RLC串联和并联谐振电路谐振时的特性

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1、 12 3 谐 振 电 路 含 有 电 感 、 电 容 和 电 阻 元 件 的 单 口 网 络 ， 在某 些 工 作 频 率 上 ， 出 现 端 口 电 压 和 电 流 波 形 相 位相 同 的 情 况 时 ， 称 电 路 发 生 谐 振 。 能 发 生 谐 振 的电 路 ， 称 为 谐 振 电 路 。 谐 振 电 路 在 电 子 和 通 信 工程 中 得 到 广 泛 应 用 。 本 节 讨 论 最 基 本 的 RLC串 联和 并 联 谐 振 电 路 谐 振 时 的 特 性 。 一 、 RLC串 联 谐 振 电 路 图 12 15(a)表 示 RLC串 联 谐 振 电 路 ， 图 12 15(

2、b)是 它的 相 量 模 型 ， 由 此 求 出 驱 动 点 阻 抗 为 图 12 15 )2412()(|)j(|)1(j)j( ZCLRIUZ 其 中 )2612()1arctan()( )2512()1(|)j(| 22 R CL CLRZ 当 ， 即 时 ， ()=0, 01 CL LC1 )2712(10 LC 式 中 称 为 电 路 的 固 有 谐 振 角 频 率 。LC 1 0 |Z(j)|=R,电 压 u(t)与 电 流 i(t)相 位 相 同 ， 电 路 发 生 谐 振 。也 就 是 说 ， RLC串 联 电 路 的 谐 振 条 件 为 1. 谐 振 条 件 )2812(2

3、10 LCff 当 电 路 激 励 信 号 的 频 率 与 谐 振 频 率 相 同 时 ， 电 路 发 生谐 振 。 用 频 率 表 示 的 谐 振 条 件 为 RLC串 联 电 路 在 谐 振 时 的 感 抗 和 容 抗 在 量 值 上 相 等 ，其 值 称 为 谐 振 电 路 的 特 性 阻 抗 ， 用 表 示 ， 即 )2912(1 00 CLCL 2. 谐 振 时 的 电 压 和 电 流 RLC串 联 电 路 发 生 谐 振 时 ， 阻 抗 的 电 抗 分 量 0100 CLX )3012()j( 0 RZ 导 致 即 阻 抗 呈 现 纯 电 阻 ， 达 到 最 小 值 。 若 在 端

4、 口 上 外 加 电压 源 ， 则 电 路 谐 振 时 的 电 流 为 )3112( SS RUZUI 电 流 达 到 最 大 值 ， 且 与 电 压 源 电 压 同 相 。 此 时 电 阻 、电 感 和 电 容 上 的 电 压 分 别 为 )328(SR UIRU )338(jjj SS00L UQURLILU )348(j1jj 1 SS00C UQURCICU 其 中 )358(100 RRCRLQ Q 称 为 串 联 谐 振 电 路 的 品 质 因 数 ， 其 数 值 等 于 谐 振 时感 抗 或 容 抗 与 电 阻 之 比 。 从 以 上 各 式 和 相 量 图 可 见 ， 谐 振

5、时 电 阻 电 压 与 电 压 源电 压 相 等 ， 。 电 感 电 压 与 电 容 电 压 之 和 为 零 ，即 ， 且 电 感 电 压 或 电 容 电 压 的 幅 度 为 电 压 源电 压 幅 度 的 Q倍 ， 即 SRUU 0CL UU )3612(RSCL QUQUUU 若 Q1,则 UL=UCUS=UR， 这 种 串 联 电 路 的 谐 振 称 为电 压 谐 振 。 图 12 16 3.谐 振 时 的 功 率 和 能 量 设 电 压 源 电 压 为 uS(t)=Usmcos(0t)， 则 ： )90cos()()( )90cos()( )cos()cos()( 0SmLC 0SmL

6、0Sm0m tQUtutu tQUtu tRUtIti 由 于 u(t)=uL(t)+uC(t)=0 (相 当 于 虚 短 路 )， 任 何 时 刻 进入 电 感 和 电 容 的 总 瞬 时 功 率 为 零 ， 即 pL(t)+pC(t)=0。 电 感 和电 容 与 电 压 源 和 电 阻 之 间 没 有 能 量 交 换 。 电 压 源 发 出 的 功率 全 部 为 电 阻 吸 收 ， 即 pS(t)=pR(t)。 电 感 和 电 容 吸 收 的 功 率 分 别 为 ： )2sin()()( )2sin()90cos()cos()( 0SLC 0S00mSmL tIQUtptp tIQUttI

