连续 偏 导 数 ， 且 0),( 0000 vuyxF , ),( 0000 vuyxG 0 ， 且 偏 导 数 所 组 成

9、的 函 数 行 列 式 （ 或 称 雅 可 比式 ） vGuG vFuFvu GFJ ),( ),( 在 点 ),( 0000 vuyxP 不 等 于 零 ， 则 方 程 组 0),( vuyxF 、 0),( vuyxG 在 点 ),( 0000 vuyxP 的 某 一 邻 域 内 恒 能 唯 一 确 定 一组 单 值 连 续 且 具 有 连 续 偏 导 数 的 函 数 ),( yxuu ，),( yxvv ， 它 们 满 足 条 件 ),( 000 yxuu , vv 0),( 00 yx ， 并 有 ,),( ),(1 vu vu vx vx GG FF GG FFvx GFJxu vu

10、 vuxu xu GG FFGG FFxu GFJxv ),( ),(1 ,),( ),(1 vu vuvy vy GG FFGG FFvy GFJyu .),( ),(1 vu vuyu yu GG FFGG FFyu GFJyv 例 5 设 0 yvxu ， 1 xvyu ， 求 xu ， yu ， xv 和 yv . 解 1 直 接 代 入 公 式 ；解 2 运 用 公 式 推 导 的 方 法 ，将 所 给 方 程 的 两 边 对 求 导 并 移 项x, vxvxxuy uxvyxux xy yxJ ,22 yx 在 0J 的 条 件 下 ，xy yx xv yuxu ,22 yx yv

11、xu xy yx vy uxxv ,22 yx xvyu将 所 给 方 程 的 两 边 对 求 导 ， 用 同 样 方 法 得y,22 yx yuxvyu .22 yx yvxuyv 设 其 中 由 方 程确 定 ， 求 例 ： 2 2 23 3 3 , ( , )-3 0u x y z z f x yux y z xyz y 例 、 设 2 20 求ln , .x ty zz z e dt x y （ 分 以 下 几 种 情 况 ）隐 函 数 的 求 导 法 则0),()1( yxF 0),()2( zyxF 0),( 0),()3( vuyxG vuyxF三 、 小 结 已 知 )( zy

12、zx ， 其 中 为 可 微 函 数 ， 求 ? yzyxzx 思 考 题 思 考 题 解 答 记 )(),( zyzxzyxF , 则 zFx 1 ，,1)( zzyFy ,)()( 22 zyzyzxFz ,)( zyyx zFFxz zx ,)( )( zyyx zyzFFyz zy 于 是 zyzyxzx . 一 、 填 空 题 :1、 设 xyyx arctanln 22 ,则 dxdy _. 2、 设 zx yz ,则 xz _, yz _.二 、 设 ,32)32sin(2 zyxzyx 证 明 ： .1 yzxz 练 习 题 三 、 如 果 函 数 ),( zyxf 对 任 何

13、 t 恒 满 足 关 系 式),(),( zyxfttztytxf k ,则 称 函 数 ),( zyxf 为 k次 齐 次 函 数 ,试 证 :k次 齐 次 函 数 满 足 方 程 ),( zyxkfzfzyfyxfx . 四 、 设 .,3 233 yx zaxyzz 求 五 、 求 由 下 列 方 程 组 所 确 定 的 函 数 的 导 数 或 偏 导 数 : 1、 设 2032 222 22 zyx yxz , 求., dxdzdxdy 2、 设 ),( ),( 2 yvxugv yvuxfu ， 求 ., xvxu （ 其 中 gf , 具 有 一 阶 连 续 偏 导 数 ） 六 、

14、 设 函 数 )(xu 由 方 程 组 0),( 0),( ),(zxh zyxg yxfu 所 确 定 , 且 .,0,0 dxduzhyg 求 ( hgf , 均 可 微 )七 、 设 ),( txfy 而 t是 由 方 程 0),( tyxF 所 确 定 的yx, 的 函 数 ,求 .dxdy 八 、 设 ),( yxzz 由 方 程 ),( xzyyxxF =0所 确 定 , 证 明 : xyzyzyxzx . 一 、 1、 yx yx ； 2、 yyxz zz zx x lnln1 ； 3、 yyxz zy zx z ln1 1 . 四 、 32 22242 )( )2( xyz yxxyzzzyx z . 五 、 1、 13,)13(2 )16( zxdxdzzy zxdxdy ； 2、 1221 1221 )12)(1( )12( gfgyvfx gfgyvfuxu , 1221 111 )12)(1( )1( gfgyvfx fufxgxv . 练 习 题 答 案 六 、 zy xzyy xxx hg hgfg gffdxdu zy xzyzxxzyx hg hgfhgfhgf . 七 、 tyt txxt fFF fFfFdxdy .