新编第三章数列课件

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1、第1节 等差数列与等比数列第三章 数列要点要点疑点疑点考点考点1.1.等差等差(比比)数列的定义数列的定义 如如果果一一个个数数列列从从第第二二项项起起，每每一一项项与与它它的的前前一一项项的的差差(比比)等于同一个常数，等于同一个常数，这这个数列叫做等差个数列叫做等差(比比)数列数列.2.2.通项公式通项公式等差等差an=a1+(n-1)d，等比等比an=a1qn-13.3.等差等差(比比)中项中项如如果果在在a、b中中间间插插入入一一个个数数A，使使a、A、b成成等等差差(比比)数数列列，则则A叫叫a、b的等差的等差(比比)中项中项A(a+b)/2或或Aab 4.4.重要性质：重要性质：a

2、m+anap+aq(等差数列等差数列)amanapaq(等比数列等比数列)m+n=p+q(m、n、p、qN*)特别地特别地m+n=2pam+an2ap(等差数列等差数列)amana2p(等比数列等比数列)课课 前前 热热 身身31D1.观观察察数数列列：30，37，32，35，34，33，36，()，38的的特点，在括号内适当的一个数是特点，在括号内适当的一个数是_.2.若若关关于于x的的方方程程x2-x+a=0和和x2-x+b=0(a,bR且且ab)的的四四个个根组成首项为根组成首项为1/4的等差数列，则的等差数列，则a+b的值为的值为()A.3/8B.11/24C.13/24D.31/72

3、3.3.已知已知b0b0，则，则b=-b=-是是a a、b b、c c成等比数列的成等比数列的()()(A)(A)充分不必要条件充分不必要条件(B)(B)必要不充分条件必要不充分条件 (C)(C)充要条件充要条件 (D)(D)既非充分也非必要条件既非充分也非必要条件A A 5.在在等等差差数数列列an中中，若若a4+a6+a8+a10+a12=120,则则2a10-a12的的值为值为()A.20B.22C.24D.28C4.4.在在等等比比数数列列a an n中中，a a5 5、a a9 9是是方方程程7x7x2 2+18x+7=0+18x+7=0的的两两个个根，则根，则a a7 7()()(

4、A)-1 (B)1 (A)-1 (B)1(C)1 (D)(C)1 (D)以上都不正确以上都不正确A A能力思维方法【解解题题回回顾顾】本本题题是是利利用用等等差差数数列列、等等比比数数列列的的条条件件设设未未知知数数，充充分分分分析析题题设设条条件件中中量量与与量量的的关关系系，从从而而确确定定运运用用哪哪些些条条件件设设未未知知数数，哪哪些些条条件件列列方方程程是是解解这这类类问问题题的的关关键键所在所在.1.四四个个正正数数成成等等差差数数列列，若若顺顺次次加加上上2，4，8，15后后成成等等比比数列，求原数列的四个数数列，求原数列的四个数.2.an是等差数列，且是等差数列，且a1-a4-

5、a8-a12+a15=2，求，求a3+a13的值的值.【解解题题回回顾顾】本本题题若若用用通通项项公公式式将将各各项项转转化化成成a1、d关关系系后后再再求，也是可行的，但运算量求，也是可行的，但运算量较较大大.【解解题题回回顾顾】本本题题将将函函数数、不不等等式式穿穿插插到到数数列列中中考考查查，用用到到了数学中重要的思想方法了数学中重要的思想方法.3.已已知知点点An(n,an)为为函函数数F1 y=x2+1上上的的点点，Bn(n,bn)为为函函数数F2 y=x上的点，其中上的点，其中nN+，设，设cn=an-bn(nN+).(1)求证：数列求证：数列cn既不是等差数列也不是等比数列；既不

6、是等差数列也不是等比数列；(2)试比较试比较cn与与cn+1的大小的大小.【解题回顾】本题对【解题回顾】本题对sin2a2降次非常关键，不宜盲目积化和差降次非常关键，不宜盲目积化和差4.若若a1，a2，a3成成等等差差数数列列，公公差差为为d；sina1，sina2，sina3成等比数列，公比为成等比数列，公比为q，则公差，则公差d=k，kZ延伸拓展【解解题题回回顾顾】依依定定义义或或通通项项公公式式，判判定定一一个个数数列列为为等等差差或或等等比数列，这是数列中的基本问题之一比数列，这是数列中的基本问题之一.5.数列数列an与与bn的通项公式分别为的通项公式分别为an=2n，bn=3n+2，

