导数高考真题1及答案

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1、内装订线学校:_姓名：_班级：_考号：_外装订线绝密启用前2018年09月03日一中的高中数学组卷试卷副标题考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx题号一二三总分得分注意事项：1答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2请将答案正确填写在答题卡上第卷（选择题）请点击修改第I卷的文字说明 评卷人 得 分 一选择题（共9小题）1函数f（x）=的图象大致为（）ABCD2若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1）处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（）A1B0CD13设函数f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay

2、=2xBy=xCy=2xDy=x4若x=2是函数f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则f（x）的极小值为（）A1B2e3C5e3D15在数列an中，an=（）n，nN*，则an（）A等于B等于0C等于D不存在6已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=（）A4B2C4D27若函数f（x）=xsin2x+asinx在（，+）单调递增，则a的取值范围是（）A1，1B1，C，D1，8若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x39设直线l1，l2分别是函数f

3、（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面积的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（0，+）D（1，+）第卷（非选择题）请点击修改第卷的文字说明 评卷人 得 分 二填空题（共14小题）10曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a= 11曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为 12曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为 13已知函数f（x）=exlnx，f（x）为f（x）的导函数，则f（1）的值为 14已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是 15若函数f（x

4、）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为 16若曲线的切线l与直线平行，则l的方程为 17已知aR，设函数f（x）=axlnx的图象在点（1，f（1）处的切线为l，则l在y轴上的截距为 18曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为 19已知函数f（x）=x32x+ex，其中e是自然对数的底数若f（a1）+f（2a2）0则实数a的取值范围是 20已知函数f（x）=（2x+1）ex，f（x）为f（x）的导函数，则f（0）的值为 21已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是 22

5、已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是 23若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b= 评卷人 得 分 三解答题（共26小题）24已知函数f（x）=aexlnx1（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a时，f（x）025已知函数f（x）=（1）求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：当a1时，f（x）+e026已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a

6、27已知函数f（x）=lnx（）若f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点28设函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围29已知函数f（x）=x3a（x2+x+1）（1）若a=3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点30设函数f（x）=ax2（3a+1）x+3a+2ex（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为

7、0，求a；（）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围31已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a232已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a=0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a33已知函数f（x）=ax，g（x）=logax，其中a1（）求函数h（x）=f（x）xlna的单调区间；（）若曲线y=f（x）在点（x1，f（x1）处的切线与曲线y=g（x）在点（x2，g（x2）处的切线平行，证明x1+g（x2）=；（）证明当ae时，存在直

8、线l，使l是曲线y=f（x）的切线，也是曲线y=g（x）的切线34已知函数f（x）=x3+ax2+bx+1（a0，bR）有极值，且导函数f（x）的极值点是f（x）的零点（）求b关于a的函数关系式，并写出定义域；（）证明：b23a；（）若f（x），f（x）这两个函数的所有极值之和不小于，求实数a的取值范围35已知函数f（x）=ex（exa）a2x（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）0，求a的取值范围36已知函数f（x）=excosxx（1）求曲线y=f（x）在点（0，f（0）处的切线方程；（2）求函数f（x）在区间0，上的最大值和最小值37已知函数f（x）=ax33（a+1）x2+12x

9、（1）当a0时，求f（x）的极小值；（）当a0时，讨论方程f（x）=0实根的个数38已知函数f（x）=ax2axxlnx，且f（x）0（1）求a；（2）证明：f（x）存在唯一的极大值点x0，且e2f（x0）2239已知函数f（x）=（x）ex（x）（1）求f（x）的导函数；（2）求f（x）在区间，+）上的取值范围40已知函数f（x）=lnx+ax2+（2a+1）x（1）讨论f（x）的单调性；（2）当a0时，证明f（x）241已知函数f（x）=ae2x+（a2）exx（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）有两个零点，求a的取值范围42已知函数f（x）=x1alnx（1）若f（x）0，求a的

