第3章计算机图形处理技术

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1、第三章第三章计算机图形处理技术计算机图形处理技术 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换 图形裁剪技术图形裁剪技术 图形几何变换图形几何变换 投影变换投影变换本本 章章 要要 点点3 计算机图形处理技术计算机图形处理技术坐标系坐标系分类分类3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换模型坐标系（造型坐标系模型坐标系（造型坐标系MCSMCS）：）：（Modeling Coordinate SystemModeling Coordinate System）右手坐标系，是用来描述世界坐标系中每个具体物体的右手坐标系，是用来描述世界坐标系中每个具体物体的形状，当物体的空间位置发生变化时，由造型坐标系定义的形状，

2、当物体的空间位置发生变化时，由造型坐标系定义的物体上的各点的坐标值不变，也称工作坐标系。物体上的各点的坐标值不变，也称工作坐标系。图图a图图b3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换世界坐标系世界坐标系(WC)(WC)：世界坐标系（也称用户坐标系）是用户用于定义所有物世界坐标系（也称用户坐标系）是用户用于定义所有物体的统一参考坐标系，它在计算过程中始终保持唯一性。物体的统一参考坐标系，它在计算过程中始终保持唯一性。物体从模型坐标下经几何变换到世界坐标系称模型变换。体从模型坐标下经几何变换到世界坐标系称模型变换。zxynvuWCVRC用于定义整图或最高层次图形结构，各子图、图元都放在用于定义整图

3、或最高层次图形结构，各子图、图元都放在wcwc的适当位置。的适当位置。世界坐标系与造型坐标系是整体与局部的关系，造型坐标系也称为局部坐世界坐标系与造型坐标系是整体与局部的关系，造型坐标系也称为局部坐标系，世界坐标系也称为整体坐标系。标系，世界坐标系也称为整体坐标系。3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换观察坐标系（观察坐标系（VCSVCS）：）：符合右手定则的直角坐标系符合右手定则的直角坐标系作用：作用：（1 1）用于指定裁剪空间，）用于指定裁剪空间，确定物体要显示输出的确定物体要显示输出的部分；部分；（2 2）是通过在观察坐标）是通过在观察坐标系中定义观察平面，把系中定义观察平面，把三维物

4、体的世界坐标变三维物体的世界坐标变换为规格化设备坐标。换为规格化设备坐标。3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换设备坐标系（设备坐标系（DCSDCS）：）：图形输出设备（如显示器、绘图机）自身都有一个坐标图形输出设备（如显示器、绘图机）自身都有一个坐标系，称为设备坐标系或物理坐标系。系，称为设备坐标系或物理坐标系。设备坐标系是一个二维平面坐标系，用于在图形设备上设备坐标系是一个二维平面坐标系，用于在图形设备上定义图形或窗口的位置，它的度量单位是步长（绘图机）定义图形或窗口的位置，它的度量单位是步长（绘图机）或像素（显示器）。或像素（显示器）。定义域是整数域且是有界的。定义域是整数域且是有界的

5、。3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换规格化设备坐标系（规格化设备坐标系（NDCSNDCS）：）：由于不同的图形设备具有不同的设备坐标系，且不同设由于不同的图形设备具有不同的设备坐标系，且不同设备间坐标范围也不尽相同，为了避免由于设备坐标系与设备备间坐标范围也不尽相同，为了避免由于设备坐标系与设备的相关性影响应用程序的可移植性，引入与设备无关的规格的相关性影响应用程序的可移植性，引入与设备无关的规格化的设备坐标系，规格化的设备坐标系的取值范围是左下角化的设备坐标系，规格化的设备坐标系的取值范围是左下角（0.0,0.0）用户的图形数据经转换成规格化设备坐标系后，使应用用户的图形数据经转换成规

6、格化设备坐标系后，使应用程序与图形设备隔离开，增强了应用程序的可移植性。程序与图形设备隔离开，增强了应用程序的可移植性。观察坐标系观察坐标系规格化设备坐标系规格化设备坐标系设备坐标系设备坐标系3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换坐标变换坐标变换3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换窗口与视区窗口与视区1 1、窗口、窗口(Windows)(Windows)用户坐标系中的一个矩形区域，可以用其左下角点和右上角用户坐标系中的一个矩形区域，可以用其左下角点和右上角点坐标来表示。只有在这个区域内的图形才能在设备坐标系下显点坐标来表示。只有在这个区域内的图形才能在设备坐标系下显示输出，其余的将被裁剪

7、掉。窗口可以嵌套，即在第一层窗口中示输出，其余的将被裁剪掉。窗口可以嵌套，即在第一层窗口中再定义第二层窗口，在第再定义第二层窗口，在第n n层窗口中再定义第层窗口中再定义第n n+1+1层窗口，在各种层窗口，在各种CADCAD系统中经常用到的框选放大操作就是窗口技术的典型应用。系统中经常用到的框选放大操作就是窗口技术的典型应用。2 2、视区、视区(ViewportViewport)设备坐标系中的一个矩形区域，在图形设备上用来输出图形设备坐标系中的一个矩形区域，在图形设备上用来输出图形的最大区域称之为屏幕域，它是有限的整数域，任何小于或等于的最大区域称之为屏幕域，它是有限的整数域，任何小于或等于

8、屏幕域的区域都可定义为视区。视区由用户在屏幕域中用设备坐屏幕域的区域都可定义为视区。视区由用户在屏幕域中用设备坐标定义，一般也由左下角点和右上角点坐标来表示，同样视区也标定义，一般也由左下角点和右上角点坐标来表示，同样视区也可以是多层的。而且，在同一屏幕还可以定义多个视区。可以是多层的。而且，在同一屏幕还可以定义多个视区。3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换通过变换可以把窗口中的图形和视通过变换可以把窗口中的图形和视区中的图形一一对应起来。区中的图形一一对应起来。输出图形：用户坐标系输出图形：用户坐标系 设备坐标系设备坐标系 （窗口坐标）（窗口坐标）（视区坐标）（视区坐标）输入图形：设备坐

