向量法在中学数学中的应用.doc

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1、存档编号 学 士 学 位 论 文题 目：向量法在中学数学中的应用教学学院: 数学与计算机科学学院 届 别: 2017届 专 业: 数学与应用数学 学 号: 130700046 姓 名: 王雨晴 指导教师: 刘颖芬 完成日期: 2016年 12 月 1 向量法在中学数学中的应用 摘 要在数学学习中，涉及到的相关解题方法是非常多的，如向量法、几何法、面积法、三角法等，本论文主要针对向量法在中学数学中的应用来进行研究及分析，对于向量法相关的解题方法及技巧进行了详细的研究。本论文采用归纳演绎的方法对向量法的相关概念、常用公式及定理等进行了介绍，并采用举例分析法对向量法在解题中的实际应用进行了论证，且选

2、择了几个不同的方面来对向量法在中学数学中解题的巧用进行了研究，希望本论文的研究及分析工作能够为类似数学方面的研究带来一定的指导意义。关键词：向量法；应用；举例分析法；中学数学AbstractIn Learning Mathematics, related to problem-solving approach is very much involved, such as Vector, geometric method, area method, trigonometry, etc., the main application of Vector paper in middle school

3、mathematics for research and analysis carried out on solving Problems associated with the vector methods and techniques have been studied in detail. This paper uses the method of induction and deduction related concepts vector method, commonly used formulas and theorems were introduced, and then, us

4、ing the example of vector analysis method in solving problems of practical application were demonstrated. The paper chose several different aspects of vector method in middle school mathematics problem solving clever use were studied, hoping to research and analysis work in this paper can bring a ce

5、rtain significance for the study of mathematics is similar.Keywords: Vector; applications; for example analysis; Middle School Mathematics目 录摘 要1 引言12 相关理论知识介绍22.1 向量的概念22.2 向量的表示22.3 向量的运算42.3.1 加法运算42.3.2 减法运算42.3.3 数乘运算42.3.4 向量的数量积42.3.5 向量的平移公式52.3.6 线段定比分点公式52.4 向量的基本定理52.4.1 平面向量的基本定理52.4.2 空

6、间向量的基本定理52.4.3 共线向量的基本定理62.4.4 共面向量的基本定理63 向量法在中学几何中的应用63.1 向量法在平面几何中的应用63.2 向量法解决立体几何问题73.3 向量法在解析几何中的应用104 向量法在中学代数中的应用154.1 求函数的最值164.2 求参变数范围164.3 解方程174.4 解复数问题174.5 证明条件等式184.6 向量法在证明解不等式问题中的应用184.7 向量法解决方程组问题185 向量法解三角函数的问题195.1 求值195.2 证明恒等式21结 论22参考文献23致 谢24III1 赣南师范大学2017届本科毕业论文1 引言对于向量及向量

7、法在中学数学中的应用等相关理论知识而言，它是我国中学数学进行改革之后新增加的内容，目的在于为学生提供更好的工具来解决相关数学问题及更好的拓展学生的思维能力。它具有代数形式以及几何形式等的双重身份，即它把数、形融为一体，从而更好的帮助解决相关几何及代数问题。在中学数学的诸多知识点里面，向量法及其计算应用等是一个非常重要的交汇点，它经常与复数、平面解析几何、函数、导数、空间解析几何等方面的内容进行交叉渗透，从而使得相关的数学问题更加具有综合性、更加具有新颖性，这样才能够更好的反应学生对所学知识的融会贯通的能力。向量法作为中学数学一项有力的解题工具，通过对其熟练掌握和灵活应用，能够帮助我们提高解题的

8、效率、拓展我们解题的思维能力、以及对知识进行融会贯通的能力等。向量作为中学数学的一个基本概念，只有对其进行良好的掌握及理解，才能够更好的把向量法应用到相关数学问题中去求解。对于向量而言，它除了具有方向之外，还具有大小的一个量。因此，其对我国中学数学的发展起着非常重要的作用，向量是代数课程、函数分析、几何分析等相关课程研究的基本内容。向量及向量法在相关数学问题中的应用等理论知识是作为我国新课改之后引入的新的内容，对我国数学的发展起到很重要的作用。它不但具有代数形式的身份，而且还具有几何形式的身份，可见，它是中学数学的一个交汇点。通过把向量引入到我国中学数学课程里面，它能够促进高中数学的整个体系架

