材料力学第六章弯曲变形

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1、工 程 力 学Engineering Mechanics 第 六 章 弯 曲 变 形 6. 挠 度 和 转 角 6. 挠 曲 线 的 近 似 微 分 方 程 6. 用 积 分 法 求 梁 的 变 形 6.5 梁 的 刚 度 校 核 6.4 用 叠 加 法 求 梁 的 变 形 1.梁 的 挠 度 曲 线 ： 梁 轴 线 变 形 后 所 形 成 的 光 滑 而 连 续 的 曲 线 。B1x q q y 2.梁 的 变 形 可 以 用 以 下 两 个 位 移 度 量 ： 挠 度 ： 梁 横 截 面 形 心 的 竖 向 位 移 y， 向 下 的 挠 度 为 正 转 角 ： 梁 横 截 面 绕 中 性

2、轴 转 动 的 角 度 q， 顺 时 针 转 动 为 正A FB以 图 示 悬 臂 梁 为 例 ： xw 61 挠 度 和 转 角 挠 度 方 程 ： 挠 度 是 轴 线 坐 标 x的 函 数 y=f(x)转 角 方 程 (小 变 形 下 )： 转 角 与 挠 度 的 关 系 q=tan q= =f (x) dxdy简 支 梁 实 例 车 床 主 轴 ： 变 形 过 大 ， 会 使 齿 轮 啮 合 不 良 ， 轴 与 轴 承 产生 非 均 匀 磨 损 ， 产 生 噪 声 ， 降 低 寿 命 ， 影 响 加 工 精 度 。 吊 车 梁 ： 变 形 过 大 会 出 现 小 车 爬 坡 现 象 ，

3、引 起 振 动 。3.计 算 变 形 的 目 的 ： 刚 度 校 核 、 解 超 静 定 梁 、 调 整 施 工 措 施 目 录 6 2 挠 曲 线 的 近 似 微 分 方 程推 导 弯 曲 正 应 力 时 ， 得 到 ：zEIM1 忽 略 剪 力 对 变 形 的 影 响 zEIxMx )()(1 由 数 学 知 识 可 知 ： 3222 )(11 dxdydxyd略 去 高 阶 小 量 ， 得 221 dxyd所 以 zEIxMdxyd )(22 式 中 的 正 负 号 取 决 于 坐 标 系 的 选 择 和 弯 矩 的 符 号 规 定 。 由 弯矩 的 正 负 号 规 定 可 得 ， 弯

4、矩 的 符 号 与 挠 曲 线 的 二 阶 导 数 符 号相 反 ， 所 以 挠 曲 线 （ 小 挠 度 ） 的 近 似 微 分 方 程 为 ： zEIxMdxyd )(22 M为 正 ， 挠 曲 线 向 下 凸 ， 二阶 导 数 为 负 ； M为 负 ， 挠 曲线 向 上 凸 ， 二 阶 导 数 为 正 y xMM 00 yM ，00 yM ，y xMM 由 上 式 进 行 积 分 ， 就 可 以 求 出 梁 横 截 面 的 转 角 和 挠 度 。挠 曲 线 方 程 。再 积 分 一 次 转 角 方 程 ；积 分 一 次 DCxdxdxxMEIw EICdxxMEIw )( )( q )(

5、xMEIy 式 中 C、 为 积 分 常 数 ， 由 梁 的 边 界 、 变 形 连 续 条 件 确 定 。 6-3 用 积 分 法 求 梁 的 变 形1. 积 分 法 zEIxMdxyd )(22 2.支 承 条 件 与 连 续 条 件 : 1) 支 承 条 件 ： 2) 连 续 条 件 ： 挠 曲 线 是 一 条 光 滑 而 连 续 的 曲 线 CxCxCxCx yy | qq，y 0y y 0y y 00;0 qyyFA BCX=0 DCxFxFlxEIy CFxFlxEIy xlFxMEIy 62 2 )()( 32 2 次 ：列 挠 曲 线 方 程 并 积 分 两 00| 00| 0

6、0 Dy Cy xx ， 得 ： ；， 得 ： 数 ：由 边 界 条 件 确 定 积 分 常 )3(6)2(2 2 xlEIFxyxlEIFxy q 为 ：转 角 和 挠 曲 线 方 程 分 别EIFlyy EIFlBB 32 3m ax 2m ax qq解 ： 建 立 坐 标 系 如 图 所 示x处 弯 矩 方 程 为 ： 例 1 图 示 B端 作 用 集 中 力 的 悬 臂 梁 ， 求 其 挠 曲 线 方 程 。 qmax ymaxy xFBA lx )()( xlFxM 目 录xFAy=FM=Fl M(x) 例 求 图 示 梁 受 集 中 力 F作 用 时 的 挠 曲 线 方 程 。 F