10、值；（2）设m为整数，且对于任意正整数n，（1+）（1+）（1+）m，求m的最小值43设aZ，已知定义在R上的函数f（x）=2x4+3x33x26x+a在区间（1，2）内有一个零点x0，g（x）为f（x）的导函数（）求g（x）的单调区间；（）设m1，x0）（x0，2，函数h（x）=g（x）（mx0）f（m），求证：h（m）h（x0）0；（）求证：存在大于0的常数A，使得对于任意的正整数p，q，且1，x0）（x0，2，满足|x0|44设函数f（x）=（1x2）ex（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）ax+1，求a的取值范围45已知函数f（x）=x2+2cosx，g（x）=ex（c

11、osxsinx+2x2），其中e2.71828是自然对数的底数（）求曲线y=f（x）在点（，f（）处的切线方程；（）令h（x）=g （x）a f（x）（aR），讨论h（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值46设a，bR，|a|1已知函数f（x）=x36x23a（a4）x+b，g（x）=exf（x）（）求f（x）的单调区间；（）已知函数y=g（x）和y=ex的图象在公共点（x0，y0）处有相同的切线，（i）求证：f（x）在x=x0处的导数等于0；（ii）若关于x的不等式g（x）ex在区间x01，x0+1上恒成立，求b的取值范围47已知函数f（x）=x3ax2，aR，（1）当a=2时，求曲

12、线y=f（x）在点（3，f（3）处的切线方程；（2）设函数g（x）=f（x）+（xa）cosxsinx，讨论g（x）的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值48设函数f（x）=lnxx+1（1）讨论f（x）的单调性；（2）证明当x（1，+）时，1x；（3）设c1，证明当x（0，1）时，1+（c1）xcx49已知函数f（x）=ax+bx（a0，b0，a1，b1）（1）设a=2，b=求方程f（x）=2的根；若对于任意xR，不等式f（2x）mf（x）6恒成立，求实数m的最大值；（2）若0a1，b1，函数g（x）=f（x）2有且只有1个零点，求ab的值试卷第7页，总8页本卷由系统自动生成，请仔细校对后

13、使用，答案仅供参考。2018年09月03日一中的高中数学组卷参考答案与试题解析一选择题（共9小题）1函数f（x）=的图象大致为（）ABCD【分析】判断函数的奇偶性，利用函数的定点的符号的特点分别进行判断即可【解答】解：函数f（x）=f（x），则函数f（x）为奇函数，图象关于原点对称，排除A，当x=1时，f（1）=e0，排除D当x+时，f（x）+，排除C，故选：B【点评】本题主要考查函数的图象的识别和判断，利用函数图象的特点分别进行排除是解决本题的关键2若函数f（x）=ax2+1图象上点（1，f（1）处的切线平行于直线y=2x+1，则a=（）A1B0CD1【分析】求得函数f（x）的导数，可得切线

14、的斜率，再由两直线平行的条件：斜率相等，解方程可得a的值【解答】解：函数f（x）=ax2+1的导数为f（x）=2ax，可得点（1，f（1）处的切线斜率为2a，由点（1，f（1）处的切线平行于直线y=2x+1，可得2a=2，解得a=1，故选：D【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率，注意运用两直线平行的条件和方程思想，属于基础题3设函数f（x）=x3+（a1）x2+ax若f（x）为奇函数，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为（）Ay=2xBy=xCy=2xDy=x【分析】利用函数的奇偶性求出a，求出函数的导数，求出切线的向量然后求解切线方程【解答】解：函数f（x）=x3+（a1）x2

15、+ax，若f（x）为奇函数，可得a=1，所以函数f（x）=x3+x，可得f（x）=3x2+1，曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线的斜率为：1，则曲线y=f（x）在点（0，0）处的切线方程为：y=x故选：D【点评】本题考查函数的奇偶性以及函数的切线方程的求法，考查计算能力4若x=2是函数f（x）=（x2+ax1）ex1的极值点，则f（x）的极小值为（）A1B2e3C5e3D1【分析】求出函数的导数，利用极值点，求出a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即可【解答】解：函数f（x）=（x2+ax1）ex1，可得f（x）=（2x+a）ex1+（x2+ax1）ex1，x=2是函数f（x）=（x

16、2+ax1）ex1的极值点，可得：f（2）=（4+a）e3+（42a1）e3=0，即4+a+（32a）=0解得a=1可得f（x）=（2x1）ex1+（x2x1）ex1，=（x2+x2）ex1，函数的极值点为：x=2，x=1，当x2或x1时，f（x）0函数是增函数，x（2，1）时，函数是减函数，x=1时，函数取得极小值：f（1）=（1211）e11=1故选：A【点评】本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力5在数列an中，an=（）n，nN*，则an（）A等于B等于0C等于D不存在【分析】根据极限的定义，求出an=的值【解答】解：数列an中，an=（）n，nN*，