7、它们的，它们的公共项由小到大排成的数列是公共项由小到大排成的数列是cn.写出写出cn的前的前5项项.证明证明cn是等比数列是等比数列.误解分析2.延延伸伸拓拓展展5中中，证证明明一一个个数数列列是是等等比比数数列列(或或等等差差数数列列)，用有限项作比用有限项作比(差差)得出常数是典型错误，应用得出常数是典型错误，应用an+1与与an关系关系.1.在在用用性性质质m+n=p+q则则am+an=ap+aq时时，如如果果看看不不清清下下标标关关系，常会出现错误系，常会出现错误.第2节 等差、等比数列的通项及求和公式要点要点疑点疑点考点考点3.在在等等差差(比比)数数列列中中，Sn，S2n-Sn，S

8、3n-S2n，Skn-S(k-1)n成等差成等差(比比)数列数列.其中其中Sn为前为前n项的和项的和.1.等差数列前等差数列前n项和项和等比数列前等比数列前n项和项和2.如果某个数列前如果某个数列前n项和为项和为Sn，则，则2.已已知知等等差差数数列列an的的前前n项项和和为为Sn，若若a4=18-a5，则则S8等等于（于（）A.18B.36C.54D.72课课 前前 热热 身身1.在在某某报报自自测测健健康康状状况况的的报报道道中中，自自测测血血压压结结果果与与相相应应年年龄龄的的统统计计数数据据如如下下表表，观观察察表表中中数数据据的的特特点点，用用适适当当的的数数填入表中空白填入表中空白

9、()内内.年龄年龄年龄年龄(岁岁岁岁)30 35 40 45 50 55 60 6530 35 40 45 50 55 60 65收缩压收缩压收缩压收缩压(水银柱水银柱水银柱水银柱 毫米毫米毫米毫米)110 115 120 125 130 135 (110 115 120 125 130 135 ()145)145舒张压舒张压舒张压舒张压(水银柱水银柱水银柱水银柱 毫米毫米毫米毫米)70 73 75 78 80 83 (70 73 75 78 80 83 ()88)8814085D5.在在等等差差数数列列an中中，a2+a4=p，a3+a5=q则则其其前前6项项的的和和S6为为()(A)5(p

10、+q)/4(B)3(p+q)/2(C)p+q(D)2(p+q)4.等等比比数数列列an前前n项项的的乘乘积积为为Tn，若若Tn=1，T2n=2，则则T3n的的值为值为()()(A)3 (B)4 (C)7 (D)8(A)3 (B)4 (C)7 (D)8DB3.设设an是是公公比比为为q的的等等比比数数列列，Sn是是它它的的前前n项项和和.若若Sn是等差数列，是等差数列，则则q=_1能力思维方法1.设设数数列列an的的前前n项项和和为为Sn=2n2+3n+2，求求通通项项an的的表表达达式，并指出此数列是否为等差数列式，并指出此数列是否为等差数列.【解解题题回回顾顾】公公式式 给给出出了了数数列列

11、的的项项与和之与和之间间的关系，很重要的关系，很重要.在利用在利用这这个关系个关系时时必必须须注意：注意：(1)公式公式对对任何数列都适用；任何数列都适用；(2)n1的情形要的情形要单单独独讨论讨论.2.已已知知等等比比数数列列an的的公公比比为为q，前前n项项的的和和为为Sn，且且S3，S9，S6成等差数列成等差数列.(1)求求q3的值；的值；(2)求证求证a2，a8，a5成等差数列成等差数列.【解解题题回回顾顾】本本题题方方法法较较多多，用用等等比比数数列列Sn公公式式时时一一定定要要注注意讨论意讨论q.【解【解题题回回顾顾】在等差数列】在等差数列an中：中：(1)项项数数为为2n时时，则