7、a bClA BxFA FB 解 ： 1、 求 支 反 力 lFaFlFbF BA ；xlFbEIy 122 ClFbxEIy )0( axAC 段 )( lxaCB 段 xlFbaxFEIy )( 222 2)(2 ClFbxaxFEIy 1136 DxClFbxEIy 2233 6)(6 DxClFbxaxFEIy )(60;000 ; 222121 2121 bllFbCCylxDDyx DDyyCCyyax ， 得处 ， 得处 ， ， 则， 则时 ， )3(6 222 xblEIlFby )(31)(2 2222 blxaxblEIlFy )(6 222 xblEIlFbxy )()(

8、6 2233 xblxaxblEIlFy )0( axAC 段 )( lxaCB 段 64 用 叠 加 法 求 梁 的 变 形 从 上 节 可 知 ， 梁 的 转 角 和 挠 度 都 与 梁 上 的 荷 载 成 线 性 关系 。 于 是 ， 可 以 用 叠 加 法 来 计 算 梁 的 变 形 。 几 个 荷 载 共 同 作用 下 梁 任 意 横 截 面 上 的 变 形 ， 等 于 每 个 荷 载 单 独 作 用 时 该 截面 的 变 形 的 叠 加 。 即 梁 在 几 个 荷 载 同 时 作 用 时 ， 其 任 一 截 面 处 的 转 角 或 挠度 等 于 各 个 荷 载 分 别 单 独 作

9、用 时 梁 在 该 截 面 处 的 转 角 或 挠 度的 代 数 和 。 梁 在 简 单 荷 载 作 用 下 的 转 角 和 挠 度 可 从 表 中 查 得 。 例 3 图 示 悬 臂 梁 ， 其 弯 曲 刚 度 EI为 常 数 ， 求 B点 转 角 和 挠 度 。FBA 2/l 2/lq C qBF yBFFBA yCq y BqBA q C 1.在 F作 用 下 ： EI FlyEIFl BFBF 3,2 32 q查 表 ：2.在 q作 用 下 ： EIqlEIlqy EIqlEIlqCqCq 1288 )2/( 486 )2/( 44 33 q查 表 ： EIqllyy EIql CqC

10、qBq CqBq 3847248 43 qqq BqBFB BqBFB yyy qqq3.在 F和 q共 同 作 用 下 ： 65 梁 的 刚 度 校 核 在 工 程 中 ， 对 梁 的 设 计 除 满 足 强 度 条 件 外 ， 梁 的 位 移 也需 加 以 控 制 ， 从 而 保 证 其 正 常 工 作 。 在 土 建 工 程 中 ， 通 常 对 梁 的 挠 度 加 以 控 制 ， 例 如 ： 挠度 与 梁 的 跨 长 的 比 值 100012501ly梁 的 刚 度 条 件 为 ： qq m axm ax yy通 常 情 况 下 ， 强 度 条 件 满 足 ， 刚 度 条 件 一 般 也

11、 满 足 。 但 是 ， 当 位 移 限 制 很 严 ， 或 按 强 度 条 件 所 选 截 面 过 于 单 薄时 ， 刚 度 条 件 也 起 控 制 作 用 。 qq m axm ax lyly许 用 挠 度许 用 转 角 例 4一 简 支 梁 荷 载 如 图 示 已 知 材 料 的 许 用 应 力 160 MPa， 许 用挠 度 y=L /500， 弹 性 模 量 E=200GPa， 试 选 择 工 字 钢 的 型 号 。 解 ： 1、 作 出 梁 的 弯 矩 图2、 根 据 弯 曲 正 应 力 强 度 条 件 ， 要 求3、 梁 的 刚 度 条 件 为 ：解 得 由 型 钢 表 中 查

12、得 ， 22a工 字 钢 的 弯 曲 截 面 系 数 Wz 3.09 l0-4m3 ， 惯 性矩 Iz=3.40 10-5m4， 可 见 选 择 .22a工 字 钢 作 梁 将 同 时 满 足 强 度 和 刚 度 要 求 。mN10354 410354：得 33m ax FlM 3463m ax m1019.210160 1035 MWz 50048 3 lEIFl z 459 232 m1092.21020048 4103550048500 EFlIzF=35kN2mA B2ml=4m4/FlM图 提 高 梁 刚 度 的 措 施 ： 2.调 整 跨 长 和 改 变 结 构 ； 增 加 支 承

13、 使 跨 长 缩 短 ： 如 将 简 支梁 改 为 外 伸 梁 等 。 1.增 大 梁 的 弯 曲 刚 度 EI； 主 要 增 大 截 面 惯 性 矩 I值 ， 在 截面 面 积 不 变 的 情 况 下 ， 采 用 适 当 形 状 ， 尽 量 使 面 积 分 布 在 距 中性 轴 较 远 的 地 方 。 例 如 ： 工 字 形 、 箱 形 等 。EIly n A Bql qlA BqA B 3. 改 善 荷 载 的 作 用 方 式 ； 如 将 集 中 载 荷 变 为 分 布 载 荷 。 如 图 所 示 ， 将 集 中 力 P分 散 作 用 在 全 梁 上 ， 最 大 弯 矩Mmax就 由 Pl/4降 低 为 Pl/8 ， 最 大 挠 度 y就 由 Pl3/48EI 减小 为 5Pl3/384EI。