异面直线及其夹角

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1、异 面 直 线 所 成 的 角 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1； A B CDD1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1； A B CDD1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1； A B CDD1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下

2、 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1； D 1A B CD D1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1； D 1A B CD D1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1； D 1A B CD D1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中

3、 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1； D 1A B CD D1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1； D 1A B CD D1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1；（ 3） AB1与 CD； A B CDD1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体

4、 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1；（ 3） AB1与 CD；（ 4） AB1与 BC1。 A B CDD1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1；（ 3） AB1与 CD；（ 4） AB1与 BC1。 A B CDD1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB

5、与 CC1；（ 2） AB1与 CD1；（ 3） AB1与 CD；（ 4） AB1与 BC1。 A B CDD1 C1B1A1 例 1 在 正 方 体 ABCD A1B1C1D1中 ,求以 下 各 对 异 面 直 线 所 成 的 角 ：（ 1） AB与 CC1；（ 2） AB1与 CD1；（ 3） AB1与 CD；（ 4） AB1与 BC1。 A B CDD1 C1B1A1 例 2 已 知 空 间 四 边 形 ABCD中 ， F、G分 别 是 BC,AD的 中 点 ， AC=BD=2，FG= ， 求 异 面 直 线 AC,BD所 成 的角 。 3 F GAB C D 例 2 已 知 空 间 四

6、 边 形 ABCD中 ， F、G分 别 是 BC,AD的 中 点 ， AC=BD=2，FG= ， 求 异 面 直 线 AC,BD所 成 的角 。 3 M F GAB C D 例 2 已 知 空 间 四 边 形 ABCD中 ， F、G分 别 是 BC,AD的 中 点 ， AC=BD=2，FG= ， 求 异 面 直 线 AC,BD所 成 的角 。 3 MF GAB C D 例 3 如 图 ， 在 正 方 体 AC1中 ， M、 N分 别 是 A1B1、 BB1的 中点 ， 求 ：（ 1） 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 大 小 ；NMA 1 B1 C1D1D CBA 例 3 如 图 ，

7、 在 正 方 体 AC1中 ， M、 N分 别 是 A1B1、 BB1的 中点 ， 求 ：（ 1） 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 大 小 ；NMA 1 B1 C1D1D CBA Q 例 3 如 图 ， 在 正 方 体 AC1中 ， M、 N分 别 是 A1B1、 BB1的 中点 ， 求 ：（ 1） 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 大 小 ；NMA 1 B1 C1D1D CBA P 例 3 如 图 ， 在 正 方 体 AC1中 ， M、 N分 别 是 A1B1、 BB1的 中点 ， 求 ：（ 1） 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 大 小 ；（ 2） 异 面

8、直 线 AM与 BD所 成 角 的 大 小 ；MA 1 B1 C1D1D CBA 例 3 如 图 ， 在 正 方 体 AC1中 ， M、 N分 别 是 A1B1、 BB1的 中点 ， 求 ：（ 1） 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 大 小 ；（ 2） 异 面 直 线 AM与 BD所 成 角 的 大 小 ；MA 1 B1 C1D1D CBA R 例 3 如 图 ， 在 正 方 体 AC1中 ， M、 N分 别 是 A1B1、 BB1的 中点 ， 求 ：（ 1） 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 大 小 ；（ 2） 异 面 直 线 AM与 BD所 成 角 的 大 小 ；（ 3

9、） 异 面 直 线 AM与 BD1所 成 角 的 大 小 。MA 1 B1 C1D1D CBA 例 3 如 图 ， 在 正 方 体 AC1中 ， M、 N分 别 是 A1B1、 BB1的 中点 ， 求 ：（ 1） 异 面 直 线 AM与 CN所 成 角 的 大 小 ；（ 2） 异 面 直 线 AM与 BD所 成 角 的 大 小 ；（ 3） 异 面 直 线 AM与 BD1所 成 角 的 大 小 。MA 1 B1 C1D1D CBA S 长 方 体 ABCD-A1B1C1D1， AB=AA1=2 cm， AD=1cm， 求 异 面 直 线 A1C1与 BD1所 成 角 的 余 弦 值 。取 BB1