12、则S偶偶-S奇奇nd，S奇奇/S偶偶an/an+1；(2)项项数数为为2n-1时时，则则S奇奇-S偶偶an，S奇奇/S偶偶n/(n-1)，S2n-1=(2n-1)an，当，当an为为等比数列等比数列时时其其结论结论可可类类似推似推导导得出得出3.一一个个等等差差数数列列的的前前12项项和和为为354，前前12项项中中偶偶数数项项和和与与奇奇数项和之比为数项和之比为32 27，求公差，求公差d.4.已已知知数数列列an的的前前n项项和和Sn=32n-n2，求求数数列列|an|的的前前n项项和和Sn【解题回顾】【解题回顾】一一般般地地，数数列列an与与数数列列|an|的的前前n项项和和Sn与与：当

13、当ak0时，有时，有；当；当ak0时，时，(k=1，2，n).若在若在a1，a2,，an中中，有有一一些些项项不不小小于于零零，而而其其余余各各项项均均小小于于零零，设其和分别为设其和分别为S+、S-，则有，则有Sn=S+S-，所以，所以【解解题题回回顾顾】这这是是一一道道高高考考题题，开开放放程程度度较较大大，要要注注意意含含有有字母的代数式的运算，特字母的代数式的运算，特别别要注意要注意对对公比公比q=1的的讨论讨论.延伸拓展5.数列数列an是由正数组成的等比数列，是由正数组成的等比数列，Sn为前为前n项的和，是否项的和，是否存在正常数存在正常数c，使得，使得对对任意的任意的nN+成立成立

14、?并证明你的结论并证明你的结论.误解分析1.用用公公式式an=Sn-Sn-1解解决决相相关关问问题题时时，一一定定要要注注意意条条件件n2，因，因n=1时，时，a1=S1.2.等比数列的和或利用等比数列求和公式等比数列的和或利用等比数列求和公式 解解题时，若忽视题时，若忽视q=1的讨论的讨论.常会招致常会招致“对而不全对而不全”.第3节 等差、等比数列的运用要点要点疑点疑点考点考点1.差数列前差数列前n项和的最值项和的最值设设Sn是是an的前的前n项和，则项和，则an为等差数列为等差数列Sn=An2+Bn，其中，其中A、B是常数是常数.an为等差数列，为等差数列，若若a10，d0，则，则Sn有

15、最大值，有最大值，n可由可由确定确定若若a10，d0，则，则Sn有最小值，有最小值，n可由可由确定确定.an 0an+10an0an+102.递推数列递推数列可用可用an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1)或或 求数列的通项公式求数列的通项公式.课课 前前 热热 身身1.an为为等等比比数数列列，bn为为等等差差数数列列，且且b1=0,Cnan+bn，若若 数数 列列 Cn是是 1，1，5，则则 Cn的的 前前 10项项 和和 为为_.2.如如果果b是是a，c的的等等差差中中项项，y是是x与与z的的等等比比中中项项，且且x，y，z都是正数，则都是正数，则(b-c)logm

16、x+(c-a)logmy+(a-b)logmz=_.3.下列命题中正确的是下列命题中正确的是()A.数列数列an的前的前n项和是项和是Sn=n2+2n-1，则，则an为等差数列为等差数列B.数数列列an的的前前n项项和和是是Sn=3n-c，则则c=1是是an为为等等比比数数列列的充要条件的充要条件C.数列既是等差数列，又是等比数列数列既是等差数列，又是等比数列D.等比数列等比数列an是递增数列，则公比是递增数列，则公比q大于大于190或或294340B4.等等差差数数列列an中中，a10，且且3a8=5a13，则则Sn中中最最大大的的是是()(A)S10(B)S11(C)S20(D)S21 5

17、.等等差差数数列列an中中，Sn为为数数列列前前n项项和和，且且Sn/Smn2/m2(nm)，则，则an/am值为值为()(A)m/n (B)(2m-1)/n (C)2n/(2n-1)(D)(2n-1)/(2m-1)CD能力思维方法【解解题题回回顾顾】这这是是2000年年高高考考题题，因因是是填填空空题题，本本题题也也可由条件求出可由条件求出a1=1，a2=1/2，a3=1/3，a4=1/4后，猜想后，猜想an=1/n1.设设an是首项为是首项为1的正项数列，且的正项数列，且(n+1)a2n+1-na2n+an+1an=0(n=1,2,3,)，则它的通项公式是，则它的通项公式是an=1/n.2