17、则an=0故选：B【点评】本题考查了极限的定义与应用问题，是基础题6已知a为函数f（x）=x312x的极小值点，则a=（）A4B2C4D2【分析】可求导数得到f（x）=3x212，可通过判断导数符号从而得出f（x）的极小值点，从而得出a的值【解答】解：f（x）=3x212；x2时，f（x）0，2x2时，f（x）0，x2时，f（x）0；x=2是f（x）的极小值点；又a为f（x）的极小值点；a=2故选：D【点评】考查函数极小值点的定义，以及根据导数符号判断函数极值点的方法及过程，要熟悉二次函数的图象7若函数f（x）=xsin2x+asinx在（，+）单调递增，则a的取值范围是（）A1，1B1，C，

18、D1，【分析】求出f（x）的导数，由题意可得f（x）0恒成立，设t=cosx（1t1），即有54t2+3at0，对t讨论，分t=0，0t1，1t0，分离参数，运用函数的单调性可得最值，解不等式即可得到所求范围【解答】解：函数f（x）=xsin2x+asinx的导数为f（x）=1cos2x+acosx，由题意可得f（x）0恒成立，即为1cos2x+acosx0，即有cos2x+acosx0，设t=cosx（1t1），即有54t2+3at0，当t=0时，不等式显然成立；当0t1时，3a4t，由4t在（0，1递增，可得t=1时，取得最大值1，可得3a1，即a；当1t0时，3a4t，由4t在1，0）递

19、增，可得t=1时，取得最小值1，可得3a1，即a综上可得a的范围是，另解：设t=cosx（1t1），即有54t2+3at0，由题意可得54+3a0，且543a0，解得a的范围是，故选：C【点评】本题考查导数的运用：求单调性，考查不等式恒成立问题的解法，注意运用参数分离和换元法，考查函数的单调性的运用，属于中档题8若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则称y=f（x）具有T性质下列函数中具有T性质的是（）Ay=sinxBy=lnxCy=exDy=x3【分析】若函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数

20、上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，进而可得答案【解答】解：函数y=f（x）的图象上存在两点，使得函数的图象在这两点处的切线互相垂直，则函数y=f（x）的导函数上存在两点，使这点的导函数值乘积为1，当y=sinx时，y=cosx，满足条件；当y=lnx时，y=0恒成立，不满足条件；当y=ex时，y=ex0恒成立，不满足条件；当y=x3时，y=3x20恒成立，不满足条件；故选：A【点评】本题考查的知识点是利用导数研究曲线上某点切线方程，转化思想，难度中档9设直线l1，l2分别是函数f（x）=图象上点P1，P2处的切线，l1与l2垂直相交于点P，且l1，l2分别与y轴相交于点A，B，则PAB的面

21、积的取值范围是（）A（0，1）B（0，2）C（0，+）D（1，+）【分析】设出点P1，P2的坐标，求出原分段函数的导函数，得到直线l1与l2的斜率，由两直线垂直求得P1，P2的横坐标的乘积为1，再分别写出两直线的点斜式方程，求得A，B两点的纵坐标，得到|AB|，联立两直线方程求得P的横坐标，然后代入三角形面积公式，利用基本不等式求得PAB的面积的取值范围【解答】解：设P1（x1，y1），P2（x2，y2）（0x11x2），当0x1时，f（x）=，当x1时，f（x）=，l1的斜率，l2的斜率，l1与l2垂直，且x2x10，即x1x2=1直线l1：，l2：取x=0分别得到A（0，1lnx1），B（

22、0，1+lnx2），|AB|=|1lnx1（1+lnx2）|=|2（lnx1+lnx2）|=|2lnx1x2|=2联立两直线方程可得交点P的横坐标为x=，|AB|xP|=函数y=x+在（0，1）上为减函数，且0x11，则，PAB的面积的取值范围是（0，1）故选：A【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，训练了利用基本不等式求函数的最值，考查了数学转化思想方法，属中档题二填空题（共14小题）10曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，则a=3【分析】球心函数的导数，利用切线的斜率列出方程求解即可【解答】解：曲线y=（ax+1）ex，可得y=aex+（ax+1）ex

