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1、第 二 节 极 限 的 基 本 性 质 第 二 章 一 、 收 敛 数 列 的 性 质1. 唯 一 性2. 有 界 性 3. 保 号 性 、 保 序 性4. 收 敛 数 列 与 其 子 列 的 关 系 二 、 函 数 极 限 的 性 质1. 唯 一 性2. 局 部 有 界 性 3. 局 部 保 号 性4. 函 数 极 限 与 数 列 极 限 的 关 系 第 二 章 一 、 收 敛 数 列 的 性 质 1. 唯 一 性 定 理 1.1 ( 收 敛 数 列 极 限 的 唯 一 性 )即 若 bx axnn nn limlim且则 必 有 .ba 若 极 限则 极 限 唯 一 . 存 在 ，nn x
2、lim ( 用 反 证 法 )及 且 .ba 取 ,2abaxn 因 N1 N+, 使 当 n N1 时 , 假 设axnn lim bxnn limaxnn lim ,2ab即 当 n N1 时 , 22 abaxab n 23 ba ,2baxn 从 而 使 当 n N 1 时 , ,2baxn 证 法 1 同 理 , 因故 N2 N+, 使 当 n N2 时 , 有从 而 使 当 n N2 时 , 有从 而 使 当 n N1 时 , ,2baxn bxnn lim ,2abbxn 22 abbxab n nxba 2 23 ab2baxn 则 当 n N 时 , 取 1 2max , ,
3、N N N 22 baxbax nn ， 又 有既 有 矛 盾 ！ 故 假 设 不 真 ! 例 1 证 明 数 列 是 发 散 的 . 证 用 反 证 法 .假 设 数 列 nx 收 敛 , 则 有 唯 一 极 限 a 存 在 .对 于 ,21 则 存 在 N , 21a 21aa使 当 n N 时 , 有因 此 该 数 列 发 散 . 21 axn 2121 axa n )21,21( aaxn于 是 推 得 ,1122 NN xx 122 NN xx 211 )( 矛 盾 ！区 间 长 度 为 1这 与 ),2,1()1( 1 nx nn 2. 有 界 性定 义 对 数 列 nx , 若
4、存 在 正 数 M, 使 得 一 切 正 整数 n, 恒 有 Mxn 成 立 , 则 称 数 列 nx 有 界 ； 否 则 , 称 为 nx 无 界 . 例 如 : 11 nnx ）（数 列 nnx 2数 列 数 轴 上 对 应 于 有 界 数 列 的 点 nx 都 落 在 闭 区 间, MM 上 . 有 界无 界 即 若 ,lim axnn ,0 M常 数则 Mxn 使 (n =1,2,).定 理 2.2 (收 敛 数 列 的 有 界 性 )收 敛 的 数 列 必 定 有 界 . 证 设 ,lim axnn 取 ,1 ,N则 当 Nn 时 , 从 而 有 nx aaxn a1取 ,max 2
5、1 NxxxM a1则 有 .),2,1( nMxn即 收 敛 数 列 必 有 界 . aaxn )( ,1axn 有 注 有 界 性 是 数 列 收 敛 的 必 要 条 件 ， 但 不 是 充 分 条 件 . 收 敛 有 界 nx nx关 系 ：例 如 , )1( 1 n 虽 有 界 ， 但 不 收 敛 .数 列推 论 无 界 数 列 必 发 散 . 3. 保 号 性 、 保 序 性定 理 2.3 (收 敛 数 列 的 保 号 性 )(1) 若 ,0,lim aaxnn 且则 ， NN 使 当 n N 时 ，.0nx ()()(2) 若 ),(0 0Nnxn ,lim ax nn 则 a 0
6、.( 0 , 取 ,a ,时当 Nnaxn nx 0aa,N N则证 (1) a(2) 用 反 证 法 证 明 .注 axNnx nnn lim)(0 0 ， 且由 .0a如 ： ,01 nxn .01limlim nx nnn但 推 论 2.3 (保 序 性 ) ，若 N)1( N 使 当 n N 时 ， 恒 有 nn yx .babylim,axlim nnnn ， 则且 (2) 若 ,lim axnn ,ba 且Nn当 时 , 有 .nn yx ,lim bynn ,N N则 证 ( 用 反 证 法 ) .ba 取 ,2ba因 ,lim axnn 故 存 在 N1 , ,2baaxn 2