18、.一一个个首首项项为为正正数数的的等等差差数数列列中中，前前3项项和和等等于于前前11项项和和，问此数列前多少项的和最大问此数列前多少项的和最大?【解解题题回回顾顾】另另外外，本本例例还还可可通通过过考考查查项项的的符符号号确确定定n取取何何值值时时Sn取取得得最最大大值值，即即寻寻求求这这样样的的一一项项：使使得得这这项项及及它它前前面面所所有有项项皆皆取取正正值值或或0，而而它它后后面面所所有有各各项项皆皆取取负负值值，则则第第一一项项起起到到该该项项的的和和为为最最大大.这这是是寻寻求求Sn最最大大值值或或最最小小值值的的基基本本方方法法之之一一.还还有有在在学学习习研研究究中中我我们们

19、不不难难发发现现在在等等差差数数列列an中中，若若a10，且且Sp=Sq(pq)，(1)当当p+q为为偶偶数数时时，则则n=p+q2时时，Sn取取得得最最大大值值；(2)当当p+q为为奇奇数数时时，则则n=p+q-12或或p+q+12时时Sn取得最大值这一规律取得最大值这一规律.3.已已知知等等比比数数列列an的的首首项项a10，公公比比q0.设设数数列列bn的的通通项项bn=an+1+an+2(nN*)，数数列列an与与bn的的前前n项项和和分分别别记为记为An与与Bn，试比较，试比较An与与Bn的大小的大小.【解解题题回回顾顾】遇遇到到涉涉及及等等比比数数列列的的和和的的问问题题时时，要要

20、根根据据题题意意作作具具体体分分析析，不不要要贸贸然然使使用用求求和和公公式式，如如本本例例就就是是直直接接利利用用数数列列前前n项项和和的的定定义义，从从而而避避免免了了运运用用求求和和公公式式所所带带来来的繁杂运算的繁杂运算.【解解题题回回顾顾】本本例例解解法法一一是是依依据据等等差差数数列列均均匀匀分分段段求求和和后后组组成成的的数数列列仍仍为为等等差差数数列列；解解法法二二是是依依据据等等差差数数列列的的前前n n项项的的算算术术平平均均数数组组成成的的数数列列仍仍为为等等差差数数列列；解解法法三三是是利利用用数数列列的的求求和和定定义义及及等等差差数数列列中中两两项项的的关关系系，熟

21、熟记记等等差差数数列列的的这些性质常可起到简化解题过程的作用这些性质常可起到简化解题过程的作用.4.设设等等差差数数列列an的的前前n项项和和为为Sn，且且S10=100，S100=10，试试求求S110.延伸拓展【解解题题回回顾顾】题题设设中中有有a1+2a2+nan，应应将将其其看看做做数数列列nan的的和和Sn而而本本题题要要证证an+1-an为为常常数数，故故应应在在等等式式中中消消去去a1+2a2+(n-1)an-1，即即消消去去Sn-1，因因此此，利利用用Sn-Sn-1，就就达达到到了了用用bn中中的的项项表表示示an的的目目的的.作作差差法法是是解解决决与与数列和有关的问题的常用

22、方法数列和有关的问题的常用方法.5.已已知知数数列列an和和bn满满足足(nN+)，试试证证明明：an成成等等差差数数列列的的充充分分条条件件是是bn成成等等差差数列数列.1.在在利利用用an0，an+10或或an0、an+10求求等等差差数数列列前前n项项和和Sn的最值时，符号不能丢掉的最值时，符号不能丢掉.误解分析2.在在能能力力思思维维方方法法4中中，如如果果数数不不清清项项数数，看看不不清清下下标，将会出错标，将会出错.第4节 等差、等比数列的应用要点要点疑点疑点考点考点1.复利公式复利公式按按复复利利计计算算利利息息的的一一种种储储蓄蓄，本本金金为为a元元，每每期期利利率为率为r，存