9、标系输入图形：设备坐标系 用户坐标系用户坐标系 （视区坐标）（视区坐标）（窗口坐标）（窗口坐标）3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换窗口与视区的变换窗口与视区的变换3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换窗口与视区的变换窗口与视区的变换3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换窗口与视区的变换窗口与视区的变换3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换二维图形的输出过程二维图形的输出过程三维形体的输出过程三维形体的输出过程3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换注意：注意：1 1、当视区不变时，窗口尺寸缩小则视区图形尺寸变大，窗、当视区不变时，窗口尺寸缩小

10、则视区图形尺寸变大，窗口尺寸变大则视区显示尺寸变小。口尺寸变大则视区显示尺寸变小。窗口窗口 视区视区窗口窗口 3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换2 2、当窗口尺寸不变时，视区的尺寸变化与视区内显、当窗口尺寸不变时，视区的尺寸变化与视区内显示图形的尺寸变化一致。示图形的尺寸变化一致。窗口窗口 视区视区视区视区3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换3 3、如果视区的纵横比与窗口的纵横比不一致时，经变换、如果视区的纵横比与窗口的纵横比不一致时，经变换后的图形在视区中输出时会产生失真现象，因此在定义窗后的图形在视区中输出时会产生失真现象，因此在定义窗口和视区时，要保证它们的纵横比一致。口和视区

11、时，要保证它们的纵横比一致。窗口窗口 视区视区视区视区3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换窗口和视区的关系：窗口和视区的关系：窗窗口口定定义义在在用用户户坐坐标标系系中中；视视区区定定义义在在设设备备坐坐标系中。标系中。窗窗口口能能定定义义一一个个、数数个个、嵌嵌套套；视视区区的的个个数数由由窗口个数决定，以保证一一对应关系。窗口个数决定，以保证一一对应关系。窗窗口口能能进进行行移移动动、放放大大、缩缩小小、旋旋转转等等几几何何变变换；视区一般不能进行几何变换。换；视区一般不能进行几何变换。3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换结论：结论：当当视视区区大大小小不不变变时时，窗窗口口缩缩小

12、小或或放放大大时时，则则显显示的图形会相反地放大或缩小。示的图形会相反地放大或缩小。当当窗窗口口大大小小不不变变时时，视视区区缩缩小小或或放放大大时时，则则显显示的图形会跟随缩小或放大。示的图形会跟随缩小或放大。当当窗窗口口与与视视区区大大小小相相同同时时，则则显显示示的的图图形形大大小小比例不变。比例不变。若视区纵横比不等于窗口的纵横比时，则显示若视区纵横比不等于窗口的纵横比时，则显示的图形会有伸缩变形。的图形会有伸缩变形。3.1 坐标系与坐标变换坐标系与坐标变换确定图形中哪些部分落在显示区之内确定图形中哪些部分落在显示区之内,以便显示落在显以便显示落在显示区内的那部分图形，这个选择过程称为

13、裁剪。示区内的那部分图形，这个选择过程称为裁剪。只有窗口内的物体才能显示出来。因此，窗口之外的物只有窗口内的物体才能显示出来。因此，窗口之外的物体都是不可见的，可以不参加标准化转换及随后的显示体都是不可见的，可以不参加标准化转换及随后的显示操作，节约处理时间。裁剪（操作，节约处理时间。裁剪（clippingclipping）是裁去窗口之）是裁去窗口之外物体的一种操作。外物体的一种操作。3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术点与字符的裁剪点与字符的裁剪 点的裁剪比较简单，当图形系统的窗口确定之后，点的裁剪比较简单，当图形系统的窗口确定之后，设被裁剪的点的坐标为（设被裁剪的点的坐标为（x x，y y

14、），则只有当该点的坐标），则只有当该点的坐标满足下式满足下式 该点才位于窗口之内，并经过窗口该点才位于窗口之内，并经过窗口-视图变换后送视视图变换后送视区中显示，否则该点位于窗口之外而被舍去。区中显示，否则该点位于窗口之外而被舍去。3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术 字符的裁剪，根据裁剪精度不同，可分为三种情况。字符的裁剪，根据裁剪精度不同，可分为三种情况。（1 1）字串裁剪）字串裁剪 用一个限界矩形来包含整个文本字符串，判断该限界用一个限界矩形来包含整个文本字符串，判断该限界矩形是否全部位于裁剪窗口的内部，如果是，则字符串全矩形是否全部位于裁剪窗口的内部，如果是，则字符串全部保留，如果不是

15、，则字符串全部不可见。这是字符裁剪部保留，如果不是，则字符串全部不可见。这是字符裁剪的最简单方法，裁剪速度最快，但精度最低。的最简单方法，裁剪速度最快，但精度最低。3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术 （2 2）字裁剪）字裁剪 类似于串裁剪，但限界矩形以单个字符为单位。类似于串裁剪，但限界矩形以单个字符为单位。（3 3）笔划裁剪）笔划裁剪 通过把一个字符看成一系列短笔划的集合，使字符的裁剪归结为对组通过把一个字符看成一系列短笔划的集合，使字符的裁剪归结为对组成这些字符的笔划的裁剪，必须逐条直线的进行。此种方法可以精确地删成这些字符的笔划的裁剪，必须逐条直线的进行。此种方法可以精确地删除字符在窗