23、，曲线y=（ax+1）ex在点（0，1）处的切线的斜率为2，可得：a+1=2，解得a=3故答案为：3【点评】本题考查函数的导数的应用切线的斜率的求法，考查转化思想以及计算能力11曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x2【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=1的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=2lnx，y=，当x=1时，y=2曲线y=2lnx在点（1，0）处的切线方程为y=2x2故答案为：y=2x2【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基

24、础题12曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x【分析】欲求出切线方程，只须求出其斜率即可，故先利用导数求出在x=0处的导函数值，再结合导数的几何意义即可求出切线的斜率从而问题解决【解答】解：y=2ln（x+1），y=，当x=0时，y=2，曲线y=2ln（x+1）在点（0，0）处的切线方程为y=2x故答案为：y=2x【点评】本小题主要考查直线的斜率、导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点切线方程等基础知识，考查运算求解能力属于基础题13已知函数f（x）=exlnx，f（x）为f（x）的导函数，则f（1）的值为e【分析】根据导数的运算法则求出函数f（x）的导函数，再计算f（1

25、）的值【解答】解：函数f（x）=exlnx，则f（x）=exlnx+ex；f（1）=eln1+1e=e故答案为：e【点评】本题考查了导数的运算公式与应用问题，是基础题14已知函数f（x）=2sinx+sin2x，则f（x）的最小值是【分析】由题意可得T=2是f（x）的一个周期，问题转化为f（x）在0，2）上的最小值，求导数计算极值和端点值，比较可得【解答】解：由题意可得T=2是f（x）=2sinx+sin2x的一个周期，故只需考虑f（x）=2sinx+sin2x在0，2）上的值域，先来求该函数在0，2）上的极值点，求导数可得f（x）=2cosx+2cos2x=2cosx+2（2cos2x1）=

26、2（2cosx1）（cosx+1），令f（x）=0可解得cosx=或cosx=1，可得此时x=，或 ；y=2sinx+sin2x的最小值只能在点x=，或 和边界点x=0中取到，计算可得f（ ）=，f（）=0，f（ ）=，f（0）=0，函数的最小值为，故答案为：【点评】本题考查三角函数恒等变换，涉及导数法求函数区间的最值，属中档题15若函数f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，则f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为3【分析】推导出f（x）=2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）=2x（3xa）0，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点；当a0时，f

27、（x）=2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，由f（x）只有一个零点，解得a=3，从而f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1），x1，1，利用导数性质能求出f（x）在1，1上的最大值与最小值的和【解答】解：函数f（x）=2x3ax2+1（aR）在（0，+）内有且只有一个零点，f（x）=2x（3xa），x（0，+），当a0时，f（x）=2x（3xa）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增，f（0）=1，f（x）在（0，+）上没有零点，舍去；当a0时，f（x）=2x（3xa）0的解为x，f（x）在（0，）上递减，在（，+）递增，又f（x）只有一个零点，f（）

28、=+1=0，解得a=3，f（x）=2x33x2+1，f（x）=6x（x1），x1，1，f（x）0的解集为（1，0），f（x）在（1，0）上递增，在（0，1）上递减，f（1）=4，f（0）=1，f（1）=0，f（x）min=f（1）=4，f（x）max=f（0）=1，f（x）在1，1上的最大值与最小值的和为：f（x）max+f（x）min=4+1=3【点评】本题考查函数的单调性、最值，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题16若曲线的切线l与直线平行，则l的方程为3x4y+5=0【分析】设切点为（m，n），求得的导数，可得切线的斜率，由两直线平行的条件可得m，n，由点斜

29、式方程可得切线的方程【解答】解：设切点为（m，n），可得m+=n，的导数为y=1，由切线l与直线平行，可得1=，解得m=3，即有切点为（3，），可得切线的方程为y=（x3），即为3x4y+5=0故答案为：3x4y+5=0【点评】本题考查导数的运用：求切线方程，注意设出切点和正确求导，考查运算能力，属于基础题17已知aR，设函数f（x）=axlnx的图象在点（1，f（1）处的切线为l，则l在y轴上的截距为1【分析】求出函数的导数，然后求解切线斜率，求出切点坐标，然后求解切线方程，推出l在y轴上的截距【解答】解：函数f（x）=axlnx，可得f（x）=a，切线的斜率为：k=f（1）=a1，切点坐标