23、期为，存期为x，则本利和，则本利和y=a(1+r)x2.2.产值模型产值模型 原原来来产产值值的的基基础础数数为为N，平平均均增增长长率率为为p，对对于于时时间间x的总产值的总产值y=N(1+p)x 3.3.单利公式单利公式利利息息按按单单利利计计算算，本本金金为为a元元，每每期期利利率率为为r，存存期为期为x，则本利和，则本利和y=a(1+xr)1.某某种种细细胞胞开开始始有有2个个，1小小时时后后分分裂裂成成4个个并并死死去去一一个个，2小小时时后后分分裂裂成成6个个并并死死去去1个个，3小小时时后后分分裂裂成成10个个并并死死去去一一个个，按按此此规规律律，6小小时时后后细细胞胞存存活活

24、的的个个数数是是()(A)63(B)65(C)67(D)71课课 前前 热热 身身2.某产品的成本每年降低某产品的成本每年降低q%，若三年后成本是，若三年后成本是a元，元，则现在的成本是则现在的成本是()(A)a(1+q%)3元元(B)a(1-q%)3元元(C)a(1-q%)-3元元(D)a(1+q%)-3元元3.某某债债券券市市场场发发行行的的三三种种债债券券：A种种面面值值100元元，一一年年到到期期本本利利共共获获103元元B种种面面值值50元元，半半年年到到期期，本本利利共共50.9元元，C种种面面值值为为100元元，但但买买入入时时只只需需付付97元元，一一年年到到期期拿拿回回100

25、元元，则则三三种种投投资资收收益益比比例例便便从小到大排列为从小到大排列为()(A)BAC (B)ACB(C)ABC (D)CABBCBD根据某市城区家庭抽样调查统计，根据某市城区家庭抽样调查统计，2019得初至得初至2019年年底，每户家庭消费支出总额每年平均增加底，每户家庭消费支出总额每年平均增加680元，其中元，其中食品消费支出总额每年平均增加食品消费支出总额每年平均增加100元元.2019年初该市年初该市城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额城区家庭刚达到小康，且该年每户家庭消费支出总额为为8600元，则该市城区家庭达到富裕的是元，则该市城区家庭达到富裕的是()(A)2019年

26、底年底(B)2000年底年底(C)2019年底年底(D)2019年年底底4.国国际际上上常常用用恩恩格格尔尔系系数数(记记作作n)来来衡衡量量一一个个国国家家和和地区人民生活水平的状况，它的计算公式为地区人民生活水平的状况，它的计算公式为，各种类型家庭的各种类型家庭的n如下表所示：如下表所示：食品消费支出总额食品消费支出总额消费支出总额消费支出总额n=100%n30%n30%最富裕最富裕最富裕最富裕 30%30%n40%n40%富富富富 裕裕裕裕 40%40%n50%n50%小小小小 康康康康 50%50%n60%n60%温温温温 饱饱饱饱 n n60%60%贫贫贫贫 困困困困 n n家庭家庭

27、家庭家庭类型类型类型类型 5.某某林林场场年年初初有有森森林林木木材材存存量量Sm3，木木材材以以每每年年25%的的增增长长率率生生长长，而而每每年年末末要要砍砍伐伐固固定定的的木木材材量量为为xm3.为为实实现现经经过过2次次砍砍伐伐以以后后木木材材存存量量增增长长50%，则则x的值应是的值应是()(A)(B)(C)(D)C能力思维方法1.一一梯梯形形的的上上、下下底底长长分分别别是是12cm，22cm，若若将将梯梯形形的的一一腰腰10等等分分，过过每每一一个个分分点点作作平平行行于于底底边边的的直直线线，求求这这些些直直线夹在两腰之间的线段的长度的和线夹在两腰之间的线段的长度的和.【解解题

28、题回回顾顾】本本题题易易误误认认为为答答案案是是187cm，即即将将梯梯形形的的上上、下底也算在了其中下底也算在了其中.2.某某电电子子管管厂厂2019年年全全年年生生产产真真空空电电子子管管50万万个个，计计划划从从2019年年开开始始每每年年的的产产量量比比上上一一年年增增长长20%，问问从从哪哪一一年年开开始始，该该厂厂的的真真空空电电子子管管年年产产量量超超过过200万个万个?【解题回顾】本题容易忽视不等式【解题回顾】本题容易忽视不等式1.2n-150200.3.某某村村2019年年底底全全村村共共有有1000人人，全全年年工工农农业业总总产产值值为为840万元万元.(1)若若从从20