9、构更加完善，通过对向量法进行灵活应用，能够把许多传统的代数问题、几何问题等变得简单化，从而进一步的拓展了学生解决数学问题的思维能力及方法，也为学生进行创新等方面奠定了良好的基础。对于平面向量而言，它主要是将代数知识以及几何知识等进行有机的结合到一起，从而更好的帮助解决相关数学问题，它主要渗透到函数、平面几何、数列、三角函数、解析几何、立体几何等相关的知识体系中，并且，在研究这些数学问题的时候得到了非常广泛的应用。2、相关理论知识介绍2.1 向量的概念在中学数学的学习中，向量是一个非常重要的知识点，只要把向量的相关理论知识及应用掌握透彻了，便可以灵活的应用向量法在中学几何中进行解题或者在代数中进

10、行应用。在进行向量法的基本应用之前，我们需要先了解向量的基本理论知识，那么，什么是向量？我们把既有大小又有方向的量称之为向量。我们把具有方向的线段称之为有向的线段，比如，以A 作为起点，B作为终点的有向线段，可以把它记为。另外，对于有向线段AB的长度，则把它称为向量的模，故把其记为。通过上述介绍可以很明确的知道向量的三要素为：起点、方向以及长度。 我们把两个方向相反或者方向相同的非零向量称之为平行向量，如向量a、b平行，可以把它记为/。把长度相等并且方向也相同的向量称之为相等向量。对于任何一组平行向量来讲，都可以把它移动到同一条直线上面，因此，也可以把平行向量叫做共线向量。 对于长度为0的向量

11、，把它称之为零向量，记为0。零向量具有很多特点，如它与任何向量都是垂直的，它的方向也是任意的，与任意向量也都是平行的。把长度等于1个单位长度的向量称之为单位向量。2.2 向量的表示（1）向量的代数表示：通常情况之下，它是采用黑体小写字母a、b、c等来进行表示，而对于手写，则在a、b、c、d等字母上加一箭头来进行表示。（2）向量的几何表示：向量的几何表示图法，对于向量来讲，它可以采用有向线段来进行表示。而有向线段的长度，它则表示向量的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。假如规定线段AB的大小，对于箭头所指的方向，则表示为向量的方向。假如规定线段AB的端点A为起点，B为终点，那么，该线段

12、就具有了从起点A到终点B的方向、长度。因此，我们把这种具有长度、方向的线段称之为有向线段。（3）坐标表示： 1）在平面直角坐标系XY中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量，作为一组基底。对于来讲，它是为平面直角坐标系xy内的任意一个向量，以坐标原点o为起点作向量=。由平面向量基本定理可以知道，有且只有一对实数（x，y），使得=向量=x+y，因此，我们就可以把实数对（x，y）叫做向量的坐标，记作=（x，y）。这就是向量的坐标表示。其中，（x，y）就是点P的坐标。向量称之为点P的位置向量。2）在立体三维坐标系xyz里面，分别取与x轴、y轴、z轴方向相同的3个单位向量，k作为一组基底。假设为x

13、yz坐标系里面的任意一个向量，那么，采用坐标原点O为起点来作向量=。因此，通过空间基本定理便可以知道，有且只有一组实数（x，y，z），使得=向量=x+y+zk，因此，我们把实数对（x，y，k）称之为向量的坐标，记作=（x，y，z）。这也是向量的坐标表示。其中（x，y，k），也就是点p的坐标。向量称为点P的位置向量。图1 向量的坐标表示图3) 另外,对于空间多维向量来讲,它也是可以通过类似的方法来得到的，本论文对于空间多维向量就不在进行介绍。2.3 向量的运算2.3.1 加法运算 已知，向量、，在空间平面之内任意取一个点A，做=，=，故向量被称之为向量与向量的和，把它记为+，即+=，故把这种求和

14、的方法叫做向量加法的三角形法则。 向量加法的运算规律为： ；。2.3.2 减法运算假设向量、，并且在平面内任意取一点O，作 =，=，那么，=-，即-可以表示为向量的终点指向向量的终点的向量。对于这种求差的方法，我们把它称之为向量减法的三角形法则。对向量减法来讲，它的实质就是加法的一种逆运算。2.3.3 数乘运算对于实数与向量来讲，它们的积是一个向量，因此，我们把这种运算叫做向量的数乘，把它记为，对于=而言，如果-1=1点R的轨迹方程为=4x+12 （x1）(2)设N（a，0）（a-1）P , Q中点为G（，）即G（-1，） EG=（-1，-8） EN=(a ，-8)由E，G，N三点共线知 EG