16、口外的部分，如实地反映了字符的裁剪结果，优点是裁剪精度除字符在窗口外的部分，如实地反映了字符的裁剪结果，优点是裁剪精度最高，缺点是裁剪过程比较复杂。最高，缺点是裁剪过程比较复杂。字裁剪字裁剪笔划裁剪笔划裁剪3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术二维直线段裁剪二维直线段裁剪 线段与窗口的位置关系有如下几种情况线段与窗口的位置关系有如下几种情况 （1 1）直线段两个端点在窗口内；）直线段两个端点在窗口内；（2 2）直线段两个端点在窗口外，）直线段两个端点在窗口外，且与窗口不相交；且与窗口不相交；（3 3）直线段两个端点在窗口外，）直线段两个端点在窗口外，且与窗口相交；且与窗口相交；（4 4）直线段一

17、个端点在窗口内，一个端点在窗口外。）直线段一个端点在窗口内，一个端点在窗口外。从图中我们可以看出，不同位置的线段被窗口边界分成一段或从图中我们可以看出，不同位置的线段被窗口边界分成一段或几段，但其中只有一段落在窗口内，如何找出落在窗口内线段的几段，但其中只有一段落在窗口内，如何找出落在窗口内线段的起点和终点坐标是关键。常用的算法有矢量裁剪法、编码裁剪法、起点和终点坐标是关键。常用的算法有矢量裁剪法、编码裁剪法、中点分割法。中点分割法。3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术编码裁剪法：编码裁剪法：1 1、第一位：端点在窗口左边界代码为、第一位：端点在窗口左边界代码为1 1，否则为，否则为0 0 2

18、 2、第二位：端点在窗口右边界代码为、第二位：端点在窗口右边界代码为1 1，否则为，否则为0 0 3 3、第三位：端点在窗口下边界代码为、第三位：端点在窗口下边界代码为1 1，否则为，否则为0 0 4 4、第四位：端点在窗口上边界代码为、第四位：端点在窗口上边界代码为1 1，否则为，否则为0 0定定义义编编码码状状态态表表3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术 （1 1）直线段的两个端点按其所在区域被赋予相应代码，称为）直线段的两个端点按其所在区域被赋予相应代码，称为端点状态代码。端点状态代码。（2 2）测试直线段的端点状态，当两端点状态代码都为零，说明）测试直线段的端点状态，当两端点状态代码都

19、为零，说明该线段完全位于窗口之内；当两端点的状态代码的位逻辑该线段完全位于窗口之内；当两端点的状态代码的位逻辑“与与”不不为零，说明线段位于窗外同一侧。为零，说明线段位于窗外同一侧。（3 3）不能通过上述测试的线段，再求它）不能通过上述测试的线段，再求它与窗口边界（或边界的延长线）的有效交点，与窗口边界（或边界的延长线）的有效交点，它将线段分割成两个子段，用上述两个条件它将线段分割成两个子段，用上述两个条件对这两个子段进行测试，舍弃位于窗外的一对这两个子段进行测试，舍弃位于窗外的一段，而对剩余部分再次赋给交点处的端点状段，而对剩余部分再次赋给交点处的端点状态代码，再次测试，再次求交，直至能判断

20、态代码，再次测试，再次求交，直至能判断出裁剪剩余部分直线段是否位于窗口内或在出裁剪剩余部分直线段是否位于窗口内或在窗外。窗外。3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术abdec中点分割法：中点分割法：基基本本思思想想：分分别别寻寻找找直直线线段段两两个个端端点点各各自自对对应应的的最最远远的的可可见见点点，两个可见点之间的连线即为要输出的可见线段。两个可见点之间的连线即为要输出的可见线段。判断直线段判断直线段 是否全部在窗口外，若是则结束，否则是否全部在窗口外，若是则结束，否则；判判断断 点点是是否否可可见见，若若是是则则 即即为为距距 点点最最远远的的可可见见点点（b b线线段段）返返回，否则回

21、，否则；将直线段将直线段 对分，中点为对分，中点为 ，如果，如果 全部在窗口外（全部在窗口外（d d线段），线段），则用则用 代替代替 ，否则以，否则以 代替代替 （e e线段），对新的线段线段），对新的线段 从从 开始；开始；重复上述过程，直到重复上述过程，直到 的长度小于给定的误差，即认为已与窗口的一个的长度小于给定的误差，即认为已与窗口的一个边界相交为止。边界相交为止。上述过程找到了距上述过程找到了距 点最远的可见点，把两个端点对调，重复上述步骤，点最远的可见点，把两个端点对调，重复上述步骤，即可找到距即可找到距 点最远的可见点，连接两点，即为要输出的可见段。点最远的可见点，连接两点，即

22、为要输出的可见段。3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术多边形裁剪多边形裁剪逐边裁剪法、双边裁剪法、分区判逐边裁剪法、双边裁剪法、分区判断求交法、凸包矩形判别法、边界断求交法、凸包矩形判别法、边界分割法等。分割法等。逐边裁剪法原理：逐边裁剪法原理：先用窗口的一条边界对多边形进行裁剪，保留裁剪后位先用窗口的一条边界对多边形进行裁剪，保留裁剪后位于该边界窗口内的部分图形，合并外部区域的图形，得到一于该边界窗口内的部分图形，合并外部区域的图形，得到一个或若干个新的封闭图形，当用窗口的第一条边界处理完后，个或若干个新的封闭图形，当用窗口的第一条边界处理完后，再用第二条边界对新生成的多边形进行裁剪，如此下