29、19年年起起该该村村每每年年的的工工农农业业总总产产值值较较上上年年增增加加14万万元元，每每年年人人口口较较上上年年净净增增数数相相同同，要要使使该该村村人人均均产产值值年年年年都都增增长长，那那么么该该村村每每年年人人口口的的净净增增不不超过多少人超过多少人?(2)若若从从2019年年起起该该村村每每年年工工农农业业总总产产值值较较上上年年增增长长10%，每每年年人人口口较较上上年年净净增增10人人，则则到到2019年年该该村村能能否否实实现现年年人人均均产产值值较较2019年年翻翻一一番番(增增加加一一倍倍)的的经济发展目标经济发展目标?【解题回顾】本题【解题回顾】本题(2)用到了近似估

30、算法用到了近似估算法.【解解题题回回顾顾】本本题题第第(1)小小题题得得到到1.2n=7/3后后，也也可可通通过过两两边边取对数求取对数求n，同理第，同理第(2)小题得小题得1.2n6后，也可两边取对数后，也可两边取对数.4.某某林林场场去去年年有有木木材材贮贮量量2万万m3，从从今今年年开开始始，林林场场加加大大了了对对生生产产的的投投入入量量，预预测测林林场场的的木木材材贮贮量量将将以以每每年年20%的的速速度度增增长长，每每年年年年底底砍砍伐伐1000m3的的木木材材出出售售作作为为再再生生产产的的资资金金补贴，问：补贴，问：(1)多少年后木材贮量达到翻番的目标多少年后木材贮量达到翻番的

31、目标?(2)多少年后木材贮量达到翻两番的目标多少年后木材贮量达到翻两番的目标?延伸拓展【解解题题回回顾顾】从从数数字字角角度度看看，本本例例是是解解决决与与数数列列有有关关的的应应用用问问题题.必必须须认认真真审审题题，弄弄清清题题意意，解解决决问问题题的的关关键键在在于于理解复利的概念及其运算，形成用数学的意识理解复利的概念及其运算，形成用数学的意识.5.某某下下岗岗职职工工准准备备开开办办一一个个商商店店，要要向向银银行行贷贷款款若若干干，这这笔笔贷贷款款按按复复利利计计算算(即即本本年年利利息息计计入入下下一一年年的的本本金金生生息息)，利利率率为为q(0q1).据据他他估估算算，贷贷款

32、款后后每每年年可可偿偿还还A元元，30年年后后还清还清.求贷款金额；求贷款金额；若若贷贷款款后后前前7年年暂暂不不偿偿还还，从从第第8年年开开始始，每每年年偿偿还还A元元，仍仍然然在在贷贷款款后后30年年还还清清，试试问问：这这样样一一来来，贷贷款款金金额额比比原原贷款金额要少多少元贷款金额要少多少元?1.数数列列应应用用题题的的误误解解往往往往是是由由审审题题不不清清，误误解解题题意意引引起的，因此仔细审题，准确地找出模型是解题关键起的，因此仔细审题，准确地找出模型是解题关键.误解分析2.数列应用题的计算往往较复杂，需认真仔细数列应用题的计算往往较复杂，需认真仔细.第5节 数列的通项与求和要

33、点要点疑点疑点考点考点求数列的前求数列的前n项和项和Sn，重点应掌握以下几种方法：重点应掌握以下几种方法：1.1.倒倒序序相相加加法法：如如果果一一个个数数列列an，与与首首末末两两项项等等距距的的两两项项之之和和等等于于首首末末两两项项之之和和，可可采采用用把把正正着着写写和和与与倒倒着着写写和和的的两两个个和和式式相相加加，就就得得到到一一个个常常数数列列的的和和，这这一一求求和和的的方方法法称称为为倒倒序序相相加法加法.2.2.错错位位相相减减法法：如如果果一一个个数数列列的的各各项项是是由由一一个个等等差差数数列列与与一一个个等比数列对应项乘积组成，此时求和可采用错位相减法等比数列对应

