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1、7.1 点 到 直 线 的 距 离 公 式 若 M(x0y0)是 平 面 上 一 定 点 ,它 到 直 线 l:Ax+By+C=0的 距 离 d为0 02 2| |Ax By Cd A B 试 用 向 量 方 法 给 出 简 单 的 证 明 证 明 如 图 , M(x0,y0) 是 直 线 外 一 定 点 ,P(x,y)是 直 线 上 任 意一 点 ,由 直 线 l:Ax+By+C=0,可 以 取 它 的 方 向 向 量 v=(B,-A).P(x,y)M(x0y0)nl 0 2 2 2 2( , )A BA B A B n|n|n O x y设 n=(A,B),因 为nv=(A,B) (B,-
2、Aa) =AB-BA=0所 以 n v,故 称 n为 直 线 l的 法 向 量 .与 n同 向 的 单 位 向 量 0 0 2 2 2 20 02 20 0 2 2 | | ( , ) ( , ) |( ) ( )| |( )| |d PM A Bx x y y A B A BA x x B y yA BAx By Ax ByA B n所 以 ,点 M(x0y0) 到 直 线 l:Ax+By+C=0的 距 离 等 于 向 量 在 n0方 向 上 射 影 的 长 度 . PM 又 因 为 P(x,y)为 l上 任 意 一 点 ,所 以 c=-(Ax+By)0 02 2| |Ax By cd A
3、B 故 例 1 求 点 P(1,2)到 直 线 l： 2x+y+1=0的 距 离 。解 由 点 到 直 线 的 距 离 公 式 ， 得2 22 1 1 2 1 5,2 1d 所 以 点 P(1,2)到 直 线 l的 距 离 为 5. 分 析 ：以 A为 原 点 建 立 直 角 坐 标 系 ，应 该 有 四 个 解 . 例 2 若 向 量 =(2,3), =(1,k), k R， ABC为直 角 三 角 形 ， 求 k的 值 .AB AC y x A C B y x A C B(2,3), (1, ), ( 1, 3),AB AC k BC kAB BC 解 : 向 量 11时 ,-2+3(k-
4、3)=0,k= 3 ,BC AC 3 13时 ,-1+k(k-3)=0,k= 32 .AB AC 时 ,2+3k=0,k=-3 分 析 ： 在 所 求 直 线 上 任 取 一 点 P,则 a ,利 用 向 量 平 行 的 条 件写 出 方 程 .解 :设 点 P(x,y)是 所 求 直 线 上 的 任 意 一 点 ,则 =(x+1,y-2). 例 3 求 过 点 A(-1,2),且 平 行 于 向 量 a=(3,1)的 直 线 方 程 .AP APAP a( 1) 3( 2) 0 x y 3 7 0 x y 即 3 7 0 x y 所 求 直 线 的 方 程 为 解 :设 点 Q(x,y)是 所 求 直 线 上 的 任 意 一 点 ,则 =(x-1,y+1). 练 习 求 过 点 P(1,-1),且 与 向 量 n=(4,-3)垂 直 的 直 线 方 程 .PQPQ n 1) 3( 1) 0 x y 即 4( 3 7 0 x y 4所 求 直 线 的 方 程 为0PQ n 小 结 ：（ 1） 点 M(x0,y0) 到 直 线 l:ax+by+c=0的 距 离 等 于 向量 在 l的 单 位 向 量 n0上 射 影 的 长 度 ,；（ 2） 利 用 直 线 的 法 向 量 ,用 两 向 量 垂 直 的 充 要 条 件可 求 直 线 方 程 .PM
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