15、 平行EN故 -8（-1）=a（-8）得 a= （a-1）所以 y16或y0 又有 P ，Q 两点在第一象限所以4y=+16k=(,1)4、向量法在中学代数中的应用在中学数学的很多解题里面都可以应用向量法来进行求解，如采用向量法对相关代数问题进行求解，通过灵活的应用向量法来进行求解，不但使复杂问题简单化，而且还极易拓展学生解题的思路等。这主要是在于向量法不但融合了代数形式，而且还融合了几何形式，这使得它具有双重身份，是融形、数为一体的平面向量。因此，把向量法引入到中学数学代数问题求解的过程中，不但使复杂的代数求解问题简单化，而且极易拓展学生的思维能力及解题方法，在一定程度上面还能够更好的帮助学

16、生进行创新，所以向量法被应用到许多数学问题当中去进行研究。通过合理、有效的利用平面向量这一解题工具，能够处理很多相关的代数问题，下面将对向量法在中学代数中的应用进行简单介绍。4.1 求函数的最值通过合理的利用向量模的不等式, ,可以对一些比较复杂，但是采用常规方法又非常麻烦的最值（值域）问题进行求解。例7： 求函数的最大值。对上述函数进行分析：通过对其结构特征进行观察，由很容易就会联想到向量的数量积的坐标表示令，则，且故，当且仅当与同向，即时取等号，很显然，采用向量法使问题非常容易的就得到解决4.2 求参变数范围对于求参变数范围的代数问题，它在中学数学中是一个难点，要对其进行求解是很难的，经常

17、需要进行讨论。假如采用向量法来进行求解，就会把复杂问题简单化，解题方法也变得非常多，因此，采用向量法来对参变数范围进行求解，通常会收到意想不到的效果。例8：设，且，试讨论的范围分析：由很容易就会联想到向量的模，令，则，.由得，解得，由对称性便可以得的范围4.3 解方程在中学数学代数中，涉及到的方程或者方程组也是非常多的，如果采用常规的方法对其进行求解，则是很难取得效果的，面临这种情况，假如采用向量法去进行求解，就会使思路变得很巧妙，并且求解的过程也非常的简洁。例9：求实数，并且，要使得它们能够同时满足方程：和分析：通过对两方程进行相加，并且配方得，由此，很容易的就会联想到向量模，令，则，又因为

18、，其中等式成立的条件即为方程组的解，即当且仅当=时等式成立，这样就会使问题得到解决4.4 解复数问题在中学数学中，对于复数来讲，它是可以用向量来进行表示的，因此，对于相关的复数问题都是可以采用向量法来进行解决的。例10：已知，在复平面内正方形的两对角顶点和所对应的复数分别为和，对另外两顶点和所对应的复数进行求解分析：先求，为此得求因，而是依逆时针方向旋转，同时将的模缩为倍，因此先求而，故对应的复数是，于是对应的复数是；又，所以可求同理可求，最终使得问题得到解决4.5 证明条件等式对于条件等式的证明，通常情况之下是要采取方式进行变形，要对其进行证明是比较麻烦的。假如采用向量来对条件等式进行证明，

19、这样就会使问题变得简单化，也比较容易证明，思路也比较开阔。例11：设，其中求证:=分析：观察已知等式的结构特征，联想到向量的模及向量的数量积，令 ，则易知与的夹角为0或，所以，问题得证4.6 向量法在证明解不等式问题中的应用例12：求证 （）（）证明： 通过构造向量 ，则 由 知即（）（）4.7 向量法解决方程组问题例13：解方程组+ （1） -8x +6y-24z=39 （2）解：构造向量=x，y，z，=-8, 6, -24 =-8x +6y-24z=39= cos =26cos = 由,平行得， x=-8t y=6t z=-24t (3)代入（2）可得（x，y，z）=（，）5、向量法解三角

20、函数的问题对于向量的数量积的定义来讲，它通过将向量与三角函数两者融为一体，这样很好的体现了向量的模与三角函数之间的关系，更进一步的来讲，其为通过采用向量法来对三角函数问题进行求解创造了一个非常优良的条件。5.1 求值例14：已知，求锐角的值分析：由已知可以得，通过对上式观察其结构特征,从而很容易就会联想到向量的数量积，令，则，由得，所以，即，代入已知等式便可求得的值例15：函数（其中）的图像与轴交于点（0，1）。（）求的值；（）设A是图像上的最高点，C、D是图像与轴的交点，求CAD大小。图9 函数y与y轴的平面图解：（I）因为函数图像过点（0.1），所以即因为，所以.（II）由函数（II）由函