30、（1，a），切线方程l为：ya=（a1）（x1），l在y轴上的截距为：a+（a1）（1）=1故答案为：1【点评】本题考查曲线的切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力18曲线y=x2+在点（1，2）处的切线方程为xy+1=0【分析】求出函数的导数，求出切线的斜率，利用点斜式求解切线方程即可【解答】解：曲线y=x2+，可得y=2x，切线的斜率为：k=21=1切线方程为：y2=x1，即：xy+1=0故答案为：xy+1=0【点评】本题考查切线方程的求法，考查转化思想以及计算能力19已知函数f（x）=x32x+ex，其中e是自然对数的底数若f（a1）+f（2a2）0则实数a的取值范围是1，【分析】求出

31、f（x）的导数，由基本不等式和二次函数的性质，可得f（x）在R上递增；再由奇偶性的定义，可得f（x）为奇函数，原不等式即为2a21a，运用二次不等式的解法即可得到所求范围【解答】解：函数f（x）=x32x+ex的导数为：f（x）=3x22+ex+2+2=0，可得f（x）在R上递增；又f（x）+f（x）=（x）3+2x+exex+x32x+ex=0，可得f（x）为奇函数，则f（a1）+f（2a2）0，即有f（2a2）f（a1）由f（a1）=f（a1），f（2a2）f（1a），即有2a21a，解得1a，故答案为：1，【点评】本题考查函数的单调性和奇偶性的判断和应用，注意运用导数和定义法，考查转化思

32、想的运用和二次不等式的解法，考查运算能力，属于中档题20已知函数f（x）=（2x+1）ex，f（x）为f（x）的导函数，则f（0）的值为3【分析】先求导，再带值计算【解答】解：f（x）=（2x+1）ex，f（x）=2ex+（2x+1）ex，f（0）=2e0+（20+1）e0=2+1=3故答案为：3【点评】本题考查了导数的运算法则，属于基础题21已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ex1x，则曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y=2x【分析】由已知函数的奇偶性结合x0时的解析式求出x0时的解析式，求出导函数，得到f（1），然后代入直线方程的点斜式得答案【解答】解：已知f（x）为偶

33、函数，当x0时，f（x）=ex1x，设x0，则x0，f（x）=f（x）=ex1+x，则f（x）=ex1+1，f（1）=e0+1=2曲线y=f（x）在点（1，2）处的切线方程是y2=2（x1）即y=2x故答案为：y=2x【点评】本题考查利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查了函数解析式的求解及常用方法，是中档题22已知f（x）为偶函数，当x0时，f（x）=ln（x）+3x，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程是2x+y+1=0【分析】由偶函数的定义，可得f（x）=f（x），即有x0时，f（x）=lnx3x，求出导数，求得切线的斜率，由点斜式方程可得切线的方程【解答】解：f（x）为偶函

34、数，可得f（x）=f（x），当x0时，f（x）=ln（x）+3x，即有x0时，f（x）=lnx3x，f（x）=3，可得f（1）=ln13=3，f（1）=13=2，则曲线y=f（x）在点（1，3）处的切线方程为y（3）=2（x1），即为2x+y+1=0故答案为：2x+y+1=0【点评】本题考查导数的运用：求切线的方程，同时考查函数的奇偶性的定义和运用，考查运算能力，属于中档题23若直线y=kx+b是曲线y=lnx+2的切线，也是曲线y=ln（x+1）的切线，则b=1ln2【分析】先设切点，然后利用切点来寻找切线斜率的联系，以及对应的函数值，综合联立求解即可【解答】解：设y=kx+b与y=lnx+