7、QUtp 电 感 和 电 容 之 间 互 相 交 换 能 量 ， 其 过 程 如 下 :当 电 流 减小 时 ， 电 感 中 磁 场 能 量 WL=0.5Li2减 小 ， 所 放 出 的 能 量 全 部被 电 容 吸 收 ， 并 转 换 为 电 场 能 量 ， 如 图 12-17(a)所 示 。 当 电流 增 加 时 ， 电 容 电 压 减 小 ， 电 容 中 电 场 能 量 WC=0.5Cu2减小 ， 所 放 出 的 能 量 全 部 被 电 感 吸 收 ， 并 转 换 为 磁 场 能 量 ，如 图 12 17(b)所 示 。图 1217串 联 电 路 谐 振 时 的 能 量 交 换 能 量

8、在 电 感 和 电 容 间 的 这 种 往 复 交 换 ， 形 成 电 压 和 电流 的 正 弦 振 荡 ， 这 种 情 况 与 LC串 联 电 路 由 初 始 储 能 引 起 的等 幅 振 荡 相 同 (见 第 九 章 二 阶 电 路 分 析 )。 其 振 荡 角 频 率 ， 完 全 由 电 路 参 数 L和 C来 确 定 。 LC 10 谐 振 时 电 感 和 电 容 中 总 能 量 保 持 常 量 ， 并 等 于 电 感 中的 最 大 磁 场 能 量 ， 或 等 于 电 容 中 的 最 大 电 场 能 量 ， 即 )3712( 2S2L2CCL RULLICUWWW 可 以 从 能 量

9、的 角 度 来 说 明 电 路 参 数 R、 L、 C变 化 对 电感 和 电 容 电 压 UL= UC的 影 响 。 若 电 阻 R减 小 一 半 ， 或 电 感 L增 加 到 4倍 ( 增 加 一 倍 )， 则 总 能 量 增加 到 4倍 ， 这 将 造 成 电 压 UL=UC增 加 一 倍 。 若 电 容 C减 少 到 l/4( Q增 加 一 倍 )， 总 能 量 不 变 ， 而 电 压 UL= UC增加 一 倍 。 总 之 ， R、 L和 C的 改 变 造 成 变 化 的 倍数 与 U L= UC变 化 的 倍 数 相 同 。 CLRQ 1 22S / RLUW 2CCUW CLRQ

10、1 例 12-7 电 路 如 图 12-18所 示 。 已 知 求 : (l) 频 率 为 何 值 时 ， 电 路 发 生 谐 振 。 (2)电 路 谐 振 时 , UL和 UC为 何 值 。 V cos210)(S ttu 图 12 18 解 ： (l)电 压 源 的 角 频 率 应 为 rad/s10rad/s1010 11 6840 LC (2)电 路 的 品 质 因 数 为 1000 RLQ 则 V1000V10100 SCL QUUU 二 、 RLC并 联 谐 振 电 路 图 12-19(a)所 示 RLC并 联 电 路 ， 其 相 量 模 型 如 图 12-19(b)所 示 。 图

11、 12 19 )3812()(|)j(|)1(j)j( YLCGUIY 其 中 )4012()1arctan()( )3912()1(|)j(| 22 G LC LCGY 驱 动 点 导 纳 为 1.谐 振 条 件 )4112(10 LC 式 中 称 为 电 路 的 谐 振 角 频 率 。 与 RLC串 联电 路 相 同 。 LC 10 01 LC 当 时 , Y(j)=G=1/R， 电 压 u(t)和 电 流 i(t)同 相 ， 电 路 发 生 谐 振 。 因 此 ， RLC并 联 电 路 谐 振 的 条 件 是 2.谐 振 时 的 电 压 和 电 流 )4212(SSS IRGIYIU R

12、LC并 联 电 路 谐 振 时 ， 导 纳 Y(j0)=G=1/R， 具 有 最 小值 。 若 端 口 外 加 电 流 源 ， 电 路 谐 振 时 的 电 压 为SI 电 路 谐 振 时 电 压 达 到 最 大 值 ， 此 时 电 阻 、 电 感 和 电 容中 电 流 为 （ 见 下 页 ） )4512(jjj )4412(jjj 1 )4312( SS00C SS00L SR IQIRCUCI IQILRULI IUGI )4612(00 LCRCRLRQ 其 中 称 为 RLC并 联 谐 振 电 路 的 品 质 因 数 ， 其 量 值 等 于 谐 振时 感 纳 或 容 纳 与 电 导 之