23、去，直再用第二条边界对新生成的多边形进行裁剪，如此下去，直至窗口的四条边界都裁剪完毕。至窗口的四条边界都裁剪完毕。3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术逐边裁剪法（逐边裁剪法（1974年由年由Sutherland和和Hodman提出）提出）3.2 图形的裁剪技术图形的裁剪技术图形变换图形变换在计算机图形处理中，经常需要对已经生成的图形进行在计算机图形处理中，经常需要对已经生成的图形进行几何变换处理几何变换处理。例如，改变图形的大小、移动图形或根据需。例如，改变图形的大小、移动图形或根据需要将图形旋转一个角度，输出零件的三视图，显示立体图，要将图形旋转一个角度，输出零件的三视图，显示立体图，或要求

24、一物体绕一轴线作连续的动态转动，使观察者能看到或要求一物体绕一轴线作连续的动态转动，使观察者能看到物体的各个侧面。这就要求图形处理软件能够实现旋转、平物体的各个侧面。这就要求图形处理软件能够实现旋转、平移、缩放等几何变换。移、缩放等几何变换。点是构成一个几何形体的最基本的元素，一幅二维图形可以看成是一个点是构成一个几何形体的最基本的元素，一幅二维图形可以看成是一个点集，因此可以把对图形的几何变换归结为对点的变换。点集，因此可以把对图形的几何变换归结为对点的变换。图形的基本构成：顶点坐标图形的基本构成：顶点坐标+拓扑关系拓扑关系3.3 图形几何变换图形几何变换图形变换方法图形变换方法 一、一、点

25、的向量表示点的向量表示二维平面中点的表示方法：二维平面中点的表示方法：P（x，y）三维空间里则用三维空间里则用 表示。表示。对于一个二维平面的图形或三维空间的立体，可以用一个点的集合（简对于一个二维平面的图形或三维空间的立体，可以用一个点的集合（简称点集）来表示，每个点对应一个行向量，则点集为称点集）来表示，每个点对应一个行向量，则点集为n2或或m3阶的矩阵：阶的矩阵：或或3.3 图形几何变换图形几何变换例：已知三角形例：已知三角形ABC顶点的坐标分别为：顶点的坐标分别为：A（x1，y1），），B（x2，y2），），C（x3，y3）则三角形则三角形ABC可以记作矩阵：可以记作矩阵：然后把它以数

26、组的形式存贮在计算机内。然后把它以数组的形式存贮在计算机内。3.3 图形几何变换图形几何变换 二、变换矩阵二、变换矩阵 由于图形可以用由于图形可以用点集点集表示，因此要对图形进行变换，表示，因此要对图形进行变换，只要变换点就可以了。只要变换点就可以了。对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即：对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现，即：旧点（集）旧点（集）变换矩阵变换矩阵 新点（集）新点（集）3.3 图形几何变换图形几何变换 设设有有图图形形A A，经经过过某某种种变变换换后后得得到到的的新新图图形形为为B B，则则有：有：其中，其中，B B为变换后图形矩阵，为变换后图形矩阵，T T称为变换

27、矩阵，是用来称为变换矩阵，是用来对原图形施行坐标变换的工具。对原图形施行坐标变换的工具。这里这里 x x,y,y 为变换后点的坐标，为变换后点的坐标，x,yx,y为变换前点的为变换前点的坐标，变换矩阵中坐标，变换矩阵中a,b,c,da,b,c,d的不同取值，可以实现各种的不同取值，可以实现各种不同变换，从而达到对图形进行变换的目的。不同变换，从而达到对图形进行变换的目的。3.3 图形几何变换图形几何变换二维图形的几何变换二维图形的几何变换 一、基本几何变换一、基本几何变换1、比例变换2、旋转变换3、对称变换4、错切变换5、平移变换二、齐次坐标及齐次变换二、齐次坐标及齐次变换三、组合变换三、组合

28、变换 3.3 图形几何变换图形几何变换一、基本几何变换一、基本几何变换 1、比例变换、比例变换 比例变换指将原有图形在比例变换指将原有图形在x、y两个方向上进行放大或缩小的变换，两个方向上进行放大或缩小的变换，通过它可以改变图形的大小和方向。通过它可以改变图形的大小和方向。将平面上一点将平面上一点P（x，y）在）在x、y两个方向上分别进行放大两个方向上分别进行放大a倍和倍和d倍的比例变换后得到新点倍的比例变换后得到新点P*（x*，y*），），P和和P*的关系为：的关系为：n写成矩阵的形式为写成矩阵的形式为3.3 图形几何变换图形几何变换 其中，其中，T=称为比例变换矩阵，称为比例变换矩阵，a、

29、d分别分别 为沿为沿 x、y方向上的比例因子，且方向上的比例因子，且a、d0。a、d的取值不同，变换效果的取值不同，变换效果也不同，如下所述：也不同，如下所述：（1）如果）如果a=d=1，变换为恒等变换，即变换后点的坐标不变。，变换为恒等变换，即变换后点的坐标不变。（2）如果）如果a=d1，变换为等比例变换。其中，如果，变换为等比例变换。其中，如果a=d 1，变换为，变换为等比例放大；如果等比例放大；如果a=d 1（b）a=d 1（c）a d3.3 图形几何变换图形几何变换例：例：a=2，d=1时，假设变换前时，假设变换前A（1，1），），B（2，1），），C（1，2），那么，变换后为），那么

30、，变换后为A*（2，1），），B*（4，1），），C*（2，2），），ABC与与A*B*C*不相似不相似。3.3 图形几何变换图形几何变换 2、旋转变换、旋转变换 旋转变换一般指图形绕旋转变换一般指图形绕坐标原点坐标原点旋转一个角度旋转一个角度 ，规定为规定为：绕原点：绕原点逆逆时针方向旋转为正时针方向旋转为正，顺时针方向为负。经过旋转变化后不改变图形自，顺时针方向为负。经过旋转变化后不改变图形自身的大小、形状等，只改变图形的方向。连续的旋转变换相当于将其身的大小、形状等，只改变图形的方向。连续的旋转变换相当于将其旋转角度叠加之后的旋转变换。旋转角度叠加之后的旋转变换。将平面上一点将平面上一点