35、2和y=ln（x+1）的切点分别为（x1，kx1+b）、（x2，kx2+b）；由导数的几何意义可得k=，得x1=x2+1再由切点也在各自的曲线上，可得联立上述式子解得；从而kx1+b=lnx1+2得出b=1ln2【点评】本题考查了导数的几何意义，体现了方程思想，对学生综合计算能力有一定要求，中档题三解答题（共26小题）24已知函数f（x）=aexlnx1（1）设x=2是f（x）的极值点，求a，并求f（x）的单调区间；（2）证明：当a时，f（x）0【分析】（1）推导出x0，f（x）=aex，由x=2是f（x）的极值点，解得a=，从而f（x）=exlnx1，进而f（x）=，由此能求出f（x）的单调

36、区间（2）当a时，f（x）lnx1，设g（x）=lnx1，则，由此利用导数性质能证明当a时，f（x）0【解答】解：（1）函数f（x）=aexlnx1x0，f（x）=aex，x=2是f（x）的极值点，f（2）=ae2=0，解得a=，f（x）=exlnx1，f（x）=，当0x2时，f（x）0，当x2时，f（x）0，f（x）在（0，2）单调递减，在（2，+）单调递增（2）证明：当a时，f（x）lnx1，设g（x）=lnx1，则，当0x1时，g（x）0，当x1时，g（x）0，x=1是g（x）的最小值点，故当x0时，g（x）g（1）=0，当a时，f（x）0【点评】本题考查函数的单调性、导数的运算及其应用

37、，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题25已知函数f（x）=（1）求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：当a1时，f（x）+e0【分析】（1）由f（0）=2，可得切线斜率k=2，即可得到切线方程（2）可得=可得f（x）在（），（2，+）递减，在（，2）递增，注意到a1时，函数g（x）=ax2+x1在（2，+）单调递增，且g（2）=4a+10只需（x）e，即可【解答】解：（1）=f（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线斜率k=2，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程方程为y（1）=2x即2xy1=0为所求（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，可得

38、=令f（x）=0，可得，当x时，f（x）0，x时，f（x）0，x（2，+）时，f（x）0f（x）在（），（2，+）递减，在（，2）递增，注意到a1时，函数g（x）=ax2+x1在（2，+）单调递增，且g（2）=4a+10函数f（x）的图象如下：a1，则e，f（x）e，当a1时，f（x）+e0【点评】本题考查了导数的几何意义，及利用导数求单调性、最值，考查了数形结合思想，属于中档题26已知函数f（x）=exax2（1）若a=1，证明：当x0时，f（x）1；（2）若f（x）在（0，+）只有一个零点，求a【分析】（1）通过两次求导，利用导数研究函数的单调性极值与最值即可证明，（2）方法一、分离参数可

39、得a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点结合图象即可求得a方法二、：当a0时，f（x）=exax20，f（x）在（0，+）没有零点当a0时，设函数h（x）=1ax2exf（x）在（0，+）只有一个零点h（x）在（0，+）只有一个零点利用 h（x）=x（x2）ex，可得h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，结合函数h（x）图象即可求得a【解答】证明：（1）当a=1时，函数f（x）=exx2则f（x）=ex2x，令g（x）=ex2x，则g（x）=ex2，令g（x）=0，得x=ln2当x（0，ln2）时，g（x）0，当x（ln2，+）时，g（x）0，

40、g（x）g（ln2）=eln22ln2=22ln20，f（x）在0，+）单调递增，f（x）f（0）=1，解：（2）方法一、，f（x）在（0，+）只有一个零点方程exax2=0在（0，+）只有一个根，a=在（0，+）只有一个根，即函数y=a与G（x）=的图象在（0，+）只有一个交点G，当x（0，2）时，G（x）0，当（2，+）时，G（x）0，G（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，当0时，G（x）+，当+时，G（x）+，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=G（2）=方法二：当a0时，f（x）=exax20，f（x）在（0，+）没有零点当a0时，设函数h（x）=1ax2exf（x）在（0，

41、+）只有一个零点h（x）在（0，+）只有一个零点 h（x）=x（x2）ex，当x（0，2）时，h（x）0，当x（2，+）时，h（x）0，h（x）在（0，2）递减，在（2，+）递增，（x0） 当h（2）0时，即a，由于h（0）=1，当x0时，exx2，可得h（4a）=1=10h（x）在（0，+）有2个零点 当h（2）0时，即a，h（x）在（0，+）没有零点， 当h（2）=0时，即a=，h（x）在（0，+）只有一个零点，综上，f（x）在（0，+）只有一个零点时，a=【点评】本题考查了利用导数探究函数单调性，以及函数零点问题，考查了转化思想、数形结合思想，属于中档题27已知函数f（x）=lnx（）若