13、比 。 电 路 谐 振 时 的 相 量 图 如 图 12-20(b)所 示 。 由 以 上 各 式 和 相 量 图 可 见 ， 谐 振 时 电 阻 电 流 与 电 流 源电 流 相 等 。 电 感 电 流 与 电 容 电 流 之 和 为 零 ，即 。 电 感 电 流 或 电 容 电 流 的 幅 度 为 电 流 源 电流 或 电 阻 电 流 的 Q倍 ， 即 SIIR 0CL II )478(RSCL QIQIII 并 联 谐 振 又 称 为 电 流 谐 振 。 图 12 20 3.谐 振 时 的 功 率 和 能 量 设 电 流 源 电 流 iS(t)=Ismcos(0t)， 则 ： )90co

14、s()( )90cos()( )cos()cos()( 0SmC 0SmL 0Sm0m tQIti tQIti tRItUtu 电 感 和 电 容 吸 收 的 瞬 时 功 率 分 别 为 ： )2sin()()( )2sin()90cos(cos)( 0SLC 0S00SmmL tQUItptp tQUIttIQUtp 由 于 i(t)=iL(t)+iC(t)=0 (相 当 于 虚 开 路 )， 任 何 时 刻 进 入电 感 和 电 容 的 总 瞬 时 功 率 为 零 ， 即 pL(t)+pC(t)=0。 电 感 和 电容 与 电 流 源 和 电 阻 之 间 没 有 能 量 交 换 。 电 流

15、 源 发 出 的 功 率全 部 被 电 阻 吸 收 ， 即 pS(t)=pR(t) 。 能 量 在 电 感 和 电 容 间 往 复 交 换 (图 12 21)， 形 成 了 电压 和 电 流 的 正 弦 振 荡 。 其 情 况 和 LC并 联 电 路 由 初 始 储 能 引起 的 等 幅 振 荡 相 同 ， 因 此 振 荡 角 频 率 也 是 ， 与 串联 谐 振 电 路 相 同 。 LC 1 0 图 12 21 并 联 电 路 谐 振 时 的 能 量 交 换 谐 振 时 电 感 和 电 容 的 总 能 量 保 持 常 量 ， 即 )4812(2S22C2LCL ICRCULIWWW 图 12

16、 21 并 联 电 路 谐 振 时 的 能 量 交 换 由 于 并 联 电 路 的 电 压 相 同 ， 即 UL=UC=RIS。 当 电 阻 R增加 到 2倍 ， 或 电 容 C 增 加 到 4倍 ( 增 加 一 倍 )时 ， 总储 能 增 加 到 4倍 ， 将 导 致 电 流 IL= IC增 加 一 倍 。 若 电 感 减 小到 原 值 的 l/4(Q增 加 一 倍 )， 总 能 量 不 变 ， 而 谐 振 时 的 电流 IL= IC增 加 一 倍 。 总 之 ， 由 R、 L和 C的 改 变 引 起 Q值 变化 的 倍 数 与 IL= IC变 化 的 倍 数 相 同 。 LCRQ 2LLI

17、 谐 振 时 电 感 和 电 容 的 总 能 量 保 持 常 量 ， 即 )4812(2S22C2LCL ICRCULIWWW 图 12 21 并 联 电 路 谐 振 时 的 能 量 交 换 例 12-8 图 12-22(a)是 电 感 线 圈 和 电 容 器 并 联 的 电 路 模 型 。 已 知 R=1, L=0.1mH , C=0.01F。 试 求 电 路 的 谐 振 角 频 率 和 谐 振 时 的 阻 抗 。图 12 22解 ： 根 据 其 相 量 模 型 图 12-22(b)写 出 驱 动 点 导 纳 2222 )(j)( j1j)j( LR LCLR R LRCY 2222 )(j

18、)()j( LR LCLR RY 令 上 式 虚 部 为 零 0)( 22 LR LC 求 得 220 11111 QLCLCRLC CLRQ 1 是 RLC串 联 电 路 的 品 质 因 数 。 其 中 图 12 22 当 Q 1时 , LC 10 代 入 数 值 得 到 rad/s10rad/s101011010 1 648840 谐 振 时 的 阻 抗 )1()()j( 1)j( 22000 QRRLRYZ 当 0LR 时 k10)1010()()j( 246200 RLZ 思 考 与 练 习12-3-l 欲 提 高 串 联 谐 振 电 路 的 Q值 ， 应 如 何 改 变 R、 L和 C ?12-3-2 欲 提 高 并 联 谐 振 电 路 的 Q值 ， 应 如 何 改 变 R、 L和 C ? 图 12-3-312-3-3 电 路 如 图 12-3-3所 示 。 若 ， 问 哪 些 单 口 相 当 于 短 路 ？ 哪 些 单 口 相 当 于 开 路 ？ LC 1