31、P（x，y）绕坐标原点逆时针旋转）绕坐标原点逆时针旋转 角，变换后得到新角，变换后得到新点点P（x1，y1），），P和和P 的关系为：的关系为：3.3 图形几何变换图形几何变换其中：其中：为绕坐标原点旋转的变换矩阵。为绕坐标原点旋转的变换矩阵。3.3 图形几何变换图形几何变换 对字母对字母T T进行旋转变换进行旋转变换（旋转（旋转6060)3.3 图形几何变换图形几何变换 3、对称变换、对称变换对称变换又称为反射变换或镜像变换。对称变换又称为反射变换或镜像变换。（1）关于坐标原点的对称变换）关于坐标原点的对称变换 将平面上一点将平面上一点P（x，y）进行关于原点的对称变换后得到新点）进行关于原

32、点的对称变换后得到新点P*（x*，y*），），P和和P*的关系如图（的关系如图（a）应为：）应为：x*=x，y*=y，写成矩阵形式，写成矩阵形式为：为：其中：其中：为关于为关于 原点的对称变换矩阵。原点的对称变换矩阵。3.3 图形几何变换图形几何变换 （2）关于）关于x轴的对称变换轴的对称变换将平面上一点将平面上一点P（x，y）进行关于）进行关于x轴的对称变换后得到新点轴的对称变换后得到新点P*（x*，y*），），P和和P*的关系如图（的关系如图（b）应为：）应为：x*=x，y*=y，写，写成矩阵形式为：成矩阵形式为：n其中：其中：为关于为关于 x轴的对称变换矩阵轴的对称变换矩阵。3.3 图形

33、几何变换图形几何变换 （3）关于）关于y轴的对称变换轴的对称变换将平面上一点将平面上一点P（x，y）进行关于）进行关于y轴的对称变换后得到新点轴的对称变换后得到新点P*（x*，y*），），P和和P*的关系如图（的关系如图（c）应为：）应为：x*=x，y*=y，写成，写成矩阵形式为：矩阵形式为：n其中：其中：为变换矩阵。为变换矩阵。3.3 图形几何变换图形几何变换 (4)关于关于y=x的对称变换的对称变换 将平面上一点将平面上一点P（x，y）进行关于直线）进行关于直线y=x的对称变换后得到新点的对称变换后得到新点P*（x*，y*），），P和和P*的关系如图（的关系如图（d）应为：）应为：x*=y

34、，y*=x，写成矩阵，写成矩阵形式为：其中：其中：为变换矩阵。为变换矩阵。3.3 图形几何变换图形几何变换 (5)关于关于y=x的对称变换的对称变换将平面上一点P（x，y）进行关于直线y=x的对称变换后得到新点P*（x*，y*），P和P*的关系如图（e）应为：x*=y，y*=x，写成矩阵形式为：n其中：其中：为变换矩阵。为变换矩阵。3.3 图形几何变换图形几何变换 4 4、错切变换、错切变换错切变换是使图形沿错切方向的坐标发生变化，而另一方向的坐标错切变换是使图形沿错切方向的坐标发生变化，而另一方向的坐标值不变，从而达到使原图形发生特定变化的目的。错切变换分沿值不变，从而达到使原图形发生特定变

35、化的目的。错切变换分沿x轴和轴和沿沿y轴错切两种形式。轴错切两种形式。(1)沿沿x轴方向的错切轴方向的错切 将平面上一点将平面上一点P（x，y）进行沿）进行沿x轴方向的错切变换后得到新点轴方向的错切变换后得到新点P*（x*，y*），变换过程如图（），变换过程如图（a）所示，从图中可以看出，沿）所示，从图中可以看出，沿x轴方向错切轴方向错切变化后，变化后，y坐标不变，坐标不变，x将产生一个增量将产生一个增量x=cy，而且，而且c当取正值时，沿当取正值时，沿x轴的正方向进行错切，反之轴的正方向进行错切，反之c取负值。取负值。P和和P*的关系为：的关系为：x*=x+cy，y*=y。写成矩阵形式为：。

36、写成矩阵形式为：3.3 图形几何变换图形几何变换其中：其中：为变换矩阵。为变换矩阵。（a）沿）沿x轴方向的错切轴方向的错切 （b）沿）沿y轴方向的错切轴方向的错切 3.3 图形几何变换图形几何变换 （2）沿）沿y轴方向的错切轴方向的错切将平面上一点将平面上一点P（x，y）进行沿）进行沿y轴方向的错切变换后得到新点轴方向的错切变换后得到新点P*（x*，y*），变换过程如图（），变换过程如图（b）所示，从图中可以看出，沿）所示，从图中可以看出，沿y轴方轴方向错切变化后，向错切变化后，x坐标不变，坐标不变，y将产生一个增量将产生一个增量y=bx，而且当，而且当b取正取正值时，沿值时，沿y轴的正方向进

37、行错切，反之轴的正方向进行错切，反之b取负值。取负值。P和和P*的关系为：的关系为：x*=x，y*=bx+y。写成矩阵形式为。写成矩阵形式为：其中：其中：为变换矩阵。为变换矩阵。3.3 图形几何变换图形几何变换5、平移变换、平移变换 这里这里x x，y y是平移量，应为常数，但是应用上述是平移量，应为常数，但是应用上述变换矩阵对点进行变换变换矩阵对点进行变换 而这里的而这里的cycy，bxbx均非常量，均非常量，因此用原来的因此用原来的2 22 2的变的变换矩阵是无法实现平移变换。换矩阵是无法实现平移变换。上述四种变换都可以通过变换矩阵上述四种变换都可以通过变换矩阵来实现，但是，若实现平移变换