42、f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，证明：f（x1）+f（x2）88ln2；（）若a34ln2，证明：对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点【分析】（）推导出x0，f（x）=，由f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，得到+=，由基本不等式得：=，从而x1x2256，由题意得f（x1）+f（x2）=ln（x1x2），设g（x）=，则，利用导数性质能证明f（x1）+f（x2）88ln2（）令m=e（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）kma|a|+kka0，推导出存在x0（m，n），使f（x0）=kx0+a，对于任意的aR及k（0，+），直线y=kx

43、+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h（x）=，利用导数性质能证明a34ln2时，对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点【解答】证明：（）函数f（x）=lnx，x0，f（x）=，f（x）在x=x1，x2（x1x2）处导数相等，=，x1x2，+=，由基本不等式得：=，x1x2，x1x2256，由题意得f（x1）+f（x2）=ln（x1x2），设g（x）=，则，列表讨论： x （0，16） 16 （16，+） g（x） 0+ g（x） 24ln2g（x）在256，+）上单调递增，g（x1x2）g（256）=88ln2，f（x1）+f（

44、x2）88ln2（）令m=e（|a|+k），n=（）2+1，则f（m）kma|a|+kka0，f（n）knan（k）n（k）0，存在x0（m，n），使f（x0）=kx0+a，对于任意的aR及k（0，+），直线y=kx+a与曲线y=f（x）有公共点，由f（x）=kx+a，得k=，设h（x）=，则h（x）=，其中g（x）=lnx，由（1）知g（x）g（16），又a34ln2，g（x）1+ag（16）1+a=3+4ln2+a0，h（x）0，即函数h（x）在（0，+）上单调递减，方程f（x）kxa=0至多有一个实根，综上，a34ln2时，对于任意k0，直线y=kx+a与曲线y=f（x）有唯一公共点【点

45、评】本题考查函数的单调性，导数的运算及其应用，同时考查逻辑思维能力和综合应用能力，是中档题28设函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围【分析】（）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得f（1）=0，解方程可得a的值；（）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=，a，0a，a0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围【解答】解：（）函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f

46、（1）处的切线斜率为0，可得（a2a1+2）e=0，解得a=1；（）f（x）的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若a=0则x2时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a0，且a=，则f（x）=（x2）2ex0，f（x）递增，无极值；若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+），（，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+），（，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a0，则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+），（，）递减，可得

47、f（x）在x=2处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（，+）【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题29已知函数f（x）=x3a（x2+x+1）（1）若a=3，求f（x）的单调区间；（2）证明：f（x）只有一个零点【分析】（1）利用导数，求出极值点，判断导函数的符号，即可得到结果（2）分离参数后求导，先找点确定零点的存在性，再利用单调性确定唯一性【解答】解：（1）当a=3时，f（x）=x3a（x2+x+1），所以f（x）=x26x3时，令f（x）=0解得x=3，当x（，32），x（3+2，+）时，f（x）0，函数是增函数，当x（32时

48、，f（x）0，函数是单调递减，综上，f（x）在（，32），（3+2，+），上是增函数，在（32上递减（2）证明：因为x2+x+1=（x+）2+，所以f（x）=0等价于，令，则，仅当x=0时，g（x）=0，所以g（x）在R上是增函数；g（x）至多有一个零点，从而f（x）至多有一个零点又因为f（3a1）=6a2+2a=6（a）20，f（3a+1）=0，故f（x）有一个零点，综上，f（x）只有一个零点【点评】本题主要考查导数在研究函数中的应用考查发现问题解决问题的能力，转化思想的应用30设函数f（x）=ax2（3a+1）x+3a+2ex（）若曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为0，求a；

49、（）若f（x）在x=1处取得极小值，求a的取值范围【分析】（）求得f（x）的导数，由导数的几何意义可得f（2）=0，解方程可得a的值；（）求得f（x）的导数，注意分解因式，讨论a=0，a=1，a1，0a1，a0，由极小值的定义，即可得到所求a的范围【解答】解：（）函数f（x）=ax2（3a+1）x+3a+2ex的导数为f（x）=ax2（a+1）x+1ex曲线y=f（x）在点（2，f（2）处的切线斜率为0，可得（4a2a2+1）e2=0，解得a=；（）f（x）的导数为f（x）=ax2（a+1）x+1ex=（x1）（ax1）ex，若a=0则x1时，f（x）0，f（x）递增；x1，f（x）0，f（x