21、数及其图像，得所以= ，=,从而cos=.， 故=.即CAD=.5.2 证明恒等式例16：求证：；分析：由等式右边联想到向量的数量积，令，则，且易知与的夹角为，则，又，则问题得证结 论首先，本论文对向量法的相关概念及公理、定理等进行了概述，采用举例的方式介绍了向量法的相关应用问题，如采用向量法求解三角函数问题、采用向量法求解相关代数问题、采用向量法求解平面几何和空间几何等的相关问题，这样往往会使复杂的问题变得简单化，也提供了更多的解题思路，有利于学生创新思维的培养。通过对本论文的相关研究及分析工作，对数学的相关知识进行了系统巩固，也加深了对相关知识的理解，由于我能力所限及时间的仓促性，导致本论

22、文的研究还不是很完善，希望在未来的进一步研究中进行改善。参考文献1 吕林根等.解析几何M.高等教育出版社，2006：123-129.2 王仁明.用向量证明课本中的两个公式J.中学数学研究，2013，（07）:67-75.3 田宝运等.向量法解高考解析几何试题J.中学数学研究，2009，（04）：23-30.4 黄生顺.平面法向量在立体几何中的应用J.中学数学，2011，（13）:67-70.5 张定强等.向量法在研究几何问题中的作用探讨J.数学通讯，2009，（09）：132-135.6 刘八芝.向量在中学数学教学中的应用J.镇江高专学报，2011，（09）:33-39.7 段小龙等.高中数学

23、辞典M.四川辞书出版社，2005：333-340.8 赵国俊等.例谈向量在解题中的应用J.兰州教育学院学报，2011，（06）:43 -47.9 邢进喜等.一个面积问题的作图法求解J.高等数学研究，2015，（03）：6-10.10 陈楚.向量在解析几何中的应用J.广东教育教研，2012，（10）:78-86.11 王海波等.构造向量，巧证不等式J.数学通讯，2010,（09）：23-29.12 高根会等.空间向量在立体几何中的初步应用J.数学通讯，2014，（12）：34-45.13 田载今等.高中教材数学M.人民教育出版社，2008：34-45.14 候云畅.高等数学M.高等教育出版社，2

24、011：34-45.15 人民教育出版社中学数学室.数学（下）（第二版）M.人民教育出版社，2007：34-45.16罗奇.向量在代数解题中的运用J.桂林师范高等专科学校学报,2012,22(02):164-167.17 田德杰.向量在不等式的证明中的应用J.商情,2013,(12):40-46.18 崔艳.用空间向量解决立体几何问题J.德宏师范高等专科学报,2009，16(2):77-83.19 郑荣,廖云常.向量在几何中的应用举例J.成都教育学院学报,2013，16(8):62-65.20 房再胜.空间向量在立体几何中的两点应用J.池州师范学报,2009，20(5): 17-19.21 陆

25、金菊.试论向量在几何中的应用J.山西广播电视大学学报, 2012,(3):39-40.22 杨世国.向量在几何中的应用J.数学的实践与认识,2009,36(09):283-285.23 钱靠成.平面向量及其应用J.安庆师范学报(自然科学版),2011,12(3):114-116.致 谢 首先感谢我的老师XXX老师，本论文的分析与研究工作是在XXX老师的悉心的指导下完成的。老师严谨的治学态度、对学术的执着追求的精神、不求回报的工作精神、热爱学生及平易近人的风格都深深吸引着我，并且对我产生了深刻的影响，让我受到鼓舞。 通过XX大学几年来的全面学习，我进一步学习了数学方面的专业知识，并且学到了很多该领域的专业知识，并且能够应用于实际的工作中解决问题，通过本论文的设计，使我所学的知识得到巩固，加深了我对所学专业知识的进一步理解。我要感谢所有辛苦培养我的老师，也感谢对我给予帮助的同学！在这里，我要向曾经给我关心和辛勤教育我的老师以最真诚的感谢，也向曾经帮助过我、关心过我的各位同学表示最衷心的感谢！在本论文的写作过程中，我查阅了很多的书籍和文献等资料，并且也参考和引用了许多书籍和文献当中的一些内容，在此，我向这些书籍和文献资料的作者表示感谢。24