38、，变换前后的坐标来实现，但是，若实现平移变换，变换前后的坐标必须满足下面的关系必须满足下面的关系3.3 图形几何变换图形几何变换将变换矩阵增加一行一列，实施对点进行平移变换将变换矩阵增加一行一列，实施对点进行平移变换3.3 图形几何变换图形几何变换例：已知三角形顶点坐标为例：已知三角形顶点坐标为A(0，0)，B(20，0)，C(0，20)，平移参数，平移参数分别为分别为l20，m10；试对此三角形进行平移变换。；试对此三角形进行平移变换。解：因为平移变换矩阵为解：因为平移变换矩阵为 所以变换后点的坐标为所以变换后点的坐标为3.3 图形几何变换图形几何变换二、齐次坐标二、齐次坐标 在平移变换中，

39、我们将在平移变换中，我们将x yx y扩充为扩充为x y 1 x y 1 实实际上是由二维向量变为三维向量。际上是由二维向量变为三维向量。这种用三维向量表示二维向量的方法叫做这种用三维向量表示二维向量的方法叫做齐次坐标齐次坐标法法。进一步推广，用。进一步推广，用n+1n+1维向量表示维向量表示n n维向量的方法称之维向量的方法称之为为齐次坐标法齐次坐标法。所谓齐次坐标就是用所谓齐次坐标就是用n+1n+1维向量表示维向量表示n n维向量得到的维向量得到的坐标。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换，相应的坐标。对齐次坐标进行坐标变换称为齐次变换，相应的变换矩阵称为变换矩阵称为齐次变换矩阵齐次变换矩阵

40、。设三维空间点设三维空间点P P的坐标为的坐标为(x,y,z)(x,y,z)，它是唯一的。若它是唯一的。若用齐次坐标表示时，则为用齐次坐标表示时，则为(hx,hy,hz,hhx,hy,hz,h)，且不唯一。且不唯一。3.3 图形几何变换图形几何变换齐次坐标的几何意义齐次坐标的几何意义 将将OxyOxy坐标系增加一与坐标系增加一与x x轴和轴和y y轴正轴正交的交的w w轴。轴。在在w=1w=1的平面上有点的平面上有点P P1 1(x,y,1),(x,y,1),则则当当w w由由0 0变化到无穷时，齐次坐标变化到无穷时，齐次坐标P Pw w(x(xw w,y,yw w,w,w)将处在由将处在由O

41、POP1 1定义的射线定义的射线OQOQ上。二维坐标则是该射线在上。二维坐标则是该射线在w w1 1平平面上的交点面上的交点,有有二维齐次变换表示了在二维齐次变换表示了在w=1w=1平面上点的坐标变换，即平面上点的坐标变换，即P P1 1到到P P1 1*的坐标变换的坐标变换3.3 图形几何变换图形几何变换齐次坐标的特点齐次坐标的特点1.1.当当w=0w=0时，齐次坐标可用来表示无穷远的点时，齐次坐标可用来表示无穷远的点2.2.将图形处理中的各种变换用统一的方式来处理将图形处理中的各种变换用统一的方式来处理如二维图形变换矩阵的一般表达式：如二维图形变换矩阵的一般表达式：3.3 图形几何变换图形

42、几何变换二维齐次变换矩阵二维齐次变换矩阵 其中其中2 22 2阶矩阵阶矩阵 可以实现图形的比例、可以实现图形的比例、对称、错切、旋转等基本变换；对称、错切、旋转等基本变换；1 12 2阶矩阵阶矩阵 可以实现图形的平移变换；可以实现图形的平移变换；2 21 1阶矩阵阶矩阵 可以实现图形的透视变换，可以实现图形的透视变换，而而ss可以实现图形的全比例变换。可以实现图形的全比例变换。3.3 图形几何变换图形几何变换小结小结3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换 二、组合变换二、组合变换 在图形的几何变换中，图形的实际变换往往不是单独采用前述的

43、在图形的几何变换中，图形的实际变换往往不是单独采用前述的各种基本变换就可以完成，通常需要将各种基本变换组合使用，以完各种基本变换就可以完成，通常需要将各种基本变换组合使用，以完成最终的图形变换。这种由多种基本变换组合而成的变换称为组合变成最终的图形变换。这种由多种基本变换组合而成的变换称为组合变换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。换，相应的变换矩阵叫做组合变换矩阵。假设已知点假设已知点P依次经过依次经过T1、T2和和T3三个几何变换，得到的结果为三个几何变换，得到的结果为:P*=（PT1）T2）T3 运用矩阵乘法的结合律，上式可化为运用矩阵乘法的结合律，上式可化为:P*=P（T1T2T3）于是

44、得到组合变换的变换矩阵为于是得到组合变换的变换矩阵为:T=T1T2T3 由于矩阵不存在交换律，因此矩由于矩阵不存在交换律，因此矩阵相乘的顺序是不能随意互换的。阵相乘的顺序是不能随意互换的。3.3 图形几何变换图形几何变换组合变换顺序对图形的影响组合变换顺序对图形的影响 复复杂杂变变换换是是通通过过基基本本变变换换的的组组合合而而成成的的，由由于于矩矩阵阵的的乘法不适用于交换律，即：乘法不适用于交换律，即：AB BAAB BA 因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则因此，组合的顺序一般是不能颠倒的，顺序不同，则变换的结果亦不同，如图所示。变换的结果亦不同，如图所示。3.3 图形几何变换图