50、）递减x=1处f（x）取得极大值，不符题意；若a0，且a=1，则f（x）=（x1）2ex0，f（x）递增，无极值；若a1，则1，f（x）在（，1）递减；在（1，+），（，）递增，可得f（x）在x=1处取得极小值；若0a1，则1，f（x）在（1，）递减；在（，+），（，1）递增，可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意；若a0，则1，f（x）在（，1）递增；在（1，+），（，）递减，可得f（x）在x=1处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（1，+）【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和极值，考查分类讨论思想方法，以及运算能力，属于中档题31已知函数f（x）=x+alnx（1）讨论f（

51、x）的单调性；（2）若f（x）存在两个极值点x1，x2，证明：a2【分析】（1）求出函数的定义域和导数，利用函数单调性和导数之间的关系进行求解即可（2）将不等式进行等价转化，构造新函数，研究函数的单调性和最值即可得到结论【解答】解：（1）函数的定义域为（0，+），函数的导数f（x）=1+=，设g（x）=x2ax+1，当a0时，g（x）0恒成立，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a0时，判别式=a24，当0a2时，0，即g（x）0，即f（x）0恒成立，此时函数f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，x，f（x），f（x）的变化如下表： x （0，） （，） （，+）

52、 f（x） 0+ 0 f（x） 递减 递增递减综上当a2时，f（x）在（0，+）上是减函数，当a2时，在（0，），和（，+）上是减函数，则（，）上是增函数（2）由（1）知a2，0x11x2，x1x2=1，则f（x1）f（x2）=（x2x1）（1+）+a（lnx1lnx2）=2（x2x1）+a（lnx1lnx2），则=2+，则问题转为证明1即可，即证明lnx1lnx2x1x2，则lnx1lnx1，即lnx1+lnx1x1，即证2lnx1x1在（0，1）上恒成立，设h（x）=2lnxx+，（0x1），其中h（1）=0，求导得h（x）=1=0，则h（x）在（0，1）上单调递减，h（x）h（1），即2

53、lnxx+0，故2lnxx，则a2成立（2）另解：注意到f（）=xalnx=f（x），即f（x）+f（）=0，由韦达定理得x1x2=1，x1+x2=a2，得0x11x2，x1=，可得f（x2）+f（）=0，即f（x1）+f（x2）=0，要证a2，只要证a2，即证2alnx2ax2+0，（x21），构造函数h（x）=2alnxax+，（x1），h（x）=0，h（x）在（1，+）上单调递减，h（x）h（1）=0，2alnxax+0成立，即2alnx2ax2+0，（x21）成立即a2成立【点评】本题主要考查函数的单调性的判断，以及函数与不等式的综合，求函数的导数，利用导数的应用是解决本题的关键综合性

54、较强，难度较大32已知函数f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x（1）若a=0，证明：当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0；（2）若x=0是f（x）的极大值点，求a【分析】（1）对函数f（x）两次求导数，分别判断f（x）和f（x）的单调性，结合f（0）=0即可得出结论；（2）令h（x）为f（x）的分子，令h（0）计算a，讨论a的范围，得出f（x）的单调性，从而得出a的值【解答】（1）证明：当a=0时，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x，（x1），可得x（1，0）时，f（x）0，x（0，+）时，f（x）0f（x）在（1，0）递减，在（0，+）递增，f（x）f（0）=0，f（x）=（2+x）ln（1+x）2x在（1，+）上单调递增，又f（0）=0当1x0时，f（x）0；当x0时，f（x）0（2）解：由f（x）=（2+x+ax2）ln（1+x）2x，得f（x）=（1+2ax）ln（1+x）+2=，令h（x）=ax2x+（1+2ax）（1+x）ln（x+1），h（x）=4ax+（4ax+2a+1）ln（x+1）当a0，x0时，h（x）0，h（x）单调递增，h（x）h（0）=0，即f（