34、项乘积组成，此时求和可采用错位相减法.3.3.分分组组转转化化法法：把把数数列列的的每每一一项项分分成成两两项项，或或把把数数列列的的项项“集集”在在一一块块重重新新组组合合，或或把把整整个个数数列列分分成成两两部部分分，使使其其转转化化为为等等差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法差或等比数列，这一求和方法称为分组转化法.4.4.裂裂项项相相消消法法：把把数数列列的的通通项项拆拆成成两两项项之之差差，即即数数列列的的每每一一项项都都可可按按此此法法拆拆成成两两项项之之差差，在在求求和和时时一一些些正正负负项项相相互互抵抵消消，于于是前是前n项的和变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称项的和

35、变成首尾若干少数项之和，这一求和方法称为裂项相消法为裂项相消法.5.公公式式法法求求和和：所所给给数数列列的的通通项项是是关关于于n的的多多项项式式，此此时时求求和可采用公式法求和，常用的公式有：和可采用公式法求和，常用的公式有：课课 前前 热热 身身1.数列数列an的前的前n项和项和Sn=n2+1，则，则an=_.2.已已 知知 an的的 前前 n项项 和和 Sn=n2-4n+1，则则|a1|+|a2|+|a10|=()(A)67(B)65(C)61(D)563.一一个个项项数数是是偶偶数数的的等等比比数数列列，它它的的偶偶数数项项的的和和是是奇奇数数项项和和的的2倍倍，又又它它的的首首项项

36、为为1，且且中中间间两两项项的的和和为为24，则则此此等等比数列的项数为比数列的项数为()(A)12(B)10(C)8(D)6AC5.数列数列的前的前n项之和项之和为为Sn，则，则Sn的值得等于的值得等于()(A)(B)(C)(D)4.计计算算机机是是将将信信息息转转换换成成二二进进制制进进行行处处理理的的，二二进进制制即即“逢逢2进进1”，如如(1101)2表表示示二二进进制制数数，将将它它转转换换成成十十进进制制形形式式是是123+122+021+120=13，那那么么将将二二进进制制数数(11111)2位转换成十进制形式是位转换成十进制形式是()(A)217-2(B)216-2(C)21

37、6-1(D)215-116CA能力思维方法1.求下列各数列前求下列各数列前n项的和项的和Sn：(1)14，25，36，n(n+3)(2)(3)【解解题题回回顾顾】对对类类似似数数列列(3)的的求求和和问问题题，我我们们可可以以推推广广到一般情况：设到一般情况：设an是公差为是公差为d的等差数列，则有的等差数列，则有特别地，以下等式都是特别地，以下等式都是式的具体应用：式的具体应用：上述方法也称为上述方法也称为“升次裂项法升次裂项法”.；2.求求数数列列a，2a2，3a3，nan，(a为为常常数数)的的前前n项项的和的和.【解解题题回回顾顾】若若一一个个数数列列的的各各项项是是由由一一个个等等差

38、差数数列列与与一一个个等等比比数数列列的的对对应应项项乘乘积积组组成成，则则求求此此数数列列的的前前n n项项和和多多采采用用错错位相减法位相减法【解解题题回回顾顾】当当本本题题解解出出Sn+1/Sn=(n+1)2/(n+2)n，下下面面要要想想到到迭迭代代法法求求Sn，(即即选选乘乘)，同同样样如如得得出出Sn+1-Sn=f(n)，可用迭差，可用迭差.3.已已知知数数列列an中中的的a1=1/2，前前n项项和和为为Sn若若Sn=n2an，求求Sn与与an的表达式的表达式.4若数列若数列an中，中，an=-2n-(-1)n，求，求S10和和S99【解解题题回回顾顾】若若构构成成数数列列的的项项

39、中中含含有有(-1)n，则则在在求求和和Sn时，一般要考虑时，一般要考虑n是奇数还是偶数是奇数还是偶数.延伸拓展5.在数列在数列an中，中，an0，2Sn=an+1(nN)求求Sn和和an的表达式；的表达式；求证：求证：【解题回顾】利用【解题回顾】利用，再用裂项法求和，再用裂项法求和.利用利用此此法法求求和和时时，要要细细心心观观察察相相消消的的规规律律，保保留留哪哪些些项项等等.必必要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项要时可适当地多写一些项，防止漏项或增项.误解分析2求求数数列列前前n项项和和时时，一一定定要要数数清清项项数数，选选好好方方法法，否否则易错则易错1.求数列通项时，漏掉求数列通项时，漏掉n=1时的验证是致命错误时的验证是致命错误.