45、形几何变换实例实例:绕任意点的旋转变换绕任意点的旋转变换 平面图形绕任意点平面图形绕任意点P（xp，yp）逆时针旋转）逆时针旋转 角，需要通过如下角，需要通过如下几个步骤来实现：几个步骤来实现：(1)将旋转中心平移到坐标原点，变换矩阵为将旋转中心平移到坐标原点，变换矩阵为 (2)将图形绕坐标原点逆时针旋转将图形绕坐标原点逆时针旋转 角，变换矩阵为角，变换矩阵为 3.3 图形几何变换图形几何变换（3）将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为）将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为（4）最后得出绕任意点）最后得出绕任意点P的旋转矩阵为的旋转矩阵为即即当当xp=0，yp=0 时，即为对原点的时，即为对

46、原点的旋转变换矩阵。旋转变换矩阵。3.3 图形几何变换图形几何变换 例：例：将下将下图图所示所示图图形形绕绕自身自身对对称称轴轴上的一点上的一点P(15,12P(15,12）逆逆时针时针旋旋转转9090度，放大度，放大2 2倍（倍（x x、y y方向的放大倍方向的放大倍 数相同）数相同）1 1、试试写出各写出各变换变换的的变换变换矩矩阵阵；2 2、求出复合、求出复合变换变换矩矩阵阵；3 3、求出各点、求出各点变换变换后的坐后的坐标标；3.3 图形几何变换图形几何变换解：解：（1）、各）、各变换变换矩矩阵为阵为：先将先将P点平移至原点的矩点平移至原点的矩阵阵：绕绕原点逆原点逆时针时针旋旋转转 ：

47、3.3 图形几何变换图形几何变换 沿沿x、y轴轴放大放大2倍倍 平移回原位置：平移回原位置：3.3 图形几何变换图形几何变换 （2）、组合变换矩阵：）、组合变换矩阵：（3 3）、）、变换变换后的坐后的坐标为标为：3.3 图形几何变换图形几何变换作作业业：1 1、将下、将下图图所示所示图图形形绕绕自身中心点自身中心点P P（20,2020,20）先）先缩缩小小1/21/2（x x、y y方向的方向的缩缩小倍数相同）再小倍数相同）再顺时针顺时针旋旋转转270270度，度，（1 1）试试写出各写出各变换变换的的变换变换矩矩阵阵；（2 2）求出）求出组组合合变换变换矩矩阵阵；（3 3）求出各点）求出各

48、点变换变换后的坐后的坐标标。3.3 图形几何变换图形几何变换2、如图所示平行四边形、如图所示平行四边形ABCD，已知图上一点，已知图上一点G（10，6），该），该平行四边形先绕平行四边形先绕G点逆时针转点逆时针转90度，最后沿度，最后沿Y方向正向移动方向正向移动3个单位距离。个单位距离。（1）试写出各变换的变换矩阵；）试写出各变换的变换矩阵；（2）求出组合变换矩阵；）求出组合变换矩阵；（3）求出）求出A、B、C、D各点变换后的坐标。各点变换后的坐标。3.3 图形几何变换图形几何变换1、解：、解：（1）、各）、各变换变换矩矩阵为阵为：、先将先将P点平移至原点的矩点平移至原点的矩阵阵：、沿、沿x、

49、y轴缩轴缩小小1/21/2倍：倍：、绕绕原点原点顺时针顺时针旋旋转转3.3 图形几何变换图形几何变换、平移回原位置：平移回原位置：（2）、复合）、复合变换变换矩矩阵阵：（3 3）、）、变换变换后的坐后的坐标为标为：3.3 图形几何变换图形几何变换2、解：（、解：（1）1）先将）先将G点平移到坐标原点，变换矩阵为点平移到坐标原点，变换矩阵为2）绕原点顺时针旋转）绕原点顺时针旋转90度的变换距阵为度的变换距阵为3）沿）沿Y正向平移正向平移3个单位的变换矩阵为个单位的变换矩阵为3.3 图形几何变换图形几何变换4）将）将G点移回原处的变换矩阵为点移回原处的变换矩阵为（2）组合变换矩阵为）组合变换矩阵为

50、（3）A(13,4)B(13,15)C(6,14)D(6,4)3.3 图形几何变换图形几何变换三维图形变换三维图形变换三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的原理还是把齐次坐标点的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)(x,y,z,1)通过变换矩阵变通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点换成新的齐次坐标点(x(x,y,y,z,z,1),1)，即即其中其中T T为三维基本为三维基本(齐次齐次)变换矩阵：变换矩阵：T 3.3 图形几何变换图形几何变换齐次变换矩阵：平移缩放旋转错切透视变换整体缩放3.3 图形几何变换图形几何变换比例和对称变换比例和对称变换

51、1.1.一般情况，一般情况，s sx x,s,sy y,s,sz z0 0，图形沿三个坐标轴方向作放缩变换；图形沿三个坐标轴方向作放缩变换；2.2.当当s sx x=1,=1,s sy y=s sz z=-1=-1时，图形相对于时，图形相对于x x轴中心对称，其余类推轴中心对称，其余类推;3.3.当当s sx x-1,-1,s sy y=s sz z=1=1时，图形相对于时，图形相对于yOzyOz平面对称，其余类推平面对称，其余类推;4.4.当当s sx x=s sy y=s sz z=-1=-1时，图形相对于原点中心对称。时，图形相对于原点中心对称。3.3 图形几何变换图形几何变换整体缩放整