7、2 babaaxn 使 当 n N1 时 , 假 设 从 而,22 baaxba n 即当 n N 1 时 , 2baxn 从 而同 理 , 因 ,lim bynn 故 存 在 N2 , 使 当 n N2 时 , 有 ,2babyn 22 bababyn 则 当 n N 时 , ,max 21 NNN 取 便 有,2 nn ybax 与 已 知 矛 盾 , 于 是 定 理 得 证 .当 n N1 时 , 2baxn 4. 收 敛 数 列 与 其 子 数 列 的 关 系(1) 子 数 列 的 概 念 .,., 21 knnn xxx称 为 数 列 xn 的 一 个 子 数 列 (或 子 列 )。
8、：则 knx .1 21 knnn其 中 nn xx 按 原 来 在中 任 意 选 取 无 穷 多 项 ，在 数 列中 的 次 序 排 列 例 如 , 从 数 列 1 n 中 抽 出 所 有 的 偶 数 项 是 其 子 数 列 . 它 的 第 k 项 是 )3,2,1( 212 ， kkxx knk k21组 成 的 数 列 ： (2) 收 敛 数 列 与 其 子 数 列 的 关 系定 理 2.4 的 任 意 子 数 列则若 ,lim nnn xax knx 也 收 敛 ， 且 .lim ax knk ,ax kn证 设 knx nx是 的 任 一 子 数 列 .若 ,lim axnn 则 ,
9、0 ,N 当 Nn 时 , 有axn取 正 整 数 K , 使 ,NnK 于 是 当 Kk 时 , 有kn Kn N 从 而 有.lim ax knk 注 axnn lim .limlim 122 axx kkkk 定 理 1 某 knx 收 敛例 如 ， 1lim1 21 kknn xx ， 虽 然）（数 列但 发 散 . nx 收 敛 nx2 若 数 列 有 两 个 子 数 列 收 敛 于 不 同 的 极 限，则 原 数 列 一 定 发 散 .例 如 ， ),2,1()1( 1 nx nn 发 散 !1lim 2 kk x 1lim 12 kk x 二 、 函 数 极 限 的 性 质1.
10、唯 一 性定 理 2.1 ( 函 数 极 限 的 唯 一 性 ) .)(lim()(lim 0 存 在 ， 则 极 限 唯 一如 ：若 xfxf xx2. 局 部 有 界 性 如 ： R,)(lim)1( 0 AAxfxx若 .),()( 0 上 有 界在 xUxf 存 在 ，)(lim xfx (2) 若 ),( 0 xU则则 X 0,函 数 f (x) 有 界 .使 得 当 Xx 时 ， 3. 局 部 保 号 性定 理 2.3 (函 数 极 限 的 局 部 保 号 性 )(1) 如 果 ,)(lim0 Axfxx 且 A 0 ,.0)( xf )0)( xf 则 存 在( A 0 ,)(l
11、im Bxgx Xx 当 (或 0),时 , 恒 有f (x) g(x),)(lim Axfx 且(或 ,)(lim0 Axfxx ,)(lim0 Bxgxx 推 论 2.3(函 数 极 限 的 局 部 保 序 性 ) .BA则时 , 恒 有) 0( 0 xx或 BABxgAxf xxxx 且设 ,)(lim,)(lim)2( 00 ).()(),(,0 0 xgxfxUx 有则 问 题 : 若 f (x) 0 时 , 有 f (x) g (x),.0)(lim)(lim xgxf xx但 是 )(lim)(lim 00 xgxf xxxx 不 能 ！ 内 容 小 结1. 收 敛 数 列 的
12、性 质 :唯 一 性 , 有 界 性 , 保 号 性 , 保 序 性 ;任 一 子 数 列 收 敛 于 同 一 极 限2. 函 数 极 限 的 性 质 :唯 一 性 , 局 部 有 界 性 , 局 部 保 号 性 , 局 部 保 序 性 ; 思 考 与 练 习1. 如 何 判 断 极 限 不 存 在 ?方 法 1. 找 一 个 趋 于 的 子 数 列 ;方 法 2. 找 两 个 收 敛 于 不 同 极 限 的 子 数 列 .2. 已 知 ),2,1(21,1 11 nxxx nn , 求 nn xlim时 , 下 述 作 法 是 否 正 确 ? 说 明 理 由 .设 ,lim axnn 由 递 推 式 两 边 取 极 限 得aa 21 1a不 对 ! 此 处 nn xlim
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