10、的 中 点 M， 连 O1M， 则 O1MD1B，如 图 ， 连 B1D1与 A1C1 交 于 O1，于 是 A1O1M就 是 异 面 直 线 A1C1与 BD1所 成 的 角 （ 或 其 补 角 ）O 1 MD B 1A 1 D 1 C 1A CB解 ： 为 什 么 ？ 解 法 二 ：方 法 归 纳 ： 补 形 法 把 空 间 图 形 补 成 熟 悉 的 或 完 整 的 几 何 体 ， 如 正 方 体 、 长 方 体 等 ， 其 目 的 在 于 易 于 发现 两 条 异 面 直 线 的 关 系 。 3,52,5 1111 = ECEACA在 A1C1E中 ，由 余 弦 定 理 得 55cos

11、 11 = ECAA1C1与 BD1所 成 角 的 余 弦 值 为如 图 ， 补 一 个 与 原 长 方 体 全 等 的 并 与 原 长 方 体 有 公 共 面连 结 A1E， C1E， 则 A1C1E为 A1C1与 BD1所 成 的 角 (或 补 角 )， F1E FE1BD B1A1 D1 C1A CBC1的 方 体 B1F， 55 例 5、 解 答 题已 知 正 方 体 的 棱 长 为 a , M 为 AB 的 中 点 , N 为 BB1的 中 点 ， 求 A1M 与 C1 N 所 成 角 的 余 弦 值 。解 ： A1 D1 C1B1 A B CDM NE G如 图 ， 取 AB的 中

12、 点 E, 连 BE, 有 BE A1M 取 CC1的 中 点 G,连 BG. 有 BG C1N 则 EBG即 为 所 求 角 。BG=BE= a, F C1 = a由 余 弦 定 理 ， cos EBG=2/5 F取 EB1的 中 点 F， 连 NF,有BE NF则 FNC为 所 求 角 。想 一 想 ： 还 有 其 它 定 角 的 方 法 吗 ？25 26在 EBG中 （ 1） 平 移 法 （ 常 用 方 法 ）小 结 ：1、 求 异 面 直 线 所 成 的 角 是 把 空 间 角 转 化 为 平 面 角 ，体 现 了 化 归 的 数 学 思 想 。2、 用 余 弦 定 理 求 异 面 直

13、 线 所 成 角 时 ， 要 注 意 角 的 范 围 ： （ 1） 当 cos 0 时 ， 所 成 角 为 （ 2） 当 cos 0 时 ， 所 成 角 为 （ 3） 当 cos = 0 时 ， 所 成 角 为 3、 当 异 面 直 线 垂 直 时 ， 还 可 应 用 线 面 垂 直 的 有 关 知 识解 决 。 90o（ 2） 补 形 法化 归 的 一 般 步 骤 是 ： 定 角 求 角 说 明 ： 异 面 直 线 所 成 角 的 范 围 是 （ 0， ，在 把 异 面 直 线 所 成 的 角 平 移 转 化 为 平 面 三 角形 中 的 角 ， 常 用 余 弦 定 理 求 其 大 小 ， 当 余 弦值 为 负 值 时 ， 其 对 应 角 为 钝 角 ， 这 不 符 合 两条 异 面 直 线 所 成 角 的 定 义 ， 故 其 补 角 为 所 求的 角 ， 这 一 点 要 注 意 。 2 注 意 补 形 平 移 直 接 平 移 ， 中 位 线 平 移 ， 、 平 移 ： 、 若 用 余 弦 定 理 求 出 cos ， 则 异 面 直 线 所 成 的 角 为 如 ： 若 求 出 51cos =则 异 面 直 线 所 成 的 角 的 余 弦 值 为 51cos = 异 面 直 线 所 成 的 角 51arccos