52、体缩放得到：得到：左边同乘左边同乘 s 3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换关于关于xoyxoy平面平面3.3 图形几何变换图形几何变换关于关于xozxoz平面平面3.3 图形几何变换图形几何变换关于关于yozyoz平面平面平移变换平移变换3.3 图形几何变换图形几何变换旋转变换旋转变换3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换错切变换错切变换3.3 图形几何变换图形几何变换错切变换错切变换3.3 图形几何变换图形几何变换错切变换错切变换3.3 图形

53、几何变换图形几何变换错切变换错切变换3.3 图形几何变换图形几何变换错切变换错切变换若若d d、h h不为零，则沿着不为零，则沿着x x轴方向有错切轴方向有错切若若b b、i i不为零，则沿着不为零，则沿着y y轴方向有错切轴方向有错切若若c c、f f不为零，则沿着不为零，则沿着z z轴方向有错切轴方向有错切b b、c c是关于变量是关于变量x x的错切的错切d d、f f是关于变量是关于变量y y的错切的错切h h、i i是关于变量是关于变量z z的错切的错切3.3 图形几何变换图形几何变换三维组合变换三维组合变换3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形

54、几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换例：简单几何体的图形变换例：简单几何体的图形变换式中：式中：T为为所要所要进进行的行的图图形形变换变换矩矩阵阵假定一六面体假定一六面体ABCDEFGH各点的坐标分别为（各点的坐标分别为（x 1,y 1,z 1）,.,(x 8,y 8,z 8)，则经过图形变换后的坐标为：，则经过图形变换后的坐标为：3.3 图形几何变换图形几何变换投影变换投影变换将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的过将三维图形向二维平面上投影生成二维图形表示的过程称为投影变换。程称为投影变换。根据视点的远近，投影分为平行投影和透视投影。当根据视点的远近，投影分为平行投影

55、和透视投影。当投影中心投影中心(观察点观察点)与投影平面之间的距离为无穷远时，与投影平面之间的距离为无穷远时，为平行投影，否则为透视投影。为平行投影，否则为透视投影。透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致透视投影的图形与眼睛观察景物的原理及效果是一致的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影的，因而常用于图形的真实效果显示。由于平行投影后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交后直线间的平行关系不变，因而它常用于三维图形交互和生成工程图的视图。互和生成工程图的视图。3.3 图形几何变换图形几何变换3.3 图形几何变换图形几何变换正投影正投影投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影

56、，正交投影投影方向垂直于投影平面时称为正平行投影，正交投影（也称正投影）是正平行投影的特殊形式，其投影平面相（也称正投影）是正平行投影的特殊形式，其投影平面相互垂直，常用于生成工程图的三视图互垂直，常用于生成工程图的三视图3.3 图形几何变换图形几何变换主视图主视图3.3 图形几何变换图形几何变换俯视图俯视图3.3 图形几何变换图形几何变换侧视图侧视图3.3 图形几何变换图形几何变换轴测投影轴测投影正轴测投影图是工程上应用比较广泛的二维图形，正轴测投影图是工程上应用比较广泛的二维图形，这种投影的投影平面不与轴线垂直，同时可见一个这种投影的投影平面不与轴线垂直，同时可见一个物体的多个面。物体的多

57、个面。正三轴测投影：沿着三个轴线的变形系数各不相同正三轴测投影：沿着三个轴线的变形系数各不相同正二轴测投影：三个轴向系数有正二轴测投影：三个轴向系数有2 2个等同变化个等同变化正等轴测投影：三个轴向系数同时变化正等轴测投影：三个轴向系数同时变化3.3 图形几何变换图形几何变换正轴测投影变换正轴测投影变换3.3 图形几何变换图形几何变换正轴测投影变换正轴测投影变换3.3 图形几何变换图形几何变换正等轴测投影变换正等轴测投影变换正二轴测投影变换正二轴测投影变换三轴夹角：三轴夹角：三轴夹角：三轴夹角：3.3 图形几何变换图形几何变换透视投影变换透视投影变换透视投影的视线（投影线）是从视点（观察点）出

58、发，视线是透视投影的视线（投影线）是从视点（观察点）出发，视线是不平行的。不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点，在坐标不平行的。不平行于投影平面的视线汇聚的一点称为灭点，在坐标轴上的灭点叫做主灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相轴上的灭点叫做主灭点。主灭点数和投影平面切割坐标轴的数量相对应。按照主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和对应。按照主灭点的个数，透视投影可分为一点透视、二点透视和三点透视。三点透视。3.3 图形几何变换图形几何变换透视投影变换透视投影变换透视图是将立体的各顶点做透视变换，然后按顺序连接起来所透视图是将立体的各顶点做透视变换，然后按顺序连接起来所得的

59、投影图，即通过投影中心（视点），将空间立体投射到二维平得的投影图，即通过投影中心（视点），将空间立体投射到二维平面（投影面）上所产生的图形。面（投影面）上所产生的图形。若若p、q、r有两个为零，称一点透视变换有两个为零，称一点透视变换若若p、q、r有一个为零，称两点透视变换有一个为零，称两点透视变换若若p、q、r全不为零，称三点透视变换全不为零，称三点透视变换3.3 图形几何变换图形几何变换一点的透视投影（一点的透视投影（Y Y）物体上沿着某方向相互平行的一组棱线在透视图中不再平行，物体上沿着某方向相互平行的一组棱线在透视图中不再平行，其延长线的交点称为灭点。一点透视只有一个灭点其延长线的交点称为灭点。一点透视只有一个灭点 3.3 图形几何变换图形几何变换两点的透视投影（两点的透视投影（Y Y）3.3 图形几何变换图形几何变换三点的透视投影（三点的透视投影（Y Y）3.3 图形几何变